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Conceptos Básicos de Funciones - EMdH

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Conceptos básicos de funciones, dominio, rango o alcance

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Conceptos Básicos de Funciones - EMdH

  1. 1. 1
  2. 2. 2 Objetivos:Objetivos: 1.1. Definir el concepto de función.Definir el concepto de función. 2.2. Representar una función en sus formasRepresentar una función en sus formas alternas.alternas. 3.3. Determinar el dominio y el campo deDeterminar el dominio y el campo de valores de una función dada su gráfica,valores de una función dada su gráfica, conjunto de pares ordenados,(tabla deconjunto de pares ordenados,(tabla de valores) o la ecuación.valores) o la ecuación. 4.4. Determinar si una ecuación representaDeterminar si una ecuación representa unauna funciónfunción.. 5.5. Identificar laIdentificar la variable independientevariable independiente y lay la variable dependiente.variable dependiente.
  3. 3. 3 UnaUna relaciónrelación es una regla de correspondencia que aes una regla de correspondencia que a cada elemento de un conjunto A le asigna elementoscada elemento de un conjunto A le asigna elementos en un conjunto B.en un conjunto B. Definiciones: Definición AlternaDefinición Alterna UnaUna relaciónrelación es un conjunto de pares ordenados.es un conjunto de pares ordenados. ( ) ( ) ( ){ }1 1,3 Ejem , plos: 2,3 , 4, 2R = − − ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R = − − − − −
  4. 4. 4 El conjunto formado por los primeros elementos de los pares ordenados de una relación se llama el dominio. El conjunto formado por los segundos elementos de los pares ordenados de una relación se llama el alcance , campo de valores o recorrido.
  5. 5. 5 { }1 Dominio 2,1,4= = −RD { }1 Alcance = 2,3= −RA ( ) ( ) ( ){ }11. 1,3 , 2,3 , 4, 2R = − − Ejemplos: Encuentra el dominio y el alcance de las relaciones.
  6. 6. 6 ( ) ( ) ( ) ( ){ }22. 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R = − − − − − { }2 Dominio 1, 2, 4,2= = − − −RD { }2 Alcance 3,3, 2= = − −RA
  7. 7. 7 ( ) ( ) ( ){ }33. 10,3 , 2,30 , 4, 12R = − − − { }3 Dominio = 10, 2, 4= − −RD { }3 Alcance = 12,3,30= −RA
  8. 8. 8 Definiciones: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos de números reales. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que a cada elemento del conjunto X le asigna un único elemento en el conjunto Y. PaParraa cadacada elementelementoo xx een conjunton conjunto XX,, elel elementelementoo correspondicorrespondieenntete yy een el conjunton el conjunto YY ssee llllamaama lala imageimagenn dede xx.. ElEl conjunto todasconjunto todas llasas imimáágegeneness dede loslos elementelementooss deldel domindominioio ssee llllamaama elel alcalcananccee ,, recorridorecorrido oo campo de valorescampo de valores de lade la funcifuncióón.n. El conjuntoEl conjunto XX ssee llllamaama elel domindominioio dede lala funcifuncióónn.. Funciones:
  9. 9. 9 DominioDominio AlcanceAlcance X Y f x2 x1 x3 y1 y2 A y3 y4 Ilustración:
  10. 10. 10 Las funciones se pueden expresar en variasLas funciones se pueden expresar en varias formas, entre ellas:formas, entre ellas: 1.1. DiagramasDiagramas 2.2. Conjunto de pares ordenadosConjunto de pares ordenados o tablas de valoreso tablas de valores 3.3. GráficasGráficas 4.4. Ecuaciones oEcuaciones o fórmulas matemáticas Aclaración: Toda función es una relación pero no toda relación es una función .
  11. 11. 11Las funciones en forma de diagramasLas funciones en forma de diagramas Los diagramas son una de las formas deLos diagramas son una de las formas de representar funciones y relaciones. Consiste derepresentar funciones y relaciones. Consiste de un dibujo que representa los componentes de laun dibujo que representa los componentes de la función o relación, estos son; conjunto inicial ofunción o relación, estos son; conjunto inicial o dominio, conjunto final y la corespondenciadominio, conjunto final y la corespondencia entre los elementos.entre los elementos. A B f a w 1x 8 4 8 k es una función.f
  12. 12. 12 Suponga que f es una función de A a B; las siguientes notaciones se usan para representar funciones. Notaciones: BAf →: ó BA f → La notación de función La notación representa la imagen de en el alcance de f . Esta forma de escribir una función se conoce como la notación de función. )(xfy = x Aclaración: f(x) se conoce como la imagen de x bajo la función f. Las imagenes son los valores de las y.
  13. 13. 13 Diagrama de la notación de función. X Y f ( )xfy = ( )xfx y
  14. 14. 14 1. Determine si el diagrama representa una función. A Bf r b 3 4 7 k f es una función. Ejemplos: Las funciones como diagramas
  15. 15. 15 A Bf a w 1x 8 4 8 k ( ) =af ( ) =wf 4 8 ( ) =8f ( ) =1xf k 8 =Dominio { }1, , 8,a w x =valoresdeCampo { }k8,,4 Usando el diagrama encuentra, los valores indicados, el dominio y el alcance de la función. 2.
  16. 16. 16 3. Determine si el diagrama representa una función. A B f r b 3 4 7 k 5 El diagrama no representa una función. ¿por qué?
  17. 17. 17 4. Determine si el diagrama representa una función. A B f r b 3 4 7 k El diagrama no representa una función. ¿por qué?
  18. 18. 18 Ejemplo 1: Suponga que f (x) es una función de A a B cuyas imágenes son; ( ) 7f r = ( ) 7f b = ( )3 4f = Encuentra el dominio y el alcance o campo de valores de f. =Dominio { }, , 3r b Alcance = { }4, 7 , , Las funciones en forma de conjuntos de pares ordenados y tablas de valores
  19. 19. 19Ejemplo 2: Determine si el conjunto de pares ordenadosDetermine si el conjunto de pares ordenados representa una función. De ser así determine elrepresenta una función. De ser así determine el dominio y el campo de valoresdominio y el campo de valores. ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 2 2 0 3 2) , , , , , , ,a − Sí, representa una función ?¿ quépor =Dominio { }3,2,1,0 =valoresdeCampo { }2,1,0,2−
  20. 20. 20 ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 2) , , , , , , ,b a c c b− funciónunarepresentaNo ( ) ( ) ( ){ }1 1 3) , , , , ,c b c d Sí, representa una función =Dominio { }, ,b c d =valoresdeCampo { }3,1
  21. 21. 21 Determine si cada tabla de valores representa unaDetermine si cada tabla de valores representa una función. En caso afirmativo, indique el dominio yfunción. En caso afirmativo, indique el dominio y el campo de valoresel campo de valores. x -2 -1 0 1 2 y -8 -1 0 1 8 funciónunarepresentaSí =Dominio { }2, 1, 0,1,2− − =valoresdeCampo { }8, 1,0,1,8− − Ejempolo 3:
  22. 22. 22 x 10 7 4 7 y 3 6 9 12 funciónunarepresentaNo ?¿ quépor El 7, que es un elemento del dominio, se repite en dos pares ordenados diferentes. Ejempolo 4: Determine si la tabla de valores representa una función.
  23. 23. 23 Teorema: Prueba de la Línea Vertical Un conjunto de puntos en el plano xy es la gráfica de una función si y solo si cualquier línea recta vertical interseca la gráfica a lo más en un punto. Aclaración: Para ser una función la recta vertical no puede tocar más de un punto de la gráfica. Dos puntos en una misma línea vertical tienen los mismos valores de la absisa. Las funciones en forma gráfica
  24. 24. 24Ejemplo 1: Determina si las siguientes gráficas representan funciones. :f R R→ Es una función. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y
  25. 25. 25 Es una función. Ejemplo 2: :f R R→ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y
  26. 26. 26 No es una función. Ejemplo 3: x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 :f R R→ Todas la líneas rectas son funciones excepto las rectas verticales.
  27. 27. 27 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y :f X Y→ No es una función. Ejemplo 4: Ninguna elipse es una función. ¿¿ Hay alguna de las figuras cónicas que sea una función?
  28. 28. 28 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y :f R R→ 5. Determine si la gráfica representa una función. La gráfica representa una función.
  29. 29. 29 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a yy comocomo función defunción de xx?? 1) 2y x= ± + qué?¿porNo. ¿Es una función de ?y x Hay valores de x que tienen dos valores de y. Por ejemplo, si x = 2 entonces y = 2 ó y = -2. Ejemplos:Ejemplos: Las funciones como ecuaciones Una de las formas más comunes y útiles es la representación de las funciones como ecuaciones. Veremos aquí algunas técnicas para diferenciar entre funciones y relaciones escritas como ecuaciones.
  30. 30. 30 2) 5 4x y+ = 45 +−= xy ¿Es una función de ?y x qué?¿porSí. Aclaración: Haga un análisis usando las propiedades de los números reales o usando la gráfica de la ecuación.
  31. 31. 31 En el ejemplo anterior podemos identificar los siguientes conceptos: 45 +−= xy nteindependievariable edependientvariable Representa los valores del dominio. Representa los valores del alcance.
  32. 32. 32 5)3 2 =+ yx xy −= 52 xy −±= 5 qué?¿porNo. ¿Es una función de ?y x Hay valores de x que tienen dos valores de y.
  33. 33. 33 Aclaración: Si el exponente de la y es par la ecuación no representa a y como función de x. 2 2 4) 3 2 9x y− = 2 2 2 9 3y x− = − 2 2 9 3 2 x y − = − 2 2 9 3 2 x y − = − 2 9 3 2 x y ± − = − y no es función de x.
  34. 34. 34 2 2 3 6x y+ = 2 3 6 2y x= − 22 2 3 y x= − nteindependie edependient ( ) 22 2 3 f x x= − ¿Es una función de ?y x 5. Determine si la ecuación representa a y como una función de x.
  35. 35. 356. Determine si la ecuación representa a y como una función de x. 0242 22 =−+− yxyx y no es una función de x 7. Determine si la ecuación representa a x como una función de y. 2 2 3 4 0x y y− − = 2 3 4 2 y y x + = x es una función de y.
  36. 36. 368. Despeja la variable y. Demuestra que en la ecuación y no es función de x. 2 2 3 4 0x y y− − = 2 2 3 4x y y= + 2 2 3 3 3 3 4x y y = + 22 3 3 4x y y= +
  37. 37. 37 ( ) ( ) 2 2 2 2 44 33 4 3 232 x y y     + + ÷  ÷ ÷    + ÷   = 22 4 3 3 4 4 9 9 x y y= ++ + 2 6 4 2 9 3 x y +   = + ÷  
  38. 38. 38 6 4 2 9 3 x y + ± = + 2 6 4 3 9 x y + − ± = 2 6 4 3 9 x y + = − ± y no es una función de x. 2 6 4 2 9 3 x y +   = + ÷   2 6 4 3 3 x y + = − ±

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