ARBOL DE EXPANSIÓN MINIMA DE TEORIA DE REDES POR EL ALGORITMO DE KRUSKAL

1. ARBOL DE EXPANSIÓN MINIMA
ALGORITMO DE KRUSKAL
TEORIA DE REDES
INV. DE OPERACIONES II
MATERIAL PREPARADO POR:
MC ADRIANA NIETO CASTELLANOS
INSTITUTO TECNOLOGICO DE
TEHUACAN
20/10/2011

2. 5.3 ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA
El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales
la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se
considera instantáneo.
El problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectarse
entre ellos sin formar un ciclo.
La aplicación de estos problemas de optimización se ubica en las redes
de comunicación eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea,
marítima, hidráulica o de gas, etc. donde los nodos representan puntos
de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras y los arcos
podrían ser de alta tensión, cable de fibra óptica, rutas aéreas, agua, gas
etc..
También se le conoce como árbol generador mínimo, es una red conexa
y ponderada que se refiere a utilizar los arcos de la red para llegar a
todos los nodos de esta, de manera tal que se minimiza la longitud total.
Para su solución se emplean los algoritmos de Prim y Kruskal

3. ALGORITMO DE KRUSKAL
1. Comience seleccionando el arco de menor
longitud.
2. En cada iteración agregue el siguiente arco de
menor longitud del conjunto de arcos disponibles,
teniendo la precaución de no formar ningún ciclo.
3. El algoritmo finalizará cuando todos los arcos estén
conectados.
Si N= número de nodos entonces la solución
optima debe incluir n-1 arcos.

4. ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN
MÉTODO DE KRUSKAL
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
incluir los nodos extremos

5. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
incluir los nodos extremos

6. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

7. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

8. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

9. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

10. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

11. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
CUANDO SE
EMPIEZAN A FORMAR
CICLOS ESTOS SE
DEBEN ELIMINAR

12. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7
8 10
h 1 g 2 f
CUANDO SE
EMPIEZAN A FORMAR
CICLOS ESTOS SE
DEBEN ELIMINAR

13. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

14. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
8 10
h 1 g 2 f
CUANDO SE EMPIEZAN A FORMAR CICLOS ESTOS SE DEBEN ELIMINAR

15. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
REPETIR
Seleccionar el arco con menor valor de toda la red e
PASO 2
incluir los nodos extremos
HASTA
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
TERMINAR

16. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
ESTO GENERA SOLUCIÓN MÚLTIPLE
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)

17. SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
CUANDO SE EMPIEZAN A FORMAR CICLOS ESTOS SE DEBEN ELIMINAR

18. SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
10
h 1 g 2 f
SOLO FALTA CONECTAR EL ULTIMO NODO (e)
Conectar con el arco mas pequeño y terminar el problema

19. SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
10
h 1 g 2 f
SE FORMA UN CICLO QUE SE DEBEN ELIMINAR

20. SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
h 1 g 2 f

21. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (bc)
7
b c d
4
2 9
a i 4 e
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=

22. SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=

23. CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR LOSARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

24. CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

25. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

26. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

27. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

28. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2 4
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

29. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2 4 2
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

30. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__= 37
4 8 7 9 2 4 2 1
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

31. PRIMERA SOLUCIÓN
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__= 37
4 8 7 9 2 4 2 1
SOLUCIÓN 1 INCLUYE AL ARCO (bc)

32. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
EN CASO DE EMPATE SE ROMPRE EN FORMA ARBITRARIA
ESTO GENERA SOLUCIÓN MÚLTIPLE

33. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
CUANDO SE EMPIEZAN A FORMAR CICLOS ESTOS SE DEBEN ELIMINAR

34. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8 10
h 1 g 2 f
SOLO FALTA CONECTAR EL ULTIMO NODO (e)
Conectar con el arco mas pequeño y terminar el problema

35. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8 10
h 1 g 2 f
SE FORMA UN CICLO SE DEBEN ELIMINAR

36. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=

37. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4

38. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8

39. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1

40. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1 2

41. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1 2 4

42. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1 2 4 2

43. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1 2 4 2 7

44. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 1 2 4 2 7 9

45. SOLUCIÓN 2 INCLUYE AL ARCO (ah)
7
b c d
4 9
2
a i 4
AE
8
h 1 g 2 f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__= 37
4 8 1 2 4 2 7 9