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# Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

Extremos de funciones, Criterio de la primera derivada, Concavidad y puntos de inflexión, Criterio de la segunda derivada

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### Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Extremos absolutos. a) Un numero f(c1) es un máximo absoluto de f si f(x) ≤ f(c1), para toda x en el dominio de f. b) Un numero f(c1) es un mínimo absoluto de f si f(x) ≥ f(c1), para toda x en el dominio de f. Teorema del valor extremo Una función f continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo. En otras palabras cuando f es continua en [a,b] existen números f(c1) y f(c2) tales que f(c1) ≤ f(x) ≤ f(c2) ∀ x en [a,b]. EXTREMOS DE FUNCIONES
2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Extremos de la frontera Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en una de las fronteras de un intervalo I se dice que es un extremo en la frontera Extremos relativos. a) Un numero f(c1) es un máximo relativo de f si f(x) ≤ f(c1), para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1. b) Un numero f(c1) es un mínimo relativo de f si f(x) ≥ f(c1), para toda en algún intervalo abierto que contenga a c1. EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Teorema: Si f(x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b si f’ (c) existe entonces f’(c) = 0 Sin embargo, f’(x) puede ser igual a cero para algún valor especifico de x, y no obstante f puede no tener un extremo relativo ahí. Definición: Si c es numero en el dominio de la función f y si f’(c) = 0 o f’(c) no existe entonces c se llama número critico de f Teorema: Si una función f tiene un extremo relativo en un numero c, entonces c es un valor critico. EXTREMOS DE FUNCIONES
3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Pasos para la obtención de los extremos absolutos. 1. Evaluar la función f en a y b. 2. Determinar los valores críticos de la función en (a,b). 3. Evaluar f en todos los valores críticos. 4. El mas grande y el mas pequeño de los valores de la lista f(a), f(b), f(c1), f(c2),…,f(cn) son el máximo y el mínimo absoluto respectivamente de f en el intervalo [a,b] EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 Ejemplo 1: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = x3 – 3x2 - 24x + 2 en [-3,8] 1) f(a) = f(-3) = 20 f(b) = f(8) = 130 2) Encontrar los números críticos f’(c) = 0 f’(x) = 3x2 - 6x - 24 f’(c) = 3c2 – 6c - 24 = 0 (3c + 6)(c – 4)= 0 c = -2 y c = 4 3) Evaluación de los valores críticos en f f(-2) = 30 f(4) = -78 4) Máximo absoluto en x = 8 ya que f(8) = 130 Mínimo absoluto en x = 4 ya que f(4) = -78 EXTREMOS DE FUNCIONES
4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Ejemplo 2: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = x4 – 8x2 + 16 en [0,3] 1) f(a) = f(0) = 16 f(b) = f(3) = 25 2) Encontrar los números críticos f’(c) = 0 f’(x) = 4x3 - 16x f’(c) = 4c3 – 16c = 0 4c(c2 – 4) = 0 c = 0 c = -2 y c = 2 3) Evaluación de los valores críticos en f f(0) = 16 f(-2) = 0 f(2) = 0 4) Máximo absoluto en x = 3 ya que f(3) = 25 Mínimo absoluto en x = ±2 ya que f( ±2) = 0 EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 Ejemplo 3: Encontrar los extremos absolutos de f(x) = 25 − 9𝑥2 en [-1, 1] 1) f(a) = f(-1) = 4 f(b) = f(1) = 4 2) Encontrar los números críticos f’( c) = 0 f’(x) = − 18x 2 25 − 9𝑥2 = − 9x 25 − 9𝑥2 f’(c) = − 9𝑐 25 − 9𝑐2 = 0 -9c = 0 c = 0 3) Evaluación de los valores críticos en f f(0) = 5 4) Mínimo absoluto en x = ±1 ya que f(-1) = f(1) = 4 Máximo absoluto en x = 0 ya que f(0) =5 EXTREMOS DE FUNCIONES
5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Crecimiento y decrecimiento de una función. Teorema: Sea f una función en [a,b] y diferenciable en (a,b) 1. Si f’(x) > 0 para toda x en (a,b) entonces la función f es creciente en [a,b]. 2. Si f’(x) < 0 para toda x en (a,b) entonces la función f es decreciente en [a,b]. EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 Ejemplo 1: El costo de producir X miles de unidades de cierto producto está dado por CT = 2500 + 9X – 3X2 + 2X3. ¿En qué nivel de producción el costo es a) creciente b) decreciente? Solución: Encontramos los valores críticos de la función haciendo CT’(c) = 0 Derivamos CT. CT’(X) = 9 – 6X - 6X2 ⇒ CT’(c) = 9 – 6c - 6c2 6c2 + 6c - 9 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos los valores de c= - 1.82 y c = 0.82 Ubicamos estos valores en la recta numérica y definimos los intervalos a considerar CT’(X)< 0 CT’(X) > 0 CT’(X)< 0 - + - -∞ -1.82 0.82 ∞ Tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞, -1.82), (-1.82, 0.82) y (0.82, ∞) y lo evaluamos en la derivada del costo CT’ para ver si el intervalo es positivo o negativo y así obtener los intervalos donde el costo es creciente y decreciente. Por tanto los costos de producción son crecientes en el intervalo (0,0.82) y son decrecientes en el intervalo (0.82, -∞) EXTREMOS DE FUNCIONES
6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 Ejemplo 2: El costo de producir Q miles de unidades de cierto producto está dado por CT(Q) = 25 + 30Q – 9Q2 - Q3. ¿En qué nivel de producción el costo es a) creciente b) decreciente? Solución: Encontramos los valores críticos de la función haciendo CT’(c) = 0 CT’(Q) = 30 – 18Q – 3Q2 ⇒ CT’(c) = 30 – 18c - 3c2 3c2 + 18c - 30 = 0 ⇒ c2 - 6c - 10 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos los valores de c = - 1.36 y c = 7.36 Ubicamos estos valores en la recta numérica y definimos los intervalos a considerar CT’(X)< 0 CT’(X) > 0 CT’(X)< 0 - + - -∞ -1.36 7.36 ∞ Tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞, -1.36), (-1.36, 7.36) y (7.36, ∞) y lo evaluamos en la derivada del costo CT’ para ver si el intervalo es positivo o negativo y así obtener los intervalos donde el costo es creciente y decreciente. Por tanto los costos de producción son crecientes en el intervalo (0,7.36) y son decrecientes en el intervalo (7.36, -∞) EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver Ejercicio 4.3 del No. 9 al 16, del No. 23 al 30 y el 39 de la pág. 209. EXTREMOS DE FUNCIONES
7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Sea f una función en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor critico c. 1. Si f’(x) > 0 para a < x < c y f’(x) < 0 para c < x < b entonces f (c) es un máximo relativo en x = c 2. Si f’(x) < 0 para a < x < c y f’(x) > 0 para c < x < b entonces f (c) es un mínimo relativo en x = c. 3. Si f’(x) tienen el mismo signo algebraico en a < x < c y en c < x < b entonces f (c) no es un extremo. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA x (-∞,c) c (c,∞) f’(x) - 0 + f(x) decrece Min. relativo crece CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA x (-∞,c) c (c,∞) f’(x) + 0 - f(x) crece Max. relativo decrece CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 Ejemplo: Dada la función f(x) = x4 – 4x3 + 10, encontrar los máximos o mínimos relativos. a) Encontramos f’(x). f’(x) = 4x3 – 12x2 b) Hallaremos números críticos de la función, es decir los valores para los cuales f’(x) = 0 o para los cuales f’(x) no existe f’(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = 3 c) Aplicamos el criterio de la primera derivada, para eso primero encontraremos los intervalos donde la función es creciente o decreciente. Ubicamos los valores críticos en la recta numérica y definimos los intervalos, luego tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞,0), (0,3) y (3, ∞) y lo evaluamos en la derivada para ver el crecimiento o decrecimiento de la función. f’(x)< 0 f’(x) < 0 f’(x)> 0 - - + -∞ 0 3 ∞ F. decreciente F. decreciente F. creciente Como podemos observar al pasar del intervalo (-∞,0) a (0,3) no hay cambio de signo en la derivada, pero al pasar de (0,3) a (3, ∞) se pasa de signo negativo a positivo por tanto en x = 3 hay un mínimo relativo de acuerdo al criterio de la primera derivada. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver Ejercicio 4.6 del No. 11 al 18 (no grafique) y del 39 al 41 de la pág. 229. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Definición. Sea f una función diferenciable en (a,b) i) Si la derivada f’ es una función creciente en (a,b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo. ii) Si la derivada f’ es una función decreciente en (a,b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
10. 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 Teorema. Criterio de concavidad Sea f una función para la cual f’’ existe en (a,b) i) Si f’’(x) > 0 para toda x en (a,b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo (a,b) ii) Si f’’(x) < 0 para toda x en (a,b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo (a,b). CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 Punto de inflexión Un punto de la gráfica de una función en donde la concavidad cambia de arriba hacia abajo o viceversa, se llama punto de inflexión. Definición: Sea f continua en c. Un punto (c, f(c)) es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto (a,b) que contiene a “c”, de tal modo que la gráfica de f es i) Cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) ii) Cóncava hacia abajo en (a,c) y cóncava hacia arriba en (c,b) CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
11. 11. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 11 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION Un punto de inflexión (c, f(c)) ocurre un número c para el cual f’’(c) = 0 o bien f’’(c) no existe. El reciproco no es valido. Función pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Función pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Función pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.22 Ejemplo: Dada la función f(x) = x4 – 4x3 + 10, encontrar los puntos de inflexión. a) Encontramos f ’’(x). f ’(x) = 4x3 – 12x2 f ’’(x) = 12x2 – 24x b) Hallaremos los valores para los cuales f ’’(x) = 0 o para los cuales f ’’(x) no existe f ’’(x) = 12x2 – 24x = 12x (x – 2) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = 2 c) Encontraremos los intervalos donde f ‘’(x) es positiva o negativa para analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión. Ubicamos los valores obtenidos en la recta numérica y definimos los intervalos, luego tomamos un valor arbitrario de cada intervalo (-∞,0), (0,2) y (2, ∞) y lo evaluamos en la segunda derivada f ’’(x) > 0 f ’’(x) < 0 f ’’(x) > 0 + - + -∞ 0 2 ∞ F. cóncava F. cóncava F. cóncava hacia arriba hacia abajo hacia arriba Como podemos observar al pasar del intervalo (-∞,0) a (0,2) hay cambio de signo positivo a negativo en la segunda derivada, por tanto hay un punto de inflexión en x = 0. De la misma manera al pasar del intervalo (0,2) a (2, ∞) se pasa de signo negativo a positivo en la segunda derivada, por tanto en x = 2 hay un punto de inflexión. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
12. 12. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 12 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.23 Teorema: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Si c es un número crítico de una función f en el cual f’(c) = 0 y f existe para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c. Entonces si f”(c) existe y i) Si f’’(c) < 0, f tiene un valor máximo relativo en c. ii) Si f’’(c) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en c. Si f”(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.24 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
13. 13. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 13 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Recordemos lo siguiente: a) Si una función cambia de decreciente a creciente en un punto c entonces en x = c existe un mínimo relativo. b) Si una función cambia de creciente a decreciente en un punto c entonces en x = c existe un máximo relativo. c) Si una función cambia de concavidad hacia abajo a concavidad hacia arriba en un punto c entonces en x = c existe un punto de inflexión. d) Si una función cambia de concavidad hacia abajo a concavidad hacia arriba en un punto c entonces en x = c existe un punto de inflexión. RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.26 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA También recordemos que al calcular los signos de la primera y segunda derivada de la función, podemos decir si la función es creciente o decreciente, o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Lo cual nos da la forma de como debe ser el gráfico de una función.
14. 14. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 14 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.27 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Ejemplo: Trace la gráfica de la función f(x) = ¼ x4 – (3/2) x2 a) Encontramos f’(x). f’(x) = 4 (¼) x3 – 2 (3/2)x = x3 – 3x b) Hallaremos números críticos de la función, es decir los valores para los cuales f’(x) = 0 o para los cuales f’(x) no existe f’(x) = x3 – 3x = x(x2 – 3) = 0 de donde obtenemos los valores x = 0 y x = ± 3 c) Encontramos f ’’(x). f ’’(x) = 3x2 – 3 d) Hallaremos los valores para los cuales f ’’(x) = 0 o para los cuales f ’’(x) no existe f ’’(x) = 3x2 – 3 = 3 (x2 – 1) = 0 de donde obtenemos los valores x = ±1 Ubicamos los números críticos y los valores obtenidos en el paso anterior en la recta numérica y definimos los intervalos. Luego tomamos un valor arbitrario de cada intervalo y los evaluamos en la primera y la segunda derivada para ver los signos que determinan el crecimiento o decrecimiento de la función, así como la concavidad. Para luego trazar la gráfica de la función. RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.28 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
15. 15. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 15 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.29 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver Ejercicio 4.7 del No. 1 al 8 (no grafique), del No. 19 al 25 y del 27 al 36 de la págs. 233 y 234. EXTREMOS DE FUNCIONES RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.30 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill
16. 16. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 14/06/2018 MATEMATICA I 16 RJAL 14/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.31 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ