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Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

Formas indeterminadas. Regla de L'hopital

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Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Para resolver formas indeterminadas, hemos utilizado factorizaciΓ³n, racionalizaciΓ³n de numerador o de denominador, identidades trigonomΓ©tricas, entre otros para eliminar el factor que provoca la indeterminaciΓ³n y calcular el limite buscado. Sin embargo, habrΓ‘n casos que necesitemos de otras herramientas, por ejemplo para resolver lim π‘₯β†’0 𝑒2π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 1 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ π‘₯ Por lo tanto, para encontrar su limite utilizaremos la regla de L’Hopital. FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Regla de L’hopital. Sean f y g funciones derivables en un intervalo (a,b) que contiene a β€œc”, excepto posiblemente en el propio β€œc”. Supongamos que g’(x) β‰  0, para toda x en (a,b) excepto posiblemente en el propio c, si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a β€œc” produce la forma indeterminada 0/0, entonces lim π‘₯→𝑐 𝑓(π‘₯) 𝑔 π‘₯ = lim π‘₯→𝑐 𝑓′(π‘₯) 𝑔′ π‘₯ Supuesto que el limite existe o es infinito FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Otra formulaciΓ³n de regla de L’hopital establece que si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a ∞ (o a - ∞) produce una forma indeterminada 0/0 o ∞/∞ entonces lim π‘₯β†’βˆž 𝑓(π‘₯) 𝑔 π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 𝑓′(π‘₯) 𝑔′ π‘₯ Supuesto que el limite existe. FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Resolver los siguientes limites utilizando la regla de L’Hopital 1. lim π‘₯β†’0 1 βˆ’π‘π‘œπ‘  π‘₯ π‘₯2 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’0 1 βˆ’π‘π‘œπ‘  π‘₯ π‘₯2 = lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛π‘₯ 2π‘₯ resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar y nos queda lim π‘₯β†’0 1 βˆ’π‘π‘œπ‘  π‘₯ π‘₯2 = lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛π‘₯ 2π‘₯ = lim π‘₯β†’0 π‘π‘œπ‘ π‘₯ 2 = 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 2. lim π‘₯β†’0 π‘₯4 π‘₯2+2π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’2 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’0 π‘₯4 π‘₯2+2π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’2 = lim π‘₯β†’0 4π‘₯3 2π‘₯ βˆ’2𝑠𝑒𝑛π‘₯ resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar las veces que sea necesario y nos queda lim π‘₯β†’0 π‘₯4 π‘₯2+2π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’2 = lim π‘₯β†’0 4π‘₯3 2π‘₯ βˆ’2𝑠𝑒𝑛π‘₯ = lim π‘₯β†’0 12π‘₯2 2 βˆ’ 2π‘π‘œπ‘ π‘₯ = lim π‘₯β†’0 24π‘₯ βˆ’ 2𝑠𝑒𝑛π‘₯ = lim π‘₯β†’0 24 2π‘π‘œπ‘ π‘₯ = 12 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 3. lim π‘₯β†’0 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’0 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ π‘₯ = lim π‘₯β†’0 2 π‘₯ 𝑙𝑛2 βˆ’ 3 π‘₯ 𝑙𝑛3 1 = 𝑙𝑛2 βˆ’ 𝑙𝑛3 = ln 2 3 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 4. lim π‘₯β†’βˆž ln π‘₯ 𝑒 π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’βˆž ln π‘₯ 𝑒 π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 1 π‘₯ 𝑒 π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 1 π‘₯𝑒 π‘₯ = 0 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 5. lim π‘₯β†’βˆž 6π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯+7 4π‘₯2βˆ’2π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’βˆž 6π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯+7 4π‘₯2βˆ’2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 12π‘₯ βˆ’ 5 8π‘₯ βˆ’2 resultando otra forma indeterminada ∞/∞ por tanto volvemos a derivar y nos queda lim π‘₯β†’βˆž 6π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯+7 4π‘₯2βˆ’2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 12π‘₯ βˆ’ 5 8π‘₯ βˆ’2 = lim π‘₯β†’βˆž 12 8 = 3 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 6. lim π‘₯β†’βˆž π‘₯4 𝑒2π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedΓ‘ndonos de la forma siguiente lim π‘₯β†’βˆž π‘₯4 𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 4π‘₯3 2𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 2π‘₯3 𝑒2π‘₯ resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar las veces que sea necesario y nos queda lim π‘₯β†’βˆž π‘₯4 𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 4π‘₯3 2𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 2π‘₯3 𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 6π‘₯2 2𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 3π‘₯2 𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 6π‘₯ 2𝑒2π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 3π‘₯ 𝑒2π‘₯ = = lim π‘₯β†’βˆž 3 2𝑒2π‘₯ = 0 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 La forma ∞ βˆ’ ∞ a menudo se puede convertir a un limite que sea una de estas formas 0/0 o ∞/∞ mediante una combinaciΓ³n de algebra y un poco de ingenio 1. lim ( π‘₯β†’0 1βˆ’3π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ ) Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim ( π‘₯β†’0 1βˆ’3π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ ) = lim π‘₯β†’0 π‘₯βˆ’3π‘₯2 βˆ’π‘ π‘’π‘›π‘₯ π‘₯𝑠𝑒𝑛π‘₯ = lim π‘₯β†’0 1βˆ’6π‘₯ βˆ’π‘π‘œπ‘ π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ + π‘₯π‘π‘œπ‘ π‘₯ = lim π‘₯β†’0 βˆ’6+𝑠𝑒𝑛π‘₯ π‘π‘œπ‘ π‘₯ +π‘π‘œπ‘ π‘₯βˆ’π‘₯𝑠𝑒𝑛π‘₯ = = βˆ’6 2 = βˆ’3 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 2. lim ( π‘₯β†’0 1 𝑒 π‘₯βˆ’1 βˆ’ 1 π‘₯ ) Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim ( π‘₯β†’0 1 𝑒 π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 1 π‘₯ ) = lim π‘₯β†’0 π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯ + 1 π‘₯(𝑒 π‘₯ βˆ’ 1) = lim π‘₯β†’0 1 βˆ’ 𝑒 π‘₯ (𝑒 π‘₯βˆ’1) + π‘₯𝑒 π‘₯ = lim π‘₯β†’0 βˆ’ 𝑒 π‘₯ 𝑒 π‘₯+ 𝑒 π‘₯+ π‘₯𝑒 π‘₯ = βˆ’ 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 La forma 0. ∞ puede convertirse a un limite de la forma 0/0 o ∞/∞ mediante una manipulaciΓ³n adecuada con el algebra. 1. lim π‘₯β†’βˆž π‘₯ 𝑠𝑒𝑛 1 π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracciΓ³n), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim π‘₯β†’βˆž π‘₯ 𝑠𝑒𝑛 1 π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž 𝑠𝑒𝑛 1 π‘₯ 1 π‘₯ = lim π‘₯β†’βˆž (π‘π‘œπ‘  1 π‘₯ )( βˆ’1 π‘₯2 ) βˆ’1 π‘₯2 = lim π‘₯β†’βˆž π‘π‘œπ‘  1 π‘₯ = 1 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 2. lim π‘₯β†’0 π‘₯ π‘π‘œπ‘‘2π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracciΓ³n), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim π‘₯β†’0 π‘₯ π‘π‘œπ‘‘2π‘₯ = lim π‘₯β†’0 π‘₯ π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ 𝑠𝑒𝑛 2π‘₯ = lim π‘₯β†’0 π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ βˆ’π‘₯𝑠𝑒𝑛2π‘₯(2) 2π‘π‘œπ‘  2π‘₯ = 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta AcΓ‘ se convirtiΓ³ a senos y cosenos, y resulta
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 La forma 00 . ∞0 𝑦 1∞ SupΓ³ngase que y = [f(x)]g(x) tiende a la forma 00 . ∞0 𝑦 1∞ cuando x tiende a β€œa” 0 x tiende a β€œβˆžβ€œ. Tomando logaritmo natural de y ln y = ln [f(x)]g(x) ln y = g(x) ln [f(x)] Se observa que lim π‘₯β†’π‘Ž ln 𝑦 = lim π‘₯β†’π‘Ž 𝑔 π‘₯ . ln(𝑓 π‘₯ ) es de la forma 0. ∞. Si se supone que lim π‘₯β†’π‘Ž ln 𝑦 = ln lim π‘₯β†’π‘Ž 𝑦 = 𝐿 entonces lim π‘₯β†’π‘Ž 𝑦 = 𝑒 𝐿 o bien lim π‘₯β†’π‘Ž [𝑓 π‘₯ ] 𝑔(π‘₯) = 𝑒 𝐿 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 1. lim π‘₯β†’0 (1 + π‘₯2 ) 1 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero serΓ‘ aplicar ln , aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracciΓ³n), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada y = (1 + π‘₯2) 1 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 ln y = ln (1 + π‘₯2) 1 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 = 1 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 ln(1 + π‘₯2) lim π‘₯β†’0 ln y = lim π‘₯β†’0 ln(1+ π‘₯2) 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 = lim π‘₯β†’0 2π‘₯ (1+ π‘₯2) 𝑒 π‘₯ βˆ’1 = lim π‘₯β†’0 2π‘₯ (1+ π‘₯2)(𝑒 π‘₯ βˆ’1) = lim π‘₯β†’0 2 1+ π‘₯2 𝑒 π‘₯+2π‘₯ (𝑒 π‘₯ βˆ’1) = 2 Por tanto lim π‘₯β†’0 y = lim π‘₯β†’0 (1 + π‘₯2) 1 𝑒 π‘₯ βˆ’π‘₯ βˆ’1 = 𝑒2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta Se aplica ln a β€œy” despuΓ©s las propiedades de logaritmos
  9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 2. lim π‘₯β†’0 π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero serΓ‘ aplicar ln , aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracciΓ³n), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada 𝑦 = π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ = 𝑠𝑒𝑛π‘₯. 𝑙𝑛π‘₯ = ln π‘₯ 𝑐𝑠𝑐π‘₯ lim π‘₯β†’0 𝑙𝑛 𝑦 = lim π‘₯β†’0 ln π‘₯ 𝑐𝑠𝑐π‘₯ = lim π‘₯β†’0 1 π‘₯ βˆ’π‘π‘œπ‘‘π‘₯ 𝑐𝑠𝑐π‘₯ = lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛2 π‘₯ βˆ’π‘₯ π‘π‘œπ‘ π‘₯ = lim π‘₯β†’0 2𝑠𝑒𝑛π‘₯π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’ π‘π‘œπ‘ π‘₯ + 𝑠𝑒𝑛π‘₯ = 0 Por tanto lim π‘₯β†’0 y = lim π‘₯β†’0 π‘₯ 𝑠𝑒𝑛π‘₯ = 𝑒0 = 1 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL AcΓ‘ se convirtiΓ³ a senos y cosenos, se efectuΓ³ la divisiΓ³n y nos resulto lo siguiente Se deriva la anterior y resulta Se aplica ln a β€œy” despuΓ©s las propiedades de logaritmos RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Revisar en el libro de CΓ‘lculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver Ejercicio 4.5 del No. 13 al 29, del No. 47 al 64 de la pΓ‘gs. 222 y 223. EXTREMOS DE FUNCIONES
  10. 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 BIBLIOGRAFIA Textos Autor AΓ±o de EdiciΓ³n TΓ­tulo Lugar de PublicaciΓ³n Editorial BΓ‘sicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con GeometrΓ­a AnalΓ­tica MΓ©xico Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con GeometrΓ­a AnalΓ­tica MΓ©xico Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 CΓ‘lculo con GeometrΓ­a AnalΓ­tica MΓ©xico Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 MΓ©todos Fundamentales de EconomΓ­a MatemΓ‘tica EspaΓ±a Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 MatemΓ‘tica I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 MatemΓ‘ticas Aplicadas a la AdministraciΓ³n y la economΓ­a MΓ©xico Pearson EducaciΓ³n Dennis G. Zill 2011 CΓ‘lculo Trascendentes tempranas MΓ©xico Mc. Graw Hill RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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