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Calculo diferencial de funciones de una variable

Definición de derivada, Continuidad y Diferenciabilidad, teoremas sobre derivadas

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Calculo diferencial de funciones de una variable

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 El Cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas sobre los que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII.  El problema de la recta tangente. .  El problema de la velocidad y la aceleración  El problema de los máximos y mínimos.  El problema del área. Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como introducción al Cálculo. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 ¿Qué significa decir que una recta es tangente a una curva en un punto? Para un círculo, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Para una curva general, sin embargo, el problema es más difícil. Por ejemplo, ¿cómo podríamos definir las rectas tangentes de la figura siguiente?  Podríamos afirmar que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla.  También podríamos decir que una recta es tangente a una curva en P si la toca o la intersecta sólo en el punto P. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 El problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al de hallar su pendiente en ese punto. Podemos aproximar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante que pasa por P y por otro punto cercano de la curva. Si (c, f(c)) es el punto de tangencia y (c + Δx, f (c + Δx)) es el otro punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos viene dada sustituyendo en la fórmula EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE 𝑚 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑐 = 𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐 ∆𝑥 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 DEFINICIÓN. La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de “x” a “x + Δx” se define por la razón Δy/Δx. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥 ∆𝑥 Es necesario que el intervalo completo de x a x+Δx pertenezca al dominio de f. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Definición: Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐 ∆𝑥 = 𝑚 Entonces la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)) se llama también pendiente de la gráfica de f en x = c. Ecuación de la recta tangente y – f(x0) = m (x – x0) EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 Ejemplo: Dada la función f(x) = 2 - x2 . Calcule la pendiente de la rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos x = 0 y x = 1. f(x) = 2 - x2 f(0) = 2 f(1) = 1 f(x + Δx) = 2 – (x +Δx)2 mTAN = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 [2 − 𝑥+ ∆𝑥 2] −(2−𝑥2 ∆𝑥 mTAN = lim ∆𝑥→0 [2 −𝑥2−2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥 2 − 2 + 𝑥2 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 [−2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥 2 ∆𝑥 = mTAN = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥(−2𝑥 − ∆𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (−2𝑥 − ∆𝑥 = -2x mTAN (x = 0) = -2(0) = 0 ERT : y – 2 = 0(x – 0) → y = 2 mTAN (x = 1) = -2(1) = -2 ERT : y – 1 = -2(x – 1) → 2x + y = 3 EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Definición: La derivada de una función y = f(x) con respecto a x es 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥 ∆𝑥 siempre que el límite existe. Además de f’(x) también se pueden usar las siguientes notaciones para la derivada de la función y = f(x) y’, dy , d [f (x)] , Dx[y] dx dx DERIVADA DE UNA FUNCION RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 La derivada f’(x) también se llama razón de cambio instantánea de la función y = f(x) con respecto a la variable x. El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación. Una función es derivable (o diferenciable) en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. DERIVADA DE UNA FUNCION
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones f(x) = x3 , en x = 0 y x = 2 f(x +Δx) = (x +Δx)3 f’(x) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 [ 𝑥+ ∆𝑥 3] −(𝑥3 ∆𝑥 f’(x) = lim ∆𝑥→0 [𝑥3+3𝑥2∆𝑥+3𝑥 ∆𝑥 2+(∆𝑥 3 − 𝑥3 ∆𝑥 = f’(x) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥(3𝑥2+3𝑥∆𝑥+ ∆𝑥 2 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (3𝑥2 + 3𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 f’(x) = 3x2 f’(0) = 3(0)2 = 0 f’(2) = 3(2)2 = 12 DERIVADA DE UNA FUNCION RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones, f(x) = 1/x en x = 1 y x = 2 f(x +Δx) = 1/(x +Δx) f’(x) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 𝑥+ ∆𝑥 − 1 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥 −(𝑥+∆𝑥 𝑥(𝑥+ ∆𝑥 ∆𝑥 f’(x) = lim ∆𝑥→0 −∆𝑥 𝑥(𝑥+ ∆𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −1 𝑥2+ 𝑥∆𝑥 = −1 𝑥2 f’(1) = −1 12 = -1 f’(2) = −1 22 = −1 4 DERIVADA DE UNA FUNCION
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones f(x) = senx , en x = π f(x + Δx) = sen (x + Δx) f’(x) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥+∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∆𝑥 f’(x) = lim ∆𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠∆𝑥+cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∆𝑥 = f’(x) = lim ∆𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠∆𝑥−1 +𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥 ∆𝑥 = f’(x) = sen x lim ∆𝑥→0 𝑐𝑜𝑠∆𝑥−1 ∆𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥 ∆𝑥 = senx (0) +cosx (1) f’(x) = cos x f’(π) = cosπ = -1 DERIVADA DE UNA FUNCION RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 DERIVADA DE UNA FUNCION Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, leer el inciso 3.1 paginas 122-128 y resolver en el Ejercicio 3.1 los No. 3, 5, 9,11,14,16, 21 y 22 de la pág. 128.
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 DERIVADA DE UNA FUNCION Responder de acuerdo a lo aprendido en la siguiente guía: ¿Que entendí por derivada? ¿Se podría calcular la derivada de otras funciones como tanx, lnx, ex, arctanx,..etc. Existe otra forma de calcularlas de manera más sencilla. RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 La derivada de una función en un punto P es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, f(x)). La recta tangente a la curva y = f(x) en P (x0, y0) es la recta trazada por P(x0, f(x0)) con pendiente f’(x0), con ecuación dada por: y – f(x0) = f’(x0) (x – x0) INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
  9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 Derivadas laterales Si la función f está definida en x0, entonces la derivada por la derecha de f en x0 denotada por f+’(x0) está definida como 𝑓 𝑥 + ′ = lim ∆𝑥→0+ 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 ∆𝑥 = lim 𝑥→𝑥0 + 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 DERIVADA DE UNA FUNCION RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Si la función f está definida en x0, entonces la derivada por la izquierda de f en x0 denotada por f’(x0) está definida como 𝑓 𝑥 − ′ = lim ∆𝑥→0− 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 ∆𝑥 = lim 𝑥→𝑥0 − 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 Para que exista la derivada de f en x0, f’(x0) es necesario y suficiente que 𝑓 𝑥 + ′ = 𝑓(𝑥 − ′ DERIVADA DE UNA FUNCION
  10. 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 Una función f es diferenciable en un número x0 de un intervalo (a,b), si y solo si 𝑓 𝑥 𝑜 + ′ = 𝑓(𝑥 𝑜 − ′ Teorema. Si f es diferenciable en un número “a”, entonces f es continua en “a”. El reciproco de este teorema no es necesariamente cierto es decir, que una función f puede ser continua en a y sin embargo no diferenciable en a. CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 Ejemplo: Sea la función definida por 5 - 6x, si x ≤ 3 f (x) = -4 – x2, si x > 3 a) Probar que f es continua en x = 3 b) Encontrar 𝑓 3 + ′ 𝑦 𝑓 3 − ′ c) ¿Es diferenciable en x = 3? CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD
  11. 11. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 11 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21 1. Probar que f es continua en x = 3 a) f(3) = 5 -6(3) = -13 Existe 𝑏 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3− 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3− 5 − 6𝑥 = −13 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ −4 − 𝑥2 = −13 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑓 𝑥 = -13 Existe c) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑓 𝑥 = f(3) = -13 Por tanto, la función es continua en x = 3 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.22 b) Encontrar 𝑓 3 + ′ 𝑦 𝑓 3 − ′ 𝑓(3 + ′ = lim 𝑥→𝑥0 + 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0 𝑥− 𝑥0 = lim 𝑥→3+ −4 − 𝑥2 − −13 𝑥−3 = lim 𝑥→3+ 9 − 𝑥2 𝑥−3 = lim 𝑥→3+ 3 −𝑥 (3+𝑥 𝑥−3 = − lim 𝑥→3+ 3 + 6 = −6 𝑓(3 − ′ = lim 𝑥→𝑥0 − 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0 𝑥− 𝑥0 = lim 𝑥→3+ 5 −6𝑥 − −13 𝑥−3 = lim 𝑥→3+ −6𝑥+18 𝑥−3 = lim 𝑥→3+ −6(𝑥−3 𝑥−3 = lim 𝑥→3+ 𝑥 −3 𝑥 −3 = −6 c) ¿Es diferenciable en x = 3? La función es diferenciable ya que 𝑓 3 + ′ = 𝑓 3 − ′ CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD
  12. 12. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 12 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.23 DERIVADA DE UNA FUNCION Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.1 los No. 33, 34, 35, 38 y 40 de la pág. 128. RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.24 Teorema No. 1: Si c es una constante y si f(x) = c para todo x entonces f’(x) = 0 Teorema No. 2: Si n es un entero positivo y si f(x) = xn, entonces f’(x) = n xn-1. Teorema No. 3: Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g(x) = c.f(x) entonces si f’(x) existe g’(x) = c.f’(x). Teorema No. 4: Si f y g son funciones y h es la función definida por h(x) = f(x) ± g(x) entonces si f’(x) y g’(x) existen entonces h’(x) = f’(x) ± g’(x). TEOREMAS SOBRE DERIVADA
  13. 13. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 13 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.25 Teorema No. 5: Si f y g son funciones y h es la función definida por h(x) = f(x)*g(x) entonces si f’(x) y g’(x) existen entonces h’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x) Teorema No. 6: Si f y g son funciones y h es la función definida por h(x) = f(x)/g(x) donde g(x) ≠ 0, entonces si f’(x) y g’(x) existen entonces h’(x) = g(x)f’(x) - f(x)g’(x) [g(x)]2 TEOREMAS SOBRE DERIVADA RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.26 Teorema No. 7: Si n es un entero positivo y si f(x) = x-n, entonces f’(x) = -n x-n-1. Teorema No. 8: Regla de la cadena. Si y = f(u) es una función diferenciable de u y u = g(x) es una función diferenciable de x entonces f’(x) = f’[u]*g’(x) = f’[g(x)]*g’(x). TEOREMAS SOBRE DERIVADA
  14. 14. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 14 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.27 TEOREMAS SOBRE DERIVADA Ejemplos: Derive las siguientes funciones aplicando los teoremas RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.28 Ejemplos: Derive las siguientes funciones aplicando los teoremas TEOREMAS SOBRE DERIVADA
  15. 15. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 15 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.29 TEOREMAS SOBRE DERIVADA Ejemplos: Derive las siguientes funciones aplicando los teoremas RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.30 DERIVADA DE UNA FUNCION Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.2 del 9 al 16, del 21 al 24 y del 29 al 32 de la págs. 136 y 137. Ejercicio 3.3. del 1 al 15 pagina 142. Ejercicio 3.5 del 1 al 8 pagina 155.
  16. 16. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 16 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.31 DERIVADA DE UNA FUNCION Por si quieres practicar más la derivada les dejo más ejercicios. RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.32 DERIVADA DE UNA FUNCION Por si quieres practicar más la derivada les dejo más ejercicios.
  17. 17. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 25/05/2018 MATEMATICA I 17 RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.33 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill RJAL 25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.34 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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