Derivada de funciones y recta tangente

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
25/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
El Cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro
problemas sobre los que estaban trabajando los
matemáticos europeos en el siglo XVII.
 El problema de la recta tangente. .
 El problema de la velocidad y la aceleración
 El problema de los máximos y mínimos.
 El problema del área.
Cada uno de ellos involucra la noción de límite y
podría servir como introducción al Cálculo.
EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
¿Qué significa decir que una recta es tangente a
una curva en un punto?
Para un círculo, la recta tangente en un punto P es
la recta perpendicular al radio que pasa por P
RJAL
Para una curva general, sin embargo, el problema es más
difícil. Por ejemplo, ¿cómo podríamos definir las rectas
tangentes de la figura siguiente?
 Podríamos afirmar que una recta es tangente a una curva
en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla.
 También podríamos decir que una recta es tangente a
una curva en P si la toca o la intersecta sólo en el punto P.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
El problema de hallar la recta tangente en
un punto P se reduce al de hallar su
pendiente en ese punto. Podemos
aproximar la pendiente de la recta
tangente usando la recta secante que
pasa por P y por otro punto cercano de la
curva. Si (c, f(c)) es el punto de tangencia
y (c + Δx, f (c + Δx)) es el otro punto de la
gráfica de f, la pendiente de la recta
secante que pasa por esos dos puntos
viene dada sustituyendo en la fórmula
𝑚 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥
=
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐
𝑐 + ∆𝑥 − 𝑐
=
𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐
∆𝑥
RJAL
DEFINICIÓN. La tasa de cambio promedio de una
función f sobre un intervalo de “x” a “x + Δx” se define
por la razón Δy/Δx.
Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con
respecto a x es
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥
∆𝑥
Es necesario que el intervalo completo de x a x+Δx
pertenezca al dominio de f.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
Definición: Si f está definida en un intervalo abierto que
contiene a c y además existe el límite
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐
∆𝑥
= 𝑚
Entonces la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se
llama recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)).
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
(c, f(c)) se llama también pendiente de la gráfica de f en
x = c.
Ecuación de la recta tangente y – f(x0) = m (x – x0)
RJAL
Ejemplo: Dada la función f(x) = 2 - x2 . Calcule la pendiente de la
rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos x = 0 y x = 1.
f(x) = 2 - x2 f(0) = 2 f(1) = 1 f(x + Δx) = 2 – (x +Δx)2
mTAN = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
[2 − 𝑥+ ∆𝑥 2] −(2−𝑥2
∆𝑥
mTAN = lim
∆𝑥→0
[2 −𝑥2−2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥 2 − 2 + 𝑥2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
[−2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥 2
∆𝑥
=
mTAN = lim
∆𝑥→0
∆𝑥(−2𝑥 − ∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(−2𝑥 − ∆𝑥 = -2x
mTAN (x = 0) = -2(0) = 0 ERT : y – 2 = 0(x – 0) → y = 2
mTAN (x = 1) = -2(1) = -2 ERT : y – 1 = -2(x – 1) → 2x + y = 3

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
Definición: La derivada de una función y = f(x) con
respecto a x es
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥
∆𝑥
siempre que el límite existe.
Además de f’(x) también se pueden usar las siguientes
notaciones para la derivada de la función y = f(x)
y’, dy , d [f (x)] , Dx[y]
dx dx
DERIVADA DE UNA FUNCION
RJAL
La derivada f’(x) también se llama razón de
cambio instantánea de la función y = f(x) con
respecto a la variable x. El proceso de hallar la
derivada de una función se llama derivación.
Una función es derivable (o diferenciable) en x si
su derivada en x existe, y derivable en un
intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y
cada uno de los puntos de ese intervalo.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones
f(x) = x3 , en x = 0 y x = 2
f(x +Δx) = (x +Δx)3
f’(x) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
[ 𝑥+ ∆𝑥 3] −(𝑥3
∆𝑥
f’(x) = lim
∆𝑥→0
[𝑥3+3𝑥2∆𝑥+3𝑥 ∆𝑥 2+(∆𝑥 3 − 𝑥3
∆𝑥
=
f’(x) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥(3𝑥2+3𝑥∆𝑥+ ∆𝑥 2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(3𝑥2
+ 3𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2
f’(x) = 3x2
f’(0) = 3(0)2 = 0 f’(2) = 3(2)2 = 12
RJAL
Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones,
f(x) = 1/x en x = 1 y x = 2
f(x +Δx) = 1/(x +Δx)
f’(x) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1
𝑥+ ∆𝑥
−
1
𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑥 −(𝑥+∆𝑥
𝑥(𝑥+ ∆𝑥
∆𝑥
f’(x) = lim
∆𝑥→0
−∆𝑥
𝑥(𝑥+ ∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
−1
𝑥2+ 𝑥∆𝑥
=
−1
𝑥2
f’(1) =
−1
12 = -1
f’(2) =
−1
22 =
−1
4

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
Ejemplo: Encuentre la derivada de las siguientes funciones
f(x) = senx , en x = π
f(x + Δx) = sen (x + Δx)
f’(x) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥+∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
∆𝑥
f’(x) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠∆𝑥+cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
∆𝑥
=
f’(x) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠∆𝑥−1 +𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
=
f’(x) = sen x lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠∆𝑥−1
∆𝑥
+𝑐𝑜𝑠𝑥 lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
= senx (0) +cosx (1)
f’(x) = cos x f’(π) = cosπ = -1
RJAL
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, leer el inciso 3.1
paginas 122-128 y resolver en el
Ejercicio 3.1 los No. 3, 5, 9,11,14,16,
21 y 22 de la pág. 128.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
Responder de acuerdo a lo aprendido
en la siguiente guía:
¿Que entendí por derivada?
¿Se podría calcular la derivada de
otras funciones como tanx, lnx, ex,
arctanx,..etc.
Existe otra forma de calcularlas de
manera más sencilla.
RJAL
La derivada de una función en
un punto P es la pendiente de
la recta tangente a la curva en
el punto (x, f(x)).
La recta tangente a la curva
y = f(x) en P (x0, y0) es la recta
trazada por P(x0, f(x0)) con
pendiente f’(x0), con ecuación
dada por:
y – f(x0) = f’(x0) (x – x0)
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
Derivadas laterales
Si la función f está definida en x0, entonces la
derivada por la derecha de f en x0 denotada por
f+’(x0) está definida como
𝑓 𝑥 +
′
= lim
∆𝑥→0+
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
∆𝑥
= lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
RJAL
Si la función f está definida en x0, entonces la
derivada por la izquierda de f en x0 denotada por
f’(x0) está definida como
𝑓 𝑥 −
′
= lim
∆𝑥→0−
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
∆𝑥
= lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
Para que exista la derivada de f en x0, f’(x0) es
necesario y suficiente que 𝑓 𝑥 +
′
= 𝑓(𝑥 −
′

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 10
RJAL
Una función f es diferenciable en un número x0 de
un intervalo (a,b), si y solo si 𝑓 𝑥 𝑜 +
′
= 𝑓(𝑥 𝑜 −
′
Teorema. Si f es diferenciable en un número “a”,
entonces f es continua en “a”.
El reciproco de este teorema no es
necesariamente cierto es decir, que una función f
puede ser continua en a y sin embargo no
diferenciable en a.
CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD
RJAL
Ejemplo: Sea la función definida por
5 - 6x, si x ≤ 3
f (x) =
-4 – x2, si x > 3
a) Probar que f es continua en x = 3
b) Encontrar 𝑓 3 +
′
𝑦 𝑓 3 −
′
c) ¿Es diferenciable en x = 3?

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 11
RJAL
1. Probar que f es continua en x = 3
a) f(3) = 5 -6(3) = -13 Existe
𝑏 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
5 − 6𝑥 = −13
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
−4 − 𝑥2
= −13
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 = -13 Existe
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 = f(3) = -13 Por tanto, la función es continua en x = 3
RJAL
b) Encontrar 𝑓 3 +
′
𝑦 𝑓 3 −
′
𝑓(3 +
′
= lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0
𝑥− 𝑥0
= lim
𝑥→3+
−4 − 𝑥2 − −13
𝑥−3
= lim
𝑥→3+
9 − 𝑥2
𝑥−3
= lim
𝑥→3+
3 −𝑥 (3+𝑥
𝑥−3
= − lim
𝑥→3+
3 + 6 = −6
𝑓(3 −
′
= lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0
𝑥− 𝑥0
= lim
𝑥→3+
5 −6𝑥 − −13
𝑥−3
= lim
𝑥→3+
−6𝑥+18
𝑥−3
= lim
𝑥→3+
−6(𝑥−3
𝑥−3
= lim
𝑥→3+
𝑥 −3
𝑥 −3
= −6
c) ¿Es diferenciable en x = 3?
La función es diferenciable ya que 𝑓 3 +
′
= 𝑓 3 −
′

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 12
RJAL
Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio
3.1 los No. 33, 34, 35, 38 y 40 de la
pág. 128.
RJAL
Teorema No. 1: Si c es una constante y si f(x) = c para
todo x entonces f’(x) = 0
Teorema No. 2: Si n es un entero positivo y si f(x) = xn,
entonces f’(x) = n xn-1.
Teorema No. 3: Si f es una función, c es una constante
y g es la función definida por g(x) = c.f(x) entonces si
f’(x) existe g’(x) = c.f’(x).
Teorema No. 4: Si f y g son funciones y h es la función
definida por h(x) = f(x) ± g(x) entonces si f’(x) y g’(x)
existen entonces h’(x) = f’(x) ± g’(x).
TEOREMAS SOBRE DERIVADA

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 13
RJAL
Teorema No. 5: Si f y g son funciones y h es la
función definida por h(x) = f(x)*g(x) entonces si
f’(x) y g’(x) existen entonces
h’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x)
Teorema No. 6: Si f y g son funciones y h es la
función definida por h(x) = f(x)/g(x) donde g(x) ≠
0, entonces si f’(x) y g’(x) existen entonces
h’(x) = g(x)f’(x) - f(x)g’(x)
[g(x)]2
RJAL
Teorema No. 7: Si n es un entero positivo y si
f(x) = x-n, entonces f’(x) = -n x-n-1.
Teorema No. 8: Regla de la cadena. Si y = f(u) es
una función diferenciable de u y u = g(x) es una
función diferenciable de x entonces
f’(x) = f’[u]*g’(x) = f’[g(x)]*g’(x).

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 14
RJAL
Ejemplos: Derive las siguientes funciones aplicando los teoremas
RJAL

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 15
RJAL
RJAL
Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio
3.2 del 9 al 16, del 21 al 24 y del 29
al 32 de la págs. 136 y 137. Ejercicio
3.3. del 1 al 15 pagina 142. Ejercicio
3.5 del 1 al 8 pagina 155.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 16
RJAL
Por si quieres practicar más la derivada les dejo más ejercicios.
RJAL
Por si quieres practicar más la derivada les dejo más ejercicios.

LOPEZ
25/05/2018
MATEMATICA I 17
RJAL
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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