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Calculo diferencial de funciones de una variable

Derivadas de orden superior, Derivacion implicita , Derivada de una funcion inversa

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Calculo diferencial de funciones de una variable

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Supongamos que la función y = f(x) es derivable en un intervalo I, los valores de la derivada f’(x) depende de x, es decir la derivada de f(x) también es una función de x, derivando esta última función se obtiene la segunda derivada de la función. Definición: La derivada de la primera derivada se denomina derivada de segundo orden o segunda derivada de la función primitiva y se simboliza por f’’(x), y’’, d2y, d2 [f (x)] , D2 x[y] dx2 dx2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 La derivada de la segunda derivada se denomina derivada de tercer orden o tercera derivada de la función y se simboliza por f’’’(x), y’’’, d3y, d3 [f (x)] , D3 x[y] dx3 dx3 y así sucesivamente. Ejemplo: Dada la función f(x) = 5x6 + 3x5 – 2x4 +15x Encuentre f’’’(x). DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Ejemplo 1: Dada la función f(x) = 5x6 + 3x5 – 2x4 +15x. Encuentre f’’’(x). f’(x) = 30x5 + 15x4 – 8x3 + 15 f’’(x) = 150x4 + 60x3 – 24x2 f’’’(x) = 600x3 + 180x2 – 48x Ejemplo 2: Dada la función f 𝑥 = (1 − 2 𝑥)4. Encuentre f’’(x). f′(x) = 4 1 − 2 𝑥 3. (−2)( 1 2 𝑥 ) = −4 1 − 2 𝑥 3. ( 1 𝑥 ) f′′ 𝑥 = −12 1 − 2 𝑥 2. (−2)( 1 2 𝑥 )( 1 𝑥 ) + −4 1 − 2 𝑥 3. (− 1 2 𝑥3 ) f′′ 𝑥 = 12 1 − 2 𝑥 2. ( 1 𝑥 ) + 2 1 − 2 𝑥 3. ( 1 𝑥3 ) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.2 los No. 33 al 40 y del 47 al 48 de la pág. 137. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 Para entender como hallar dy/dx implícitamente debemos observar que la derivación se efectúa respecto a x. Ello quiere decir que cuando derivemos términos que contienen solo a x, podemos derivar como de costumbre. Pero al derivar términos con y habremos de aplicar la regla de la cadena. Ejemplo: Derivemos con respecto a x. a) 3x6 su derivada es 18x5 b) y su derivada es 1.y’ = y’ b) 9y2 su derivada es 18y. y’ c) 3x2y2 aplicando la regla del producto su derivada es 6x.y2 + 6x2. y.y’ DERIVACION IMPLICITA
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Cuando una ecuación que contiene a “x” e “y” y supuesto que “y” es una función derivable de “x”, se puede hallar y’ como sigue: 1. Derivar a ambos lados de la ecuación con respecto a x. 2. Pasamos a todos los términos que contengan dy/dx a la izquierda de la ecuación y todos los demás a la derecha 3. Factorizamos dy/dx del lado izquierdo. 4. Despejamos dy/dx DERIVACION IMPLICITA RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y evaluar la derivada en el punto indicado. 1. y2 + x2y + x3 = 3 2. (x + y)3 = x3 + y3 en (-1,1) 3. (x + y)2 – (x – y)2 = x4 + y4 4. x4 + x2y3 – y5 = 2x + 1 5. y-3x6 + y6x-3 = 2x + 1 6. x + y = x x - y DERIVACION IMPLICITA
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y evaluar la derivada en el punto indicado. 1. y2 + x2y + x3 = 3 2y.y’ + (2xy + x2y’) + 3x2 = 0 sacando factor común y’ y pasando los otros términos al lado derecho obtenemos y’(2y + x2) = -2xy – 3x2 y’ = -2xy – 3x2 2y + x2 DERIVACION IMPLICITA RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y evaluar la derivada en el punto indicado. 2. (x + y)3 = x3 + y3 en (-1,1) 3(x + y)2.(1 + y’) = 3x2 + 3y2.y’ 3(x + y)2 + 3(x + y)2 y’ = 3x2 + 3y2.y’ 3(x + y)2 y’ - 3y2.y’ = 3x2 - 3(x + y)2 y’[3(x + y)2 - 3y2] = 3x2 - 3(x + y)2 y’ = 3x2 - 3(x + y)2 = x2 - (x + y)2 3(x + y)2 - 3y2 (x + y)2 - y2 evaluando el punto (-1,1) y’ = (-1)2 - (-1 + 1)2 = 1 - (0)2 = -1 (-1 + 1)2 – (1)2 (0)2 - 1 DERIVACION IMPLICITA
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.6 los No. 5 al 20, del 31 al 34 y del 41 al 44 de la pág. 160. DERIVACION IMPLICITA RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Definición: Si una función f es biyectiva entonces existe otra función f-1 llamada función inversa de f tal que (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x o lo que es equivalente y = f(x) ↔ x = f-1(y) Teorema: Si para la función y = f(x) existe una función inversa x = f-1(y) tal que en un punto analizado “y” tiene derivada (f-1)’(y) distinta de cero, entonces la función y = f(x) en el punto correspondiente x tiene derivada f’(x) donde (f-1)’(y) = 1 / f’(x) o dx/dy = 1/(dy/dx) DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 Ejemplos: a) Encuentre la derivada de la función inversa de y = 2x3 + 8 dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/ (6x2) b) Encuentre la derivada de la función inversa de y = (2x + 1)/x dx/dy = 1/(dy/dx) dy/dx = x (2) – (2x + 1)(1) = - 1 x2 x2 dx/dy = 1/(dy/dx) = - x2 DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.7 los No. 9 al 12 de la pág. 167. DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 01/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill RJAL 01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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