Calculo diferencial de funciones de una variable

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
01/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
Supongamos que la función y = f(x) es derivable
en un intervalo I, los valores de la derivada f’(x)
depende de x, es decir la derivada de f(x) también
es una función de x, derivando esta última función
se obtiene la segunda derivada de la función.
Definición: La derivada de la primera derivada se
denomina derivada de segundo orden o segunda
derivada de la función primitiva y se simboliza por
f’’(x), y’’, d2y, d2 [f (x)] , D2
x[y]
dx2 dx2
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
La derivada de la segunda derivada se denomina
derivada de tercer orden o tercera derivada de la
función y se simboliza por
f’’’(x), y’’’, d3y, d3 [f (x)] , D3
x[y]
dx3 dx3
y así sucesivamente.
Ejemplo: Dada la función f(x) = 5x6 + 3x5 – 2x4 +15x
Encuentre f’’’(x).
RJAL
Ejemplo 1: Dada la función f(x) = 5x6 + 3x5 – 2x4 +15x. Encuentre f’’’(x).
f’(x) = 30x5 + 15x4 – 8x3 + 15
f’’(x) = 150x4 + 60x3 – 24x2
f’’’(x) = 600x3 + 180x2 – 48x
Ejemplo 2: Dada la función f 𝑥 = (1 − 2 𝑥)4. Encuentre f’’(x).
f′(x) = 4 1 − 2 𝑥 3. (−2)(
1
2 𝑥
) = −4 1 − 2 𝑥 3. (
1
𝑥
)
f′′ 𝑥 = −12 1 − 2 𝑥 2. (−2)(
1
2 𝑥
)(
1
𝑥
) + −4 1 − 2 𝑥 3. (−
1
2 𝑥3
)
f′′ 𝑥 = 12 1 − 2 𝑥 2. (
1
𝑥
) + 2 1 − 2 𝑥 3. (
1
𝑥3
)

LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio
3.2 los No. 33 al 40 y del 47 al 48 de
la pág. 137.
RJAL
Para entender como hallar dy/dx implícitamente debemos
observar que la derivación se efectúa respecto a x. Ello
quiere decir que cuando derivemos términos que
contienen solo a x, podemos derivar como de costumbre.
Pero al derivar términos con y habremos de aplicar la
regla de la cadena.
Ejemplo: Derivemos con respecto a x.
a) 3x6 su derivada es 18x5
b) y su derivada es 1.y’ = y’
b) 9y2 su derivada es 18y. y’
c) 3x2y2 aplicando la regla del producto
su derivada es 6x.y2 + 6x2. y.y’
DERIVACION IMPLICITA

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01/06/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
Cuando una ecuación que contiene a “x” e “y” y
supuesto que “y” es una función derivable de “x”, se
puede hallar y’ como sigue:
1. Derivar a ambos lados de la ecuación con
respecto a x.
2. Pasamos a todos los términos que contengan
dy/dx a la izquierda de la ecuación y todos los
demás a la derecha
3. Factorizamos dy/dx del lado izquierdo.
4. Despejamos dy/dx
RJAL
Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y
evaluar la derivada en el punto indicado.
1. y2 + x2y + x3 = 3
2. (x + y)3 = x3 + y3 en (-1,1)
3. (x + y)2 – (x – y)2 = x4 + y4
4. x4 + x2y3 – y5 = 2x + 1
5. y-3x6 + y6x-3 = 2x + 1
6. x + y = x
x - y

LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y
evaluar la derivada en el punto indicado.
1. y2 + x2y + x3 = 3
2y.y’ + (2xy + x2y’) + 3x2 = 0
sacando factor común y’ y pasando los otros
términos al lado derecho obtenemos
y’(2y + x2) = -2xy – 3x2
y’ = -2xy – 3x2
2y + x2
RJAL
Ejemplo: Hallar dy/dx por derivación implícita y evaluar la
derivada en el punto indicado.
2. (x + y)3 = x3 + y3 en (-1,1)
3(x + y)2.(1 + y’) = 3x2 + 3y2.y’
3(x + y)2 + 3(x + y)2 y’ = 3x2 + 3y2.y’
3(x + y)2 y’ - 3y2.y’ = 3x2 - 3(x + y)2
y’[3(x + y)2 - 3y2] = 3x2 - 3(x + y)2
y’ = 3x2 - 3(x + y)2 = x2 - (x + y)2
3(x + y)2 - 3y2 (x + y)2 - y2
evaluando el punto (-1,1)
y’ = (-1)2 - (-1 + 1)2 = 1 - (0)2 = -1
(-1 + 1)2 – (1)2 (0)2 - 1

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MATEMATICA I 6
RJAL
3.6 los No. 5 al 20, del 31 al 34 y del
41 al 44 de la pág. 160.
RJAL
Definición: Si una función f es biyectiva entonces
existe otra función f-1 llamada función inversa de f
tal que (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x o lo que es
equivalente y = f(x) ↔ x = f-1(y)
Teorema: Si para la función y = f(x) existe una
función inversa x = f-1(y) tal que en un punto
analizado “y” tiene derivada (f-1)’(y) distinta de
cero, entonces la función y = f(x) en el punto
correspondiente x tiene derivada f’(x) donde
(f-1)’(y) = 1 / f’(x) o dx/dy = 1/(dy/dx)
DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA

LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
Ejemplos:
a) Encuentre la derivada de la función inversa de y = 2x3 + 8
dx/dy = 1/(dy/dx)
= 1/ (6x2)
b) Encuentre la derivada de la función inversa de y = (2x + 1)/x
dx/dy = 1/(dy/dx)
dy/dx = x (2) – (2x + 1)(1) = - 1
x2 x2
dx/dy = 1/(dy/dx) = - x2
RJAL
3.7 los No. 9 al 12 de la pág. 167.

LOPEZ
01/06/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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