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Calculo diferencial de funciones de una variable

Derivada de funciones trigonométricas. Derivada de funciones trigonométricas inversas.

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Calculo diferencial de funciones de una variable

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Si U es una función diferenciable de x entonces aplicando la regla de la cadena tenemos  Teorema 1. Dx(sen U) = cosU. DxU  Teorema 2. Dx(cos U) = -senU. DxU  Teorema 3. Dx(tan U) = sec2U. DxU  Teorema 4. Dx(cot U) = -csc2U.DxU  Teorema 5. Dx(sec U) = secU.tanU DxU  Teorema 6. Dx(csc U) = -cscU.cotU DxU DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Ejemplos: a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: 1. f(x) = sen(x2 + 3) 2. y = x2senx + 2xcosx - 2senx 3. f(x) = tan2x/(1- cot2x) 4. f(x) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 5. f(x) = (x + sen4x)/(10 + cos3x) 6. csc(x – y) + sec(x + y) = y 7. f(x) = sec2 2x + tan2 2x b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado 3y + cosy = x2 en (1,0) DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Ejemplos: a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: 1. f(x) = sen(x2 + 3) f’(x) = cos(x2 + 3).(2x) = 2x cos(x2 + 3) 2. y = x2senx + 2xcosx - 2senx y’ = 2x senx + x2cosx + 2x(-senx) + cosx .(2) – 2cosx y’ = x2cosx 3. f(x) = tan2x/(1- cot2x) f’(x) = (1 –cot2x).(sec22x)(2) – tan2x . [0 – (-csc22x)(2)] (1- cot2x)2 f’(x) = 2[(1 –cot2x).sec22x – tan2x.csc22x] (1- cot2x)2 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 4. f(x) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 f’(x) = 1 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 1 2 𝑥 )( 𝑥) f’(x) = 1 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 1 2 ) f’(x) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥.𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 𝑥 5. f(x) = (x + sen4x)/(10 + cos3x) f’(x) = (10 + cos3x)(1+cos4x.(4)) – (x + sen4x)(0 – sen3x.(3)) (10 + cos3x)2 f’(x) = (10 + cos3x)(1+ 4cos4x) + 3(x + sen4x) sen3x (10 + cos3x)2 6. csc(x – y) + sec(x + y) = y - csc(x – y) cot(x - y). (1 – y’) + sec(x + y) tan(x + y). (1+ y’) = y’ y’(csc(x–y)cot(x-y)+sec(x+y)tan(x+y) – 1) = (csc(x–y)cot(x-y) + sec(x+y) tan(x+y) y’ = csc(x – y) cot(x - y) + sec(x + y) tan(x + y) . (csc(x – y)cot(x - y) + sec(x + y) tan(x + y) – 1) DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 7. f(x) = sec2 2x + tan2 2x f’(x) = 2sec2x. (sec2x. tan2x)(2) + 2 tan2x.(sec22x)(2) f’(x) = 4sec22x. tan2x + 4 tan2x.sec22x f’(x) = 8sec22x. Tan2x b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado 3y + cosy = x2 en (1,0) 3y’ – seny. y’ = 2x y’(3 – seny) = 2x y’ = 2x . (3 – seny) y’(1,0) = 2(1) . = 2 (3 – sen0) 3 Ecuación de la recta tangente y – y0 = y’(1,0) (x – x0) y – 0 = (2/3) (x – 1) 2x – 3y – 2 = 0 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver: Ejercicio 3.4 los No. 1 al 12 de la pág. 147. Ejercicio 3.5 los No. 21 al 32 de la pág. 155. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 Si U es una función diferenciable de x entonces aplicando la regla de la cadena tenemos:  Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑈 = 1 1− 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑈 = − 1 1− 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑈 = 1 1 + 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑈 = − 1 1 + 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 5. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑈 = 1 𝑈 𝑈2− 1 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 6. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐𝑈 = − 1 𝑈 𝑈2− 1 𝐷 𝑥 𝑈 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas: 1. y = arcsen 5x 2. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 2𝑥 − 1 3. f(x) = 2x – sec-1 5x 4. f(x) = 4 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥2 5. y2 senx + y = arctan x 6. f(x) = sen-1 2x/ cos-1 2x 7. 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 + 2𝑥 1 − 𝑥2 8. 𝑦 = 𝑥2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 9. 𝑐𝑜𝑡−1 𝑥2 3𝑦 + 𝑥𝑦2 = 0 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas: 1. y = arcsen 5x y’ = 5/ 1 − 25𝑥2 2. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 2𝑥 − 1 𝑓′ 𝑥 = 1 2 2𝑥 −1 .(2) 1+( 2𝑥 −1)2 = 1 2𝑥 2𝑥 −1 3. f(x) = 2x – sec-1 5x 𝑓′ 𝑥 = 2 − 5 5𝑥( 25 𝑥2 −1) = 2 − 1 𝑥 25𝑥2 −1 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 4. f(x) = 4 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥2 f′ x = 4 1 2 1− ( 𝑥 2 )2 + 1 . 4 − 𝑥2 + x 1 2 −2𝑥 4 −𝑥2 f′ x = 2 1 2 4− 𝑥2 + 4 − 𝑥2 − 𝑥2 4 −𝑥2 f′ x = 4 + 4 − 𝑥2 − 𝑥2 4− 𝑥2 = 8 −2𝑥2 4− 𝑥2 = 2(4 − 𝑥2) 4− 𝑥2 = 2 4 − 𝑥2 5. y2 senx + y = arctan x 2y. y’. senx + y2cosx + y’ = 1/(1+x2) y’ (2y. senx+1) = 1/(1+x2) - y2cosx y’ (2y. senx+1) = 1 - y2cosx (1+x2) (1+x2) y’ = 1 - y2cosx (1+x2) . (1+x2) (2y. senx+1) DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 7. f(x) = sen-1 2x/ cos-1 2x f′ x = 𝑐𝑜𝑠−12𝑥. 2 1− 4𝑥2 −𝑠𝑒𝑛−12𝑥. −2 1− 4𝑥2 (𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2 f′ x = 2(𝑐𝑜𝑠−12𝑥.+ 𝑠𝑒𝑛−12𝑥) (𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2 = 2(𝜋/2) (𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2 f′ x = 𝜋 (𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2 8. 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 + 2𝑥 1 − 𝑥2 𝑦′ = 2. −1 1− 𝑥2 +2. 1 − 𝑥2 + 2𝑥 ( −2𝑥 2 1− 𝑥2 ) y′ = −2 +2 −2𝑥2 −2𝑥2 1− 𝑥2 = − 4𝑥2 1− 𝑥2 9. 𝑦 = 𝑥2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 + 𝑥2 1 1+ 𝑥2−1 2 ( 1 2 )( 2𝑥 𝑥2−1 ) 𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 + 𝑥2 1 1+ 𝑥2 −1 ( 𝑥 𝑥2−1 ) 𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 + 𝑥2 𝑥2−1 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.7 los No. 15 al 30 de la pág. 167. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 Si U es una función diferenciable de x entonces aplicando la regla de la cadena tenemos:  Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑈 = 1 𝑈 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑒 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑙𝑛 𝑈 = 1 𝑈 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎 𝑈 = 𝑎 𝑢 ln 𝑎 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑒 𝑈 = 𝑒 𝑢 𝐷 𝑥 𝑈 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales 1. y = ln x3 2. y = ln (t2 (3t2 + 6)) 3. f(x) = ln 4x / ln2x 4. f(x) = log (x/(x +1)) 5. xy = ln (x2 + y2) 6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9)) 7. 𝑦 = 25𝑥 34𝑥2 8. 𝑦 = 𝑒(𝑥+𝑦)2 9. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + ln 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥+1 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 Sea y = f(x) una función positiva y diferenciable en el punto x, entonces la función z = ln y también es diferenciable en el mismo punto x y tiene lugar la formula z’ = (ln (f(x))’ = f’(x)/f(x) Llamada derivada logarítmica de la función y = f(x) en el punto x. La derivada logarítmica proporciona un medio para encontrar la derivada de una expresión de la forma y = (variable)variable DERIVACION LOGARITMICA
  9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 Ejemplos: a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando derivación logarítmicas. 1. 𝑦 = 𝑥 𝑥 2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 4. 𝑦 = (𝑥2 + 1)(𝑥+1) 𝑥 5. 𝑦 = 𝑥 + 2 3 (𝑥2 − 1)2 4 − 5𝑥 6 (2𝑥3 − 𝑥)7 b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica: 1. y = x(ln x)x en x = e 2. y2 .4y = x.2x en (4,2) DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill
  10. 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 03/06/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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