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Calculo diferencial de funciones de una variable

Derivada de funciones logarítmicas y exponenciales, Derivación logarítmica.

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Calculo diferencial de funciones de una variable

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Si U es una función diferenciable de x entonces aplicando la regla de la cadena tenemos:  Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑈 = 1 𝑈 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑒 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑙𝑛 𝑈 = 1 𝑈 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎 𝑈 = 𝑎 𝑢 ln 𝑎 𝐷 𝑥 𝑈  Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑒 𝑈 = 𝑒 𝑢 𝐷 𝑥 𝑈 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales 1. y = ln x3 2. y = ln (t2 (3t2 + 6)) 3. f(x) = ln 4x / ln2x 4. f(x) = log (x/(x +1)) 5. xy = ln (x2 + y2) 6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9)) 7. 𝑦 = 5 𝑥2+ 1 8. 𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2 9. 𝑦 = 25𝑥 34𝑥2 10 . 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + ln 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥+1 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales 1. y = ln x3 y = 3 ln x y’ = 3/x 2. y = ln (t2 (3t2 + 6)) y’ = 2t (3t2 + 6) + t2 (6t) (t2 (3t2 + 6)) y’ = 12t3 + 12t . = 12t (t2 + 1) = 4(t2 + 1) t2 (3t2 + 6) 3t2 (t2 + 2) t(t2 + 2) 3. 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛4𝑥/𝑙𝑛2𝑥 𝑓 𝑥 = 4 4𝑥 .𝑙𝑛2𝑥 − 2 2𝑥 𝑙𝑛4𝑥 (𝑙𝑛2𝑥)2 = 1 𝑥 ( 𝑙𝑛2𝑥 − 𝑙𝑛4𝑥) (𝑙𝑛2𝑥)2 = 1 𝑥 ( 𝑙𝑛 2𝑥 4𝑥 ) (𝑙𝑛2𝑥)2 = 1 𝑥 (ln 1 2 ) (𝑙𝑛2𝑥)2 = − 𝑙𝑛2 𝑥(𝑙𝑛2𝑥)2 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 4. f(x) = log (x/(x +1)) f(x) = logx - log(x +1) f’(x) = (1/x)log e – (1/(x+1))log e f’(x) = [ 1/x – (1/(x+1))]. log e = x + 1 – x . log e = 1 . log e x(x+1) x(x+1) 5. xy = ln (x2 + y2) 𝑦 + 𝑥𝑦′ = ( 1 𝑥2+ 𝑦2)(2𝑥 + 2𝑦𝑦′ ) 𝑥𝑦′ − 2𝑦𝑦′ 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥 𝑥2+ 𝑦2 − 𝑦 𝑦′ ( 𝑥3 + 𝑦2 − 2𝑦 𝑥2 + 𝑦2 ) = 2𝑥 − 𝑥2 𝑦 − 𝑦3 𝑥2 + 𝑦2 𝑦′ = 2𝑥 − 𝑥2 𝑦 −𝑦3 𝑥3+𝑦2 −2𝑦 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9)) f(x) = log (x2 + 1) - log(x4 + 9) 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 𝑥2+1 log e − 4𝑥3 𝑥4+9 log 𝑒 = ( 2𝑥5+18𝑥 −4𝑥5 −4𝑥3 (𝑥4+9)(𝑥2+1) ) log 𝑒 𝑓′ 𝑥 = ( −2𝑥5 + 18𝑥 − 4𝑥3 (𝑥4+9)(𝑥2 + 1) ) log 𝑒 7. 𝑦 = 5 𝑥2+ 1 𝑦′ = 5 𝑥2+ 1. 𝑙𝑛5. (2𝑥) = 10𝑥. 5 𝑥2 . 𝑙𝑛5. 8. 𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2 𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2 . 12𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑥 2𝑥 − 1 𝑒4𝑥3 −3𝑥2 9. 𝑦 = 25𝑥 34𝑥2 𝑦′ = 25𝑥 𝑙𝑛2 . 5 . 34𝑥2 + 34𝑥2 (ln3)(8x)(25𝑥) 𝑦′ = 25𝑥. 34𝑥2 (5𝑙𝑛2 + 8xln3) DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 10. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + ln 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥+1 aplicando propiedades de los logaritmos 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + 1 2 ln 𝑒2𝑥 − 1 2 ln(𝑒2𝑥 + 1) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + 1 2 (2𝑥)ln 𝑒 − 1 2 ln(𝑒2𝑥 + 1) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + x − 1 2 ln(𝑒2𝑥 + 1) 𝑦′ = 𝑒 𝑥 1+ (𝑒 𝑥)2 + 1 − 1 2 𝑒2𝑥 2 (𝑒2𝑥+1) = 𝑒 𝑥 1+ 𝑒2𝑥 + 1 − 𝑒2𝑥 2(𝑒2𝑥+1) 𝑦′ = 2𝑒 𝑥+2𝑒2𝑥+2 − 𝑒2𝑥 2 1+ 𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥+2𝑒 𝑥+2 2 1+ 𝑒2𝑥 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en Ejercicio 3.8 los No. 9 al 24 y los No. 41 a 46 de la pág. 171. Ejercicio 3.9 los No. 11 al 24 y los No. 45 a 48 de la págs. 177 y 178. DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Sea y = f(x) una función positiva y diferenciable en el punto x, entonces la función z = ln y también es diferenciable en el mismo punto x y tiene lugar la formula z’ = (ln (f(x))’ = f’(x)/f(x) Llamada derivada logarítmica de la función y = f(x) en el punto x. La derivada logarítmica proporciona un medio para encontrar la derivada de una expresión de la forma y = (variable)variable DERIVACION LOGARITMICA RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 Ejemplos: a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando derivación logarítmicas. 1. 𝑦 = 𝑥 𝑥 2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica: 1. y = x(ln x)x en x = e DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando derivación logarítmicas. 1. 𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ln 𝑦 = ln 𝑥 𝑥 ln 𝑦 = 𝑥. ln 𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦′ 𝑦 = 1 2 𝑥 ln 𝑥 + 1 𝑥 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥+2 𝑥 2𝑥 𝑦′ = y 𝑥 ln 𝑥+2 𝑥 2𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 ln 𝑥+2 𝑥 2𝑥 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ln 𝑦 = ln (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 ln 𝑦 = 𝑥. ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦′ 𝑦 = 1 2 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥. 2 𝑥 𝑦′ = y ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 2 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 2 𝑥 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ln 𝑦 = ln 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦′ 𝑦 = 1 𝑥 + 1 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 + ( 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) . 𝑥 𝑦′ = y 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 =𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica: 1. y = x(ln x)x en x = e 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ln 𝑦 = ln 𝑥(𝑙𝑛𝑥) 𝑥 ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 ln(𝑙𝑛𝑥) 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦′ 𝑦 = 1 𝑥 + 1 ln(𝑙𝑛𝑥) + ( 1 𝑥 𝑙𝑛𝑥 ) . 𝑥 𝑦′ = y ( 1 𝑥 + ln 𝑙𝑛𝑥 + 1 𝑙𝑛𝑥 ) = 𝑥(𝑙𝑛𝑥) 𝑥 ( 1 𝑥 + ln 𝑙𝑛𝑥 + 1 𝑙𝑛𝑥 ) 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = e y y′ = (𝑙𝑛𝑒) 𝑒 ( 1 𝑒 + ln 𝑙𝑛𝑒 + 1 𝑙𝑛𝑒 = 1 + e entonces ERT será igual a y – e = (1+e) (x – e) (1 + e)x – y = e2 DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio 3.9 los No. 49 al 56 de la pág. 167. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill
  9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 05/06/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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