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Nociones de Límite y Continuidad de funciones de una variable

Definición de Límite, Teoremas sobre limite, Limites laterales y continuidad

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Nociones de Límite y Continuidad de funciones de una variable

  1. 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD III: NOCIONES DE LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Consideremos la siguiente función 𝑓 𝑥 = 2𝑥2+𝑥−3 𝑥−1 la cual no esta defina para x = 1, pero podemos notar que conforme x se aproxima a 1, los valores de f(x) se acercan a un número que se definirá más adelante. Esto se puede apreciar en las siguientes tablas: DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE
  2. 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Sea f una función y “a” un número fijado. Suponga que el dominio de f contiene intervalos abiertos (c, a) y (a, b) para algún c < a y algún número b > a, como se muestra en la figura. c a b Si al aproximarse x hacia “a” tanto por su izquierda como por su derecha f(x) tiende a un número específico L, entonces L se llama límite de f(x) cuando x tiende hacia “a” lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a “a”, excepto posiblemente en el número “a” mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a “a” es L, que se escribe como lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 si la siguiente proposición es verdadera: Para todo  > 0, no importa cuan pequeña sea, existe una  > 0 tal que: f(x) – L <  siempre que 0 < x – a <  DEFINICION FORMAL DE LIMITE a
  3. 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Revisar el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, en las páginas 103 a 109 y resolver en el Ejercicio 2.6 del 1 al 16 de la pág. 110. DEFINICION FORMAL DE LIMITE a RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 TEOREMAS SOBRE LIMITES 1. lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 2. Si c es una constante entonces para cualquier constante, entonces para cualquier número “a” lim 𝑥→𝑎 𝑐 = 𝑐 3. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces para cualquier número “a”, lim 𝑥→𝑎 (𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏 4. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝑀 5. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)] = 𝐿. 𝑀 6. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥)] = 𝐿/𝑀
  4. 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 TEOREMAS SOBRE LIMITES 7. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es cualquier número entero positivo, entonces lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥)] 𝑛 = [lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)] 𝑛 = 𝐿 𝑛 8. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es cualquier número entero positivo, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛 𝐿 , en el supuesto que L ≥ 0 cuando n es par. 9. Si a > 0 y n es cualquier entero positivo, ó si a ≤ 0, y n es cualquier entero impar entonces lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 10. Si “a” es cualquier número real distinto de cero, entonces ellim 𝑥→𝑎 1 𝑥 = 1 𝑎 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 TEOREMAS SOBRE LIMITES 11. Si a es un número real, f y g funciones que tienen límite cuando x tiende a “a”, entonces lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) = [ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)] lim g(x) 𝑥→𝑎 𝑠𝑖 lim f x > 0 𝑥→𝑎 12. Supongamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀𝑥 de cierto entorno reducido  de “a”. Además se supone que las funciones f(x) y h(x) tienden a un mismo límite cuando x tiende a “a” lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐿 en tal caso g(x) también tiende a L cuando x tiende a “a” lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿
  5. 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 TEOREMAS SOBRE LIMITES Resuelva los siguientes límites: 1. lim 𝑥→2 10𝑥 2. lim 𝑥→3 (2𝑥2 +5𝑥 + 3) 3. lim 𝑥→5 3𝑥+5 4𝑥 4. lim 𝑥→2 𝑥2 − 4 𝑥 −2 5. lim ℎ→0 (1−ℎ)2 −1 ℎ 6. lim 𝑥→0 𝑥+4 −2 𝑥 7. lim 𝑥→2 𝑥2 − 4 𝑥2 − 3𝑥 + 2 8. lim 𝑥→4 3 − 𝑥+5 1 − 5−𝑥 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 EJERCICIOS SOBRE LIMITES Resuelva los siguientes límites: 1. lim 𝑥→0 3+𝑥 − 3 𝑥 2. lim ℎ→0 (𝑥+ℎ)3 − 𝑥3 ℎ 3. lim 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 4. lim ℎ→0 (1−ℎ)2 −1 ℎ 5. lim 𝑥→1 3 𝑥 −1 𝑥 −1 6. lim 𝑥→2 4 − 𝑥2 3 − 𝑥2+ 5 7. lim 𝑥→−2 𝑥3+ 3𝑥2+ 2𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 6 8. lim 𝑥→0 𝑓 4−𝑥 −𝑓(4) 𝑥 , si f x = 3𝑥2 − 1
  6. 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 Límite por la derecha Definición: Sea f una función de variable real que está definida en todos los números de un intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la derecha (es decir a través de valores mayores que a) es L, entonces L se llama límite por la derecha de f(x) en “a” y se denota por lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si para cualquier ε > 0, Ǝ δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε siempre que 0 < x – a < δ a x a + LIMITES LATERALES RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Límite por la izquierda Definición: Sea f una función de variable real que está definida en todos los números de un intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la izquierda (es decir a través de valores menores que a) es L, entonces L se llama límite por la izquierda de f(x) en “a” y se denota por lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si para cualquier ε > 0, Ǝ δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε siempre que -δ < x – a < 0 x a - a LIMITES LATERALES
  7. 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 Teorema: El 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe y es igual a L si y solo si 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) existe y son iguales a L. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 ↔ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 LIMITES LATERALES RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 Grafique y encuentre los límites laterales. Determine si el límite existe en el valor de x 1. h (x) = 4 − 𝑥2, si x ≤ 1 en x = 1 2 + 𝑥2 , si x > 1 a) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ 2 + 𝑥2 = 3 b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1− ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1− 4 − 𝑥2 = 3 c) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1− ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ℎ 𝑥 = 3 LIMITES LATERALES
  8. 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 Grafique y encuentre los límites laterales. Determine si el límite existe en el valor de x 2. g(x) = 𝑥 − 2 , si x > 2 en x = 2 -x , si x ≤ 2 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 𝑥 − 2 = 0 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− -x = −2 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑔 𝑥 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 LIMITES LATERALES RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 Encuentre los límites laterales y determine si el límite existe en el valor de x −1, si x < 0 en x = 0 1. f (x) = 0, si x = 0 1, si x > 0 𝑥2 − 2𝑥, si x < 2 en x = 2 2. f (x) = 1, si x = 2 𝑥2 − 6𝑥 + 8, si x > 2 3. lim 𝑥→0 1 3+ 2 1 𝑥 LIMITES LATERALES
  9. 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, los ejemplos de las las páginas 70 a 72 y resolver en el Ejercicio 2.1 del 11 al 18 de las págs. 72 y 73. LIMITES LATERALES a RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Definición: Decimos que una función f es continua en x = a si y solo si i. f(a) existe ii. lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 iii. lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Si una o más de estas condiciones no se cumple para x = a, decimos que la función es discontinua en “a”. CONTINUIDAD
  10. 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 DISCONTINUIDAD En cada uno de los siguientes gráficos que se muestran decimos que existe discontinuidad en x = a RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 Discontinuidad removible y discontinuidad esencial  Si f es una función discontinua en x = a, pero lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe, entonces si no se cumple la condición (i) ó no se cumple la condición (iii) a tal discontinuidad se llama removible o evitable, ya que redefinimos la función f en x = a de tal manera que exista y que f(a) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) entonces f se vuelve continua en x = a.  Si la discontinuidad no es removible se dice que es esencial. Es decir f de discontinua y lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) no existe. CONTINUIDAD
  11. 11. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 11 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD 1. Si f y g son funciones continuas en x = a, entonces i. f ± g es continua en x = a ii. Si c es una constante , entonces c.f es continua en x = a iii. f.g es continua en x = a iv. f/g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0 2. Una función racional, f(x) = g(x)/h(x) es continua en todo número de su dominio (es decir, para todo valor excepto los que anulen el denominador). CONTINUIDAD RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.22 3. Si lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝑏 y si la función f es continua en b, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑏) 4. Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo punto de su dominio: i. Funciones polinomiales ii. Funciones racionales iii. Función raíz de cualquier índice iv. Funciones trigonométricas v. Funciones trigonométricas inversas vi. Funciones exponenciales vii. Funciones logarítmicas. CONTINUIDAD
  12. 12. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 12 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.23 Analice la continuidad de las siguientes funciones en el valor de x x, si x < 0 en x = 2 1. f (x) = 𝑥2, si 0 ≤ x < 2 x, si x > 2 3 + 𝑥2, si x < -2 en x = -2 2. f (x) = 0, si x = -2 11 − 𝑥2, si x > -2 CONTINUIDAD RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.24 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, las páginas 81 a 85 y resolver en el Ejercicio 2.3 del 25 al 28 de la pág. 87. CONTINUIDAD a
  13. 13. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/05/2018 MATEMATICA I 13 RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.25 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill RJAL 15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.26 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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