Límites infinitos y Asintotas.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD III: NOCIONES DE LIMITE Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
LIMITES INFINITOS
De la tabla anterior podemos observar que a medida
que x se acerca cada más a 2 a través de valores
menores que 2, f(x) crece sin límite. En otras palabras
lim
𝑥→2−
3
(𝑥 − 2)2
= +∞
x 1 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999
y 3 12 48 300 30000 3000000 3E+08 3E+10
Considerando siempre la función f definida por f(x) = 3 .
(x – 2)2
Obtengamos los valores de la función, haciendo que x tome
valores cercanos a dos por la izquierda.

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Considerando una función f definida por f(x) = 3 .
(x – 2)2
Obtengamos los valores de la función, haciendo que x
tome valores cercanos a dos por la derecha.
LIMITES INFINITOS
De la tabla anterior podemos observar que a medida que x
se acerca cada más a 2 a través de valores mayores que 2,
f(x) crece sin límite. En otras palabras
lim
𝑥→2+
3
(𝑥−2)2 = +∞
x 3 2.5 2.3 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001
y 3 12 33.33333 300 30000 3000000 3E+08 3E+10
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
Definición: Sea f una función de
variable real que está definida en
todos los números de un intervalo
abierto I que contenga a “a” excepto
posiblemente en el mismo número
“a”. A medida que x se aproxima a
“a”, f(x) crece sin límite, lo cual se
denota por
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞
Si para cualquier número M > 0,
Ǝ δ > 0, tal que f(x) > M siempre que
0 < | x – a| < δ.
LIMITES INFINITOS

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
Definición: Sea f una función de
variable real que está definida en
todos los números de un intervalo
abierto I que contenga a “a” excepto
posiblemente en el mismo número “a”.
A medida que x se aproxima a “a”, f(x)
decrece sin límite, lo cual se denota
por
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞
Si para cualquier número M < 0,
Ǝ δ > 0, tal que f(x) < M siempre que
0 < | x – a| < δ.
LIMITES INFINITOS
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
Teorema: Si r es cualquier número positivo, entonces
𝑖) lim
𝑥→0
1
𝑥 𝑟
= ∞
𝑖𝑖) lim
𝑥→0+
1
𝑥 𝑟
= +∞
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→0−
1
𝑥 𝑟
= +∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ó − ∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
LIMITES INFINITOS

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
Asintota vertical
Cuando la función f tiene como límite en
un punto x = a, +∞ ó − ∞, decimos
que la recta con ecuación x = a es una
asíntota vertical a la curva que
representa a f, en la vecindad de a.
Definición: Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ decimos
que la recta x = a es una asíntota
vertical de f(x)
ASINTOTAS

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
Asintotas Horizontales
Cuando una función f tiene como límite en el infinito (+∞ ó −
∞) al número L, decimos que la recta con ecuación y = L es
una asíntota horizontal a la curva que representa y = f(x)
Definición: Si lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ó lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿,
decimos que la recta y = L es una asíntota horizontal de f(x).
ASINTOTAS
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
Asintota oblicua
Decimos que la recta l, con ecuación y = mx +b es
una asíntota oblicua a la curva que representa
y = f(x) si
lim
𝑥→+∞
[𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑏 ] = 0
donde
m = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)/𝑥
b = lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥)
ASINTOTAS

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
EJERCICIOS SOBRE ASINTOTAS
Encontrar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de
las siguientes funciones:
1. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2−4
2. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2+5𝑥 −6
3. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−𝑥
𝑥2 −1
4. 𝑓 𝑥 =
𝑥2+1
1 + 𝑥
5. 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥2−1
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, el inciso 2.5 páginas
94-101 para complementar sus
lecturas.
a
LIMITES TRIGONOMETRICOS

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
19/05/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
19/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ