Konsep penelitian ilmiah dan langkah langkah penelitian
Makalah untuk agus
1. MAKALAH
LOGIKA MATEMATIKA
Diajukan sebagai salah satu tugas Ujian Akhir Semester
Mata Kuliah : Bahasa Indonesia
Dosen Pengampu : Indrya Mulyaningsih, M.Pd
Disusun Oleh :
Agus Ahmad Durri
(14121510609)
Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika
Kelas / Semester : C / 2 (dua)
IAIN SYEKH NURJATI CIREBON
Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132
Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926
2013
2. 2
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah „Azza wa jalla yang telah
melimpahkan Rahmat dan Hidayah serta Inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Logika Matematika”.
Shalawat serta salam, senantiasa penulis curahkan kepada baginda Rasul yakni Nabi
Besar Muhammad Saw dan keluarganya, sahabatnya, sampai pada umatnya akriruzaman.
Semoga Allah „Azza wa jalla menjadikan makalah ini sebagai wasilah untuk penulis dan
para pembaca dalam meraih syafaatul „uzma Rasulullah SAW.
Makalah ini Insya Allah tersusun dengan sistematis berisikan tentang logika
matematika, dengan pembahasannya mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi. Ucapan terima kasih yang mendalam penulis haturkan kepada rekan-rekan dan
semua pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini
dapat terselesaikan tepat pada waktunya
Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan sarannya yang
bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi, penulis
menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah ini, karena
kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya
Cirebon, Mei 2013
Agus Ahmad Durri
3. 3
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL / COVER............................................................................... 1
KATA PENGANTAR.............................................................................................. 2
DAFTAR ISI............................................................................................................. 3
DAFTAR TABEL .................................................................................................... 4
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 5
A. Latar Belakang ......................................................................................................... 5
B. Tujuan Penulisan...................................................................................................... 6
C. Manfaat Penlisan...................................................................................................... 6
BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................... 7
A. Oprasi Negasi........................................................................................................... 7
B. Konjungsi ................................................................................................................ 7
C. Disjungsi .................................................................................................................. 8
D. Implikasi................................................................................................................... 9
E. Biimplikasi............................................................................................................... 12
F. Konvers, Invers dan Kontraposisi ....................................................................... 13
G. Bilangan Berkuantor ............................................................................................. 14
H. Penarikan Kesimpulan ............................................................................................. 16
1. Modus Ponens..................................................................................................... 17
2. Modus Tollens .................................................................................................... 17
3. Silogisme ............................................................................................................ 18
I. Hubungan Antara Logika dan Himpunan ................................................................ 19
BAB III PENUTUP.................................................................................................. 20
A. Kesimpulan .............................................................................................................. 20
B. Saran......................................................................................................................... 21
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 22
5. 5
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Di zaman yang modern ini berbagai kajian ilmu matematika telah berkembang
pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-
angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga
terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematika diperoleh atas realita kehidupan
yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian
matematika ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah
dalam bahasa matematika sering disebut logika.
Theresia Tirta Saputro (1992:3) berpendapat bahwa logika merupakan suatu
aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga
menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang dapat dibuktikan
secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan
statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya. Logika sebagai suatu
metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran.
Pada abad ke-18 Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman,
pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika yang lainnya yang berjasa
dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, dan
Bertrand Russel (Sartono Wirodikromo dkk, 1999:5).
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata,
ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarati ilmu pengetahuan. Dalam arti luas,
logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas
antara pealaran yang benar dengan penalaran yang salah (Kusumah, 1986:1). Proses
berpikir yang terjadi disaat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-
pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan
penalaran.
Hal ini merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika,
penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari.
6. 6
Merupakan matakuliah penting terutama bagi Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam seperti Ilmu Komputer. Topik ini sangat penting karena dapat
meningkatkan daya nalar mahasiswa dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata
dan pada saat mempelajari matakuliah lainnya.
Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa
memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan
logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata kuliah Logika
Matematika.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah
sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi?
2. Bagaimanakah invers, konvers, dan kontraposisi itu?
3. Apa itu bilangan berkuantor?
4. Bagaimana penarikan kesimpulan terakhirnya?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam
merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
2. Untuk mengetahui invers, konvers, dan kontroposisi dalam logika matematika.
3. Untuk mengetahui apa itu bilangan berkuantor.
4. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan dalam logika matematika.
7. 7
BAB II
PEMBAHASAN
A. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah
pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “~”. Jika p adalah pernyataan tunggal, maka
~p adalah pernyataan majemuk.1
Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah
salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
Tabel 1
B S
S B
Contoh:
p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
B. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua pernyataan dengan kata
hubung “dan”. Kalau tersebut dinotasikan dengan "" . Dua pernyataan dan yang
dinyatakan dalam bentuk disebut konjungsi dan dibaca dan . Suatu pernyataan
yang apabila kedua-duanya memenuhi permintaan benar (B) maka jawabannya benar.
Jika tidak demikian maka salah.
Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
Tabel 2
B B B
B S S
S B S
S S S
1
Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu, hal. 56
8. 8
Contoh :
1)
B B S S
B S S S
S B B B
S S B S
2) : Dana lahir di Madura
: Dana Kuliah di Malang
: Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang
C. Disjungsi
Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah pernyataan baru dengan
kata penghubung “atau” yang dinotasikan “ ”. Dua pernyataan dan yang dinyatakan
dalam bentuk disebut disjungsi dan dibaca atau . Sesuatu pernyataan apabila
salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah.
Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
Tabel 3
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh :
1)
B B S S S
B S S B B
S B B S B
S S B B B
2) Zahro membeli baju
9. 9
Zahro membeli tas
Zahro membeli baju atau tas
3) Diketahui : p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika
q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara
Ditanya : Buatlah tabel kebenarannya
Penyelesaian
p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika
q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara
p q : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika atau
menjadi juara
Tabel kebenarannya adalah :
p q p q
Siswa MA Nurul Huda
memenangkan piala
olimpiade matematika (B)
Siswa MA Nurul
Huda menjadi
juara (B)
Siswa MA Nurul Huda meme-
nangkan piala olimpiade mate-
matika atau menjadi juara (B)
Siswa MA Nurul Huda
memenangkan piala
olimpiade matematika (B)
Siswa MA Nurul
Huda tidak
menjadi juara (S)
Siswa MA Nurul Huda
memenangkan piala olimpiade
matematika (B)
Siswa MA Nurul Huda tidak
memenangkan piala
olimpiade matematika (S)
Siswa MA Nurul
Huda menjadi
juara (B)
Siswa MA Nurul Huda menjadi
juara (B)
Siswa MA Nurul Huda tidak
memenangkan piala
olimpiade matematika (S)
Siswa MA Nurul
Huda tidak
menjadi juara (S)
Tidak mendapat juara (S)
D. Implikasi
Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk implikasi dinyatakan dengan
pernyataan baru yaitu “Jika p maka q”. Hal ini dinotasikan dengan “p q” atau .
Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar konsekwennya salah,
dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar atau yang lebih mudah dipahami
suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak demikian bernilai
benar. Jadi pernyataan p q terjadi pernyataan salah, hanya karena p benar, q salah.
10. 10
Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
Tabel 4
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh :
1)
B B B B
B S S S
S B S B
S S S B
2) : Lisa memilih jurusan IPA
: Nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8
: Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi MIPA sekurang-
kurangnya 8
Dalam implikasi terdapat implikasi logis sebagai salah satu bentuk ekuivalensi logis
dalam logika matematika. Dibawah ini akan diuraikan mengenai implikasi logis, namun
terlebih dahulu akan diuraikan bentuk-bentuk pernyataan logika matematika yaitu
tautologi dan kontradiksi.
a. Tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai suatu
kebenaran atau sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa
memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.2
Untuk menentukan atau membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan
tautologi. Kita dapat menggunakan tabel kebenaran berikut ini :
2
Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga, hal.24
11. 11
Tabel 5
p q p q ( p q ) q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
Pada kolom terakhir terdapat ( p q ) q yaitu notasi tautologi yang terbentuk
dari pernyataan “jika ( p dan q ) maka q”. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk
semua komponen – komponennya.
b. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai
kebenaran atau suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi
yang salah.3
Dalam sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa
memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Hal ini merupakan kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen “p dan
negari q” ( p ~ q), sebagaimana tabel berikut ini:
Tabel 6
p q ~ q p ~ q q ( p ~ q )
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen bernilai salah. Oleh karena
itu q ( p ~ q ) adalah suatu kontradiksi.
c. Implikasi logis
Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika selalu benar
untuk nilai kebenaran dari komponennya.4
Dengan kata lain, implikasi logis adalah
implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan dengan “ ”
Contoh :
Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa ( p q ) ( p q ) merupakan suatu
implikasi logis.
3
Ibid., hal.25
4
Ibid., hal.27
12. 12
Penyelesaian :
Tabel 7
p q p q p V q (p q ) (p V q )
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
B
B
B
B
Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika ( p q ) ( p
q ) selalu benar. Hal ini yang dinamakan implikasi logis.
E. Biimplikasi
Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hanya jika ....” dinamakan
diimplikasi yang dinyatakan dengan notasi “p q” atau “ ” (dibaca : p jika dan
hanya jika q ) artinya menurut Theresia Tirta Saputro (1992:35) memberikan kesimpulan
bahwa sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai
kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Biimplikasi memiliki niliai
kebenaran yang sama dengan bentuk singkat dari ( p q ) ( p q ).
Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
Tabel 8
B B B
B S S
S B S
S S B
Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table kebenaran
dengan meninjau .
B B B B B B
B S S S B S
S B S B S S
S S B B B B
13. 13
Contoh :
1)
B B B B
B S S S
S B S S
S S S B
2) : 3 bilangan prima
: 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi
: 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua faktor
pembagi
Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang merupakan
tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Diimplikasi logis dilambangkan
“”. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p ~ q ) ( q ~ p ).
Tabel 9
p q ~ p ~ q p ~q q ~p (p ~ q) (q ~ p)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
F. Konvers, Invers dan Kontraposisi
1. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers
Implikasi :
Jika x2
bilangan asli, maka x adalah bilangan asli
Konvers :
Jika x adalah bilangan asli, maka x2
bilangan asli
2. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers
Implikasi :
Jika fungsinya linier, maka grafiknya garis lurus.
Invers :
Jika fungsinya bukan linier, maka grafinya bukan garis lurus.
14. 14
3. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi
Implikasi :
Jika harga naik, maka permintaan turun.
Invers :
Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik.
Pengertian diatas dapat ditarik kesimpulan dalam bentuk Skema konvers, invers dan
kontraposisi sebagai berikut:
p q konvers q p
invers kontraposisi invers
~p ~q konvers ~q ~p
Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: “ Jika binatang itu bertubuh
besar maka binatang itu disebut gajah”.
Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya
bernilai sama.
Contoh:
Jika p : 2 bilangan genap (B)
q : 3 bilangan ganjil (B)
maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B)
G. Bilangan Berkuantor
1. Pernyataan Berkuantor
Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka
akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau
pernyataan.
15. 15
Contoh pernyataan berkuantor:
Semua manusia fana Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
Ada bunga mawar yang berwarna merah
Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter.
Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta
pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).5
Fungsi
pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat
bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota
dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi
proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana”
maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi
dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x).
2. Kuantor Umum (Kuantor Universal)
Simbol yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum.
Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta
pembicaraannya) maka ( x A) p(x) atau x, p(x) atau x p(x) adalah suatu
pernyataan yang dapat dibaca sebagai “untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan
pernyataan “untuk semua x, berlaku p(x)”.
3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)
Simbol dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu”
disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A
(himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( x A) p(x) atau x! p(x) atau x
p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x)
merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan
simbol ! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.
4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan
berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah “Ada
mahasiswa yang mengerjakan tugas”
5
Budiono, op.cit, hal. 82
16. 16
Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia
adalah tidak kekal” atau x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau
x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : ~
[ x p(x)] x ~ p(x)
5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel
Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang
mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat
terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai
benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2
x A3 x . . . x An.
H. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan
pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya , kemudian
dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.
Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut
premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan
yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah
kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti
(evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan
dari premis-premis.
Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)
disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari
premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang
sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis-
premisnya disebut argumen.6
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu
merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang
sederhana untuk membuktikan suatu argument sah (valid) adalah dengan bantuan tabel
kebenaran.
Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk.
Premis (1)
Premis (2)
6
Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito, hal.141
17. 17
Premis (3)
………… …
Premis (n)
Konklusi
Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu :
1. MODUS PONENS
Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk atau
dituliskan :
(suatu pernyataan yang benar)
(suatu pernyataan yang benar)
(suatu pernyataan yang benar)
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens merupakan
argumentasi yang sah yaitu :
Tabel 10
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Contoh :
Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
yang sama.
Jika diskriminan persamaan sama dengan nol, maka
persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama
Persamaan mempunyai dua akar real yang sama.
2. MODUS TOLLENS
Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk atau
dituliskan:
(benar)
(benar)
(benar)
18. 18
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens merupakan
argumentasi yang sah yaitu :
Tabel 11
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B
Contoh :
Jika sama sisi, maka
bukan segitiga sama sisi
3. SILOGISME
Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk
atau dituliskan :
(benar)
(benar)
(benar)
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan
argumentasi yang sah yaitu :
Tabel 12
B B S B S B
B S S B S B
S B B B B B
S S B S S B
Contoh :
Jika pada berlaku maka
Jika atau maka adalah sama kaki atau siku-siku
19. 19
Jika pada berlaku maka sama kaki atau
siku-siku.
I. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan
1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )
x, B(x) R(x)
B(x)
R(x)
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
x, P(x) G(x)
2
P(x) G(x)
3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )
Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap
x, J(x) ~ G(x)
J(x) ~ G(x)
20. 20
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal
dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang
dapat dibuktikan secara matematis. Dalam logika matematika terdapat operasi logika
sebagai salah satu kajian ilmu logika matematika, diantaranya :
1. Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah
pernyataan.
2. Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran apabila p dan q benar, bila tidak
demikian bernilai salah.
3. Disjungsi yaitu p atau q ( p V q ), suatu pernyataan harus salah satu kompenen yang
bernilai benar atau keduanya, maka akan bernilai benar.
4. Implikasi yaitu pernyataan “jika p amaka q” dengan ketentuan q tidak boleh salah (S)
untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S).
5. Biimplikasi (.... jika dan hanya jika ...” yaitu suatu pernyataan bernilai benar apabila
komponen – komponennya memiliki kebenaran yang sama.
6. Konvers, invers, dan kontraposisi yaitu jika suatu bentuk implikasi p q diubah
menjadi q p disebut konvers, jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~
p ~ q disebut invers, dan jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q
~ p disebut kontraposisi
7. Pernyataan berkuantor meliputi kuantor umum (uantor universal), kuantor khusus
(kuantor eksistensial), negasi suatu pernyatan yang mengandung kuantor, dan fungsi
pernyataan yang mengandung lebih dari satu variabel.
8. Penarikan kesimpulan meliputi modus ponens, modus tollens,dan silogisme.
Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk
Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk
Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk
9. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan
o Semua bilangan bulat adalah bilangan real
o Ada bilangan prima yang genap
o Tidak ada bilangan ganjil yang genap
21. 21
B. Saran
Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap kepada pembaca khususnya para
mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan
lebih mudah dimengerti serta semoga pengetahuan mengenai logika matematika dapat
diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalm banyak aspek kehidupan.
Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal
terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah
kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.
22. 22
DAFTAR PUSTAKA
Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.
Tirta, S.T. 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta:
Erlangga.
Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu.
Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.
Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Depdiknas, 2003. Kurikulum Berbasis Kompotensi Untuk Sekolah Menengah Umum, Jakarta:
Depdiknas.
Ajah, Diki. 2012. Disjungsi,konjungsi,negasi,implikasi dan biimplikasi.
http://kuskuskom.blogspot.com/2012/10/disjungsikonjungsinegasiimplikasi-
dan.html (diakses tanggal 05 Mei 2013)
Italiana. 2012. Logika Matematika. http://ronyflush.blogspot.com/2013/01/makalah-logika-
matematika.html (diakses tanggal 05 Mei 2012)
Ismayani, Ani. 2009. Logika Matematika. http://www.matematikamenyenangkan.com/logika-
matematika/ (diakses tanggal 20 Mei 2013)
Harahap, E.M. 2012. Makalah Logika Matematika.
http://makalahmajannaii.blogspot.com/2012/10/makalah-logika-matematika.html
(diakses tanggal 20 Mei 2013)
Noverdi, Fajar. 2012. Kuantor. http://fajarnoverdi.blogspot.com/2010/12/pengertian-
kuantor.html (diakses tanggal 20 Mei 2013)
