한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 6강. 영벡터공간과 해집합 강의 정리 노트

1. Linear Algebra
6. 영벡터공간과 해집합
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. 영벡터공간 (Null Space of A)
• 𝑨𝒙 = 𝟎 (𝒎 < 𝒏) 조건을 만족하는 𝑥의 해집합을 ‘영벡터공간’이라고 한다.
• The null space of a matrix 𝐴 consists of all vectors 𝑥 such that 𝐴𝑥 = 0.
• 𝑁 𝐴 = 𝑥 𝐴𝑥 = 0 }
• 해집합이 벡터공간의 조건을 만족하는가?
• 𝑨𝒙 = 𝟎 and 𝑨𝒙′ = 𝟎  𝑨(𝒙 + 𝒙′
) = 𝟎 : closed under addition
• 𝑨𝒙 = 𝟎  𝒄 𝑨𝒙 = 𝒄 × 𝟎 = 𝟎 : closed under scalar multiplication
•
1 0
5 4
2 4
𝑢
𝑣
=
0
0
0
 (0,0)일 때 성립
•
1 0 1
5 4 9
2 4 6
𝑢
𝑣
𝑤
=
0
0
0
 N(A)는 직선, c
1
1
−1
𝜖 𝑁(𝐴)

3. Solving 𝑨𝒙 = 𝟎 and 𝑨𝒙 = 𝒃
• 𝑨𝒙 = 𝟎에서 𝑨의 역행렬이 존재한다면, 𝑥 = 𝐴−1
× 0, 즉 𝑥 = 0만이 해집합(𝑁(𝐴))에 포함된다.
반대로 𝐶(𝐴)는 𝑨𝒙 = 𝒃에서 모든 𝒃 를 포함하는 Whole Space이다.
• When the null space contains more than the zero vector column, the column space
contains less than all vectors.
• 𝐴𝑥 𝑝 = 𝑏 and 𝐴𝑥 𝑛 = 0  𝑨(𝒙 𝒑 + 𝒙 𝒏) = 𝒃
•
1 1
2 2
𝑥
𝑦 =
𝑏1
𝑏2
• 𝑏2 ≠ 2𝑏1  해가 없음
• 𝑏2 = 2𝑏1  해가 무수히 많음
𝑥 𝑝 = 1, 1 
1 1
2 2
𝑥
𝑦 =
2
4
𝑥 𝑛 = −1, 1 or −𝑐, 𝑐
𝑥 𝑝 + 𝑥 𝑛 =
1
1
+ 𝑐
−1
1
=
1 − 𝑐
1 + 𝑐
All 𝑥 𝑛 Lines of all solutions : 𝒙 = 𝒙 𝒑 + 𝒙 𝒏
𝑥 𝑛과 𝑥 𝑝 중 한 값을 알면 𝑥 𝑝 전체를 알 수 있다.

4. • A의 역행렬이 존재하지 않을 때 N(A) 해집합을 구하는 정형화된 방식  가우스 소거법의 연장
𝐴𝑥 = 0 ⇒
1 3 3 2
2 6 9 7
−1 −3 3 4
𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
=
0
0
0
1 3 3 2
2 6 9 7
−1 −3 3 4

1 3 3 2
0 0 3 3
0 0 6 6

1 3 3 2
0 0 3 3
0 0 0 0

1 3 3 2
0 0 1 1
0 0 0 0

1 3 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 0
Echelon Form U and Row Reduced Form R
마지막 Pivot는 0이어야 함
(그렇지 않으면 z=0일 때만 해가 발생)
Echelon Matrix U
Pivot을 모두 1로
Pivot 윗 행을 모두 0으로 변환
Row Reduced Echelon Matrix R
* 𝐴𝑥 = 𝑏를 가우스 소거법으로 풀 때는
𝑏 값도 포함해서 같이 수정했지만,
𝐴𝑥 = 0의 경우에는 0 벡터에는 어떤 값을
곱해도 0이기 때문에 수정할 필요가 없이
행렬 𝐴만 𝑅형태로 변형하면 된다.

5. Ax=0의 해집합 구하기
• 𝑅𝑥 = 0을 활용하여 𝐴𝑥 = 0의 해를 구하자!
• Pivot Variable and Free Variable
𝑥 =
𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
일 때, Row Reduced Matrix R =
1 3 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 0
에서
Pivot이 있는 자리의 미지수 𝑢, 𝑤를 Pivot Variable, 그 외의 미지수 𝑣, 𝑧를 Free Variable이라고 한다.
𝑅𝑥 =
1 3 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 0
𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
=
𝑢 + 3𝑣 − 𝑧
𝑤 + 𝑧
= 0 
𝑢 = −3𝑣 + 𝑧
𝑤 = −𝑧

𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
=
−3𝑣 + 𝑧
𝑣
−𝑧
𝑧
= 𝑣
−3
1
0
0
+ 𝑧
1
0
−1
1
Pivot Variable들을 Free Variable로 치환
Special solution
𝑵(𝑨)는 special solution의 Linear Combination!

6. Ax=b의 해집합 구하기
• 같은 방법으로 𝐴𝑥 = 𝑏를 풀어보자
𝐴𝑥 𝑝 = 𝑏 and 𝐴𝑥 𝑛 = 0  𝑨(𝒙 𝒑 + 𝒙 𝒏) = 𝒃
1 3 3 2
2 6 9 7
−1 −3 3 4
𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
이니까
1 3 3 2 𝑏1
2 6 9 7 𝑏2
−1 −3 3 4 𝑏3

1 3 3 2 𝑏1
0 0 3 3 𝑏2 − 2𝑏1
0 0 6 6 𝑏3 + 𝑏1

1 3 3 2 𝑏1
0 0 3 3 𝑏2 − 2𝑏1
0 0 0 0 𝑏3 − 2𝑏2 + 5𝑏1
 해가 존재하려면 𝒃 𝟑 − 𝟐𝒃 𝟐 + 𝟓𝒃 𝟏 = 𝟎 이면서 𝒃 𝝐 𝑪(𝑨) 이어야 한다.

7. Ax=b의 해집합 구하기
(1) Echelon Matrix U를 만든다 
1 3 3 2 𝑏1
0 0 3 3 𝑏2 − 2𝑏1
0 0 0 0 𝑏3 − 2𝑏2 + 5𝑏1
(2) 마지막 행의 조건에 맞는 임의의 값을 정하고, U에 적용한 후, R로 변환한다.
 𝑏3 − 2𝑏2 + 5𝑏1 = 0을 만족하도록 𝑏1 𝑏2 𝑏3 = 1 5 5 라고 정한 다음, 최종적으로 R 변환
1 3 3 2 1
0 0 3 3 3
0 0 0 0 0

1 3 3 2 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0

1 3 0 −1 −2
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
(3) Pivot Variable을 Free Variable로 치환하여, special solution과 particular solution을 구한다.
𝑢 + 3𝑣 − 𝑧 = −2
𝑤 + 𝑧 = 1

𝑢 = −3𝑣 + 𝑧 − 2
𝑤 = −𝑧 + 1

𝑢
𝑣
𝑤
𝑧
=
−3𝑣 + 𝑧 − 2
𝑣
−𝑧 + 1
𝑧
= 𝑣
−3
1
0
0
+ 𝑧
1
0
−1
1
+
−2
0
1
0
𝒙 𝒏 𝒙 𝒑
𝑁(𝐴)는 원점을 지나는 평면이었는데 𝑥 𝑝만큼 평행이동