한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 7강 선형독립과 기저벡터 8강 4가지 부벡터공간 강의 정리 노트

1. Linear Algebra
7. 선형독립 (Linear Independence)
8. 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. Linear Independence
• 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑣 𝑛 = 0 식이 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐 𝑛 = 0 일 때만 만족할 때,
𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣 𝑛 벡터들은 선형독립이다.  𝑣 𝑘가 다른 벡터들의 조합으로는 표현 불가
• 𝑐1
1
0
0
+ 𝑐2
0
1
0
+ 𝑐3
0
0
1
=
0
0
0
→ 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0
• 𝐴 =
3 4 2
0 1 5
0 0 2
 𝑐1
3
0
0
+ 𝑐2
4
1
0
+ 𝑐3
2
5
2
=
0
0
0
→ 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0
• 가우스 소거법의 결과로 𝑚개의 pivot이 생긴 경우, 행렬 𝐴에 𝑚개의 독립적인 열벡터가 있는 것.
 If Gaussian Elimination of A generates m non-zero rows, it means m independent column vectors in A.

3. • Rank of 𝑨
= # of independent column vectors of 𝐴
= # of independent row vectors of 𝐴
= # of pivots of 𝐴
= Dimension of 𝐶(𝐴)  평소 생각하던 차원이 아니다!
• Dimension
1
0
0
,
0
1
0
 z는 항상 0이기 때문에, 두 벡터로 표현되는 공간은 x-y 평면
크기 3의 벡터이지만, 실제는 2차원 평면 (Dimension은 2)
Rank of A
• Spanning : 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣 𝑛이 구성하는 벡터공간
1
1
0
0
,
0
1
0
(2)
1
0
0
,
1
1
0
(3)
1
0
0
,
0
1
0
,
1
1
0
𝑥𝑦 평면을 span하는 벡터 조합은
다양하다 (1, 2, 3번 모두 Dim = 2).
 벡터들이 선형독립이라면
Linear combination은 유일하다.
선형독립
선형독립 X
𝑐1 = 𝑐2 = 2, 𝑐3 = 0
𝑐1 = 𝑐2 = 0, 𝑐3 = 2
모두
2
2
0

4. • Basis Vector
= Minimal # of vectors to span the vector space
= Maximum # of linearly independent vectors
• Linear combination is unique from basis.
 Basis는 서로 선형독립이기 때문에 선형조합이 Unique하다.
• Basis Vector is not unique for a vector space.
 앞서 같은 공간을 Span하는 조합이 여러 가지일 수 있었던 것처럼, Vector Space를 구성하는
기저벡터도 여러 가지일 수 있다 (Vector Space가 𝑥𝑦평면이라고 가정해보면 쉽게 이해할 수 있다).
 단, Basis끼리 수직을 이룬다면 Linear Combination을 쉽게 찾을 수 있다 (
1
0
0
,
0
1
0
경우처럼).
Basis Vector (기저벡터)

5. • 동일한 Vector Space에도 무한히 많은 Basis들이 있다 (Basis의 조합은 무한하다).
• 하지만, Basis의 개수는 Vector Space 내에 동일하다.
 Basis의 개수 = Dimension
• Any linear independent set in V can be extended to a basis by adding more vectors.
𝒙𝒚𝒛 3차원 공간이 벡터공간일 때,
1
0
0
,
0
1
0
두 선형 독립 벡터 조합에,
0
0
1
를 더하면 Basis가 된다.
• Any spanning set in V can be reduced to a basis, by discarding vectors if necessary.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
,
1
1
1
은 3차원 공간을 span하지만, 선형독립 관계에 필수적이지 않은
1
1
1
를 없애면 Basis가 된다.
Dimension of a Vector Space

6. • 행렬 A에는 4가지 부벡터공간이 있다.
• Column Space 𝑪(𝑨) : 𝐷𝑖𝑚(𝐶(𝐴)) = 𝑟
• Null Space 𝑵(𝑨) : 𝐷𝑖𝑚(𝑁(𝐴)) = 𝑛 − 𝑟
• Row Space 𝑪(𝑨 𝑻
) : 𝐷𝑖𝑚 𝐶 𝐴 𝑇
= 𝑟
• Left Null Space 𝑵 𝑨 𝑻
𝐴 𝑇
𝑦 = 0 : 𝐷𝑖𝑚 𝑁 𝐴 𝑇
= 𝑚 − 𝑟
• 𝑵(𝑨)와 𝑪(𝑨 𝑻
)는 𝑹 𝒏
의 Subspace
 𝑁(𝐴)와 𝐶(𝐴 𝑇
)는 서로 수직
• 𝑪 𝑨 와 𝑵 𝑨 𝑻
는 𝑹 𝒎
의 Subspace
 𝐶 𝐴 와 𝑁(𝐴 𝑇
)는 서로 수직
4가지 부벡터공간
𝑨 = 𝑼 = 𝑹 =
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
일 때,
𝑪 𝑨 = 𝑐
1
0
, line in 𝑅2
(𝑥𝑦평면의 𝑥축)
𝑪 𝑨 𝑻
= 𝒄
1
0
0
, line in 𝑅3
𝑵 𝑨 = 𝒄 𝟏
0
1
0
+ 𝒄 𝟐
0
0
1
, 𝑦𝑧 평면
𝑵 𝑨 𝑻
= 𝒄
0
1
, line in 𝑅2
𝐷𝑖𝑚 𝐶 𝐴 = 1
𝐷𝑖𝑚 𝐶 𝐴 𝑇 = 1
𝐷𝑖𝑚 𝑁 𝐴 = 2
𝐷𝑖𝑚 𝑁 𝐴 𝑇 = 1𝑫𝒊𝒎 𝑪 𝑨 + 𝑫𝒊𝒎 𝑵 𝑨 𝑻
= 𝒎
𝑫𝒊𝒎 𝑪 𝑨 𝑻
+ 𝑫𝒊𝒎 𝑵 𝑨 = 𝒏

7. Existence of Inverses
• An inverse exists only when the rank is as large as possible.
- Left Inverse : 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 → 𝑟 = 𝑛 𝑚 ≥ 𝑛
- Right Inverse : 𝐴𝐴−1
= 𝐼 → 𝑟 = 𝑚 𝑚 ≤ 𝑛
- Two-sided Inverse :𝐴−1
𝐴 = 𝐴𝐴−1
= 𝐼 → 𝑟 = 𝑚 = 𝑛 (정사각행렬)
𝑨𝑨−𝟏 𝑨 𝑨−𝟏 𝑨−𝟏 𝑨
Left Inverse
(해가 1개)
Right Inverse
(해가 무수히 많음)
Two-sided Inverse
(해가 하나)
G.E. 이후 Upper Triangular Matrix U 형태가 깔끔하게 나와야
𝒏
𝒎