3. • If non-zero vectors 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, … , 𝒗 𝒏 are mutually orthogonal, then the vectors are independent.
① 𝒗𝒊
𝑻
𝒗𝒋 = 𝟎 𝒇𝒐𝒓 𝒂𝒏𝒚 𝒊, 𝒋
②는 𝒄 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒗 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒗 𝒏 = 𝟎를 만족하는 값이 𝒄 𝟏 = 𝒄 𝟐 = ⋯ = 𝒄 𝒏 = 𝟎 밖에 없을 때 만족
𝒗 𝟏
𝑻 𝒄 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒗 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒗 𝒏 = 𝒄 𝟏 𝒗 𝟏
𝟐 + 𝒄 𝟐(𝒗 𝟏
𝑻
𝒗 𝟐) + ⋯ + 𝒄 𝒏(𝒗 𝟏
𝑻
𝒗 𝒏) = 𝒄 𝟏 𝒗 𝟏
𝟐 = 𝟎
모든 non-zero 벡터 𝒗𝒊
𝑻
에 대해 𝒄𝒊 𝒗𝒊
𝟐
= 𝟎 이므로, 𝒄 𝟏 = 𝒄 𝟐 = ⋯ = 𝒄 𝒏 = 𝟎,
즉, 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, … , 𝒗 𝒏는 선형독립이다.
Orthogonality (직교성)
① ②
=0 (①) =0 (①)
4. • N개의 직교하는 벡터(즉, 선형독립인 벡터)를 Basis로 사용하면 해당 공간을 모두 표현할 수 있고
연산도 훨씬 간편해진다.
• 벡터 공간의 모든 벡터 𝒙는 𝒙 = 𝒄𝒊 𝒗𝒊 로 표현 가능
• 그렇다면 각 𝒄𝒊는 어떻게 구할 수 있을까? 앞선 증명에서 쓰였던 방법을 그대로 사용
• 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, … , 𝒗 𝒏이 직교하지 않는다면, 각 𝒄𝒊는 기존처럼 G.E.을 통해서 구해야 한다.
직교하는 Basis를 사용하면 연산이 편해짐
Orthogonality (직교성)
𝒗𝒊
𝑻
𝒙 = 𝒗𝒊
𝑻
𝒄 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒗 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒗 𝒏
= 𝒄 𝟏(𝒗𝒊
𝑻
𝒗 𝟏) + 𝒄 𝟐(𝒗𝒊
𝑻
𝒗 𝟐) + ⋯ + 𝒄𝒊 𝒗𝒊
𝟐
+ ⋯ + 𝒄 𝒏(𝒗𝒊
𝑻
𝒗 𝒏)
= 𝒄𝒊 𝒗𝒊
𝟐
𝒄𝒊 =
𝒗𝒊
𝑻
𝒙
𝒗𝒊
𝟐
5. • 벡터 뿐만 아니라 Subspace끼리 역시 직교할 수 있다.
• Subspace 𝑆1의 모든 벡터가 또 다른 Subspace 𝑆2의 모든 벡터에 수직일 때, 𝑆1과 𝑆2는 직교
한다. (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑤 ∈ 𝑊 이고 𝑣 𝑇
𝑤 = 0 𝑓𝑜𝑟 ∀ 𝑣, 𝑤 일 때)
• Row space is orthogonal to the nullspace in 𝑹 𝒏
.
• Column space is orthogonal to the left nullspace in 𝑹 𝒎
.
Orthogonal Subspaces
𝐴𝑥 = 0일 때, 𝑥는 Nullspace
𝐴𝑥 =
𝑅𝑜𝑤1
𝑅𝑜𝑤2
⋯
𝑅𝑜𝑤 𝑀
𝑥1
𝑥2
⋯
𝑥 𝑛
=
0
0
⋯
0
모든 행에 대해 (𝑅𝑜𝑤 𝑖) 𝑇
𝑥 = 0이기 때문에,
Nullspace는 Row space에 직교한다.
𝐴 𝑇 𝑦 = 0일 때, 𝑦는 Left nullspace
𝐴 𝑇
𝑦 =
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 1
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 2
⋯
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 𝑁
𝑦1
𝑦2
⋯
𝑦 𝑚
=
0
0
⋯
0
모든 행에 대해 (𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 𝑖) 𝑇
𝑦 = 0이기 때문에,
Left Nullspace는 Column space에 직교한다.