2013年度春学期 画像情報処理 第１３回「CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成／Radon変換と投影定理」
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関西大学総合情報学部 2013年度春学期 画像情報処理 第１３回／ 第４部・CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成「Radon変換と投影定理」 担当・浅野晃 2013/7/3
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- 4. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. CTスキャナとは CT(computed tomography) ＝ 計算断層撮影法 http://www.toshiba-medical.co.jp/tmd/products/ct/aquilion/prime_new/ 体の周囲からX線撮影を行い，そのデータから断面像 を計算で求める （CTスキャナの画像例）（略）
- 5. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. CTを実現するには x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． ある方向からX線を照 射し，その方向での吸 収率（投影）を調べる すべての方向からの投影 がわかれば，元の物体 における吸収率分布が わかる
- 6. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 7. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線が 入射
- 8. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線がある直線に沿って 物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収さ れる X線が 入射
- 9. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線がある直線に沿って 物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収さ れる 通過したX線の量は，入 射した量に吸収率の積 分（線積分）をかけた ものになっている X線が 入射
- 10. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線がある直線に沿って 物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収さ れる 通過したX線の量は，入 射した量に吸収率の積 分（線積分）をかけた ものになっている X線が 入射
- 11. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線がある直線に沿って 物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収さ れる 通過したX線の量は，入 射した量に吸収率の積 分（線積分）をかけた ものになっている X線が 入射
- 12. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影とは x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． X線がある直線に沿って 物体を通過するとき， 直線上の各点で吸収さ れる 通過したX線の量は，入 射した量に吸収率の積 分（線積分）をかけた ものになっている X線が 入射 投影＝吸収率の線積分
- 21. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 各方向からの投影のしかた 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 (a) (b) 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) ファンビーム． 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために，図 2 のような座標系を 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ) であるとします。g(s, θ) は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られます。このうち，(x, y) 座
- 22. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 各方向からの投影のしかた 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 (a) (b) 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) ファンビーム． 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために，図 2 のような座標系を 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ) であるとします。g(s, θ) は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られます。このうち，(x, y) 座 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 (a) (b) 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) ファンビーム． 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために，図 2 のような座標系を 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ) であるとします。g(s, θ) は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られます。このうち，(x, y) 座 実際はこのようにX線を当てる
- 23. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 各方向からの投影のしかた 理論上はこんなふうに考える Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 (a) (b) 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) ファンビーム． 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために，図 2 のような座標系を 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ) であるとします。g(s, θ) は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られます。このうち，(x, y) 座 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 Ｘ線源 検出器 回転 回転 物体 (a) (b) 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) ファンビーム． 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために，図 2 のような座標系を 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ) であるとします。g(s, θ) は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られます。このうち，(x, y) 座 実際はこのようにX線を当てる 物体の１点について考えれば， 投影する順番が異なるだけで， 各方向の投影が得られるのは同じ
- 24. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 25. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 26. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では
- 27. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
- 28. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = つまり
- 29. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり
- 30. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり この線上だけを積分する
- 31. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する
- 32. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) フ 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) はデルタ関 g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から s だけ離 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから，(2) 式
- 33. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) フ 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) はデルタ関 g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から s だけ離 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから，(2) 式 デルタ関数で表せる
- 34. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ディラックのデルタ関数δ(x) x = 0 の１点以外 すべてゼロ ．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（ 「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) を用いてはいけないのでしょうか？ x = 0 をはさんで 積分すると1 0 x こんなふうに 表さざるを得ない 高さは，何だともいえない もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は， 関数 (comb function) combT (x) = ∞ n=−∞ δ(x − n をかけたもの，すなわち fT (x) = f(x)combT (x) として表されます（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関 もので， δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)d ∞ −∞ kδ(x)dx = k というものです。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような， たがって，くし形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだも ところで，サンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし （「無限」でもない。なぜなら→
- 35. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 投影を２次元の積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関 は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線 のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) は g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y s と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものです (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin つまり この線上だけを積分する →この式を満たす点だけを 積分する 図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影．(a) 平行照射．(b) フ 2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために 考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ は，法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ 標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。 法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) はデルタ関 g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から s だけ離 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから，(2) 式 デルタ関数で表せる
- 36. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 37. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 38. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では
- 39. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3)
- 40. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3)
- 41. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線に沿って のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) はデルタ関数 g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から s だけ離 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから，(2) 式か (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 変換とよ
- 42. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Radon変換 g(s,θ)は？ x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では Radon変換 と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) y x = tan(θ + π 2 ) = − cos θ sin θ を満たしますから， x cos θ + y sin θ = 0 が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で，(x, y) 座標の原点を通る直線に沿って のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから，g(0, θ) はデルタ関数 g(0, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy と表すことができます。同様に，「法線ベクトルが θ 方向で，原点から s だけ離 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから，(2) 式か (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 変換とよ
- 43. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 44. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
- 45. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転 Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト
- 46. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転 Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクトルが θ 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関係を満た f(x, y) の積分，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racc
- 47. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転 Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクトルが θ 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関係を満た f(x, y) の積分，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racc (x, y)を(s, u)で表す
- 48. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では sが一定で uが変化 (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転 Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクトルが θ 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関係を満た f(x, y) の積分，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racc (x, y)を(s, u)で表す
- 49. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ray-sum 投影を１次元の線積分で表す x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では sが一定で uが変化 ray-sum (x, y)と(s, u)の関係は θ の回転 Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクトルが θ 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関係を満た f(x, y) の積分，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racc (x, y)を(s, u)で表す
- 50. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 51. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 52. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 53. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 54. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 55. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で ２次元関数が再構成できる
- 56. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ f(x, y) 。この問題を解く重要な鍵が，次に述べる投影定理 (projection theorem) です。 θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と， 次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して 面による断面は Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15) のです。この定理は，以下のように証明されます。 の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17)
- 57. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ f(x, y) 。この問題を解く重要な鍵が，次に述べる投影定理 (projection theorem) です。 θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と， 次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して 面による断面は Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15) のです。この定理は，以下のように証明されます。 の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17)
- 58. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ f(x, y) 。この問題を解く重要な鍵が，次に述べる投影定理 (projection theorem) です。 θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と， 次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して 面による断面は Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15) のです。この定理は，以下のように証明されます。 の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) ray-sum
- 59. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ f(x, y) 。この問題を解く重要な鍵が，次に述べる投影定理 (projection theorem) です。 θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と， 次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して 面による断面は Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15) のです。この定理は，以下のように証明されます。 の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は Gθ(ξ) = ∞ −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクトルが θ 方向」 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関係を満たして f(x, y) の積分，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mike ray-sum
- 60. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
- 61. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞
- 62. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞
- 63. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞ 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変 dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))d = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ = F(ξ cos θ, ξ sin θ) となります。
- 64. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞ 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変 dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))d = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ = F(ξ cos θ, ξ sin θ) となります。 fxF(fx, fy) fy θ ξ ξ Gθ(ξ) 図 3: 投影定理． す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように sdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
- 65. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞ 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変 dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))d = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ = F(ξ cos θ, ξ sin θ) となります。 fxF(fx, fy) fy θ ξ ξ Gθ(ξ) 図 3: 投影定理． す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように sdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
- 66. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の証明 Gθ(ξ) = −∞ g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16) れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ) × exp(−i2πξs)dsdu (17) （2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ (x, y)と(s, u)の関係 図 2: Radon 変換． Ray-sum Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが，投影は本来 変数の積分で表されるほうが自然です。そこで，(6) 式を１変数の積分 図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は，(x, y) 座標を θ だけ回転したも s u = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y x y = cos θ − sin θ sin θ cos θ s u と表されます。したがって，(s, u) と (x, y) は s = x cos θ + y sin θ u = −x sin θ + y cos θ, x = s cos θ − u sin θ y = s sin θ + u cos θ という関係で互いに変換されます。 g(s, θ) は，f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり，法線ベクト 貫かれる部分の合計です。したがって，g(s, θ) は，(x, y) が (10) 式の関 f(x, y) の積分，すなわち ∞ 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変 dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))d = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ = F(ξ cos θ, ξ sin θ) となります。 fxF(fx, fy) fy θ ξ ξ Gθ(ξ) 図 3: 投影定理． す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように sdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
- 67. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
- 68. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 69. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 70. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 71. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 72. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 73. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 74. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
- 75. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
- 76. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 77. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 78. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 79. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 80. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 81. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 82. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 83. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標