2. IrvingLo
Capitalización:
Operación para calcular valores futuros de cantidades de
dinero. Consiste en invertir o prestar un capital,
produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la
inversión o el préstamo.
Se divide en:
• Simple
• Compuesta
3. IrvingLo
Capitalización simple:
Los intereses son satisfechos por el deudor al final del
periodo de tiempo
Símbolos a utilizar:
• P= valor presente o capital
• F= valor futuro
• i= tasa de interés, tanto por ciento
• n= número de periodos de interés
4. IrvingLo
Puesto que una unidad Para periodos de tiempo
monetaria produce una tasa distintos del año:
de interés i, tendremos que
los intereses en n años serán: Semestres K=2
Trimestres K=4
Intereses: Meses K=12
I= Pin Días K=360
La suma del capital y los Intereses:
intereses se denomina valor I= Pink
futuro: Valor futuro:
Valor futuro: F = P (k+1n) ó
F=P+Pin ó P(1+ink)
P(1+in) k
5. IrvingLo
• Ejemplo:
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10%
anuales en 3 años.
I=P·n·i
I= (500 000)(3)(.10) = $150 000
2. Calcular los intereses simples de $500 000 al 10% anual
correspondientes a 6 meses.
I= Pin
k
I=(500 000)(.10)(1) = 25, 000
2
6. IrvingLo
Capitalización continua:
Al final del periodo, se agregan los intereses al capital y,
por lo tanto, en los periodos siguientes producirán intereses.
• I = P((1+i^n)-1)
• F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que
ocurre en régimen de simple, a medida que se van
generando pasan a formar parte del capital de partida, se
van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos
siguientes (son productivos).
7. IrvingLo
Ejemplos:
• 1.Calcular los intereses que generan 2 millones de
dólares a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.
Datos: P= 2 000 000
F= ? I = P((1+in)-1)
i= 10% = 0.1
n= 1
I = 2 000 000 * (((1 + 0.1)1) - 1)
I = 2000 000 * (1.1 - 1)
I = 200 000 dlls
8. AleTzec
• 2.Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5% anual durante 10 años en régimen de capitalización
compuesta.
Datos: P= 2 000
F= ? F=P(1+i)^n
i= 5% = 0.5
n= 10 años
F10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 €
Si se hubiese calculado en simple:
F10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 €
• La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final.
10. CelesteHe
Interés simple:
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial.
Las tasas de interés nominales y efectivas
tienen la misma relación que entre sí guardan
el interés simple y el compuesto.
Interés compuesto:
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran, sino que se añaden al
capital principal. Por lo tanto, los intereses se
reinvierten.
11. CelesteHe
• Tasa de Interés Nominal
Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al
interés que capitaliza más de una vez al año.
La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que NO
considera la capitalización de intereses.
r = tasa de interés del periodo X número de periodos
14. AlbertoCa
• Tasa de Interés Efectiva
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la
acumulación del interés durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual
efectiva ia, pero puede ser otro periodo de base.
16. AlbertoCa
• La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP).
• Periodo de tiempo (t), es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de interés (la más común es 1 año).
• Periodo de composición o de capitalización (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
interés.
• Frecuencia de composición o de capitalización (m), es
decir, el número de veces que se lleva a cabo la
composición durante el periodo (t).
17. AlbertoCa
• Por ejemplo, si una compañía depositó dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de interés
nominal del 14% anual compuesto semestralmente, el
periodo de pago sería 1 mes mientras que el periodo de
capitalización sería 6 meses y la frecuencia de la
composición sería de 2.
18. AlbertoCa
• Tasa efectiva por Periodo de Capitalización
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composición. La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la fórmula:
r % por periodo de tiempo r
m periodos de composición por t =m
19. AlbertoCa
• Ejemplos
1.Tasas de préstamo bancario para dos proyectos
distintos de equipos de generación de electricidad.
Determine la tasa efectiva considerando el PC.
a) 9% anual, compuesto trimestralmente
b) 9% anual, compuesto mensualmente
a) r = 9% anual x trimestre ; m= 9/4
tasa efectiva por PC = 2.25%
b) r= 9% anual x mes; m= 9/12
tasa efectiva por PC = 0.75%
20. SalmaVa
• Tasa De Interés Efectiva Anual
La deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva
es semejante a la lógica que se sigue para establecer la
relación del valor futuro F=P (1+i)n.
El valor futuro F al final de 1 año es el principal P más los
intereses acumulados P (i) durante el año. Puesto que el
interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se
reemplaza i con la tasa anual efectiva ia. Ahora escribamos
la fórmula para F al final de 1 año.
• F = P + Pia = P (1+ia)
21. SalmaVa
Tasa de interés efectiva anual:
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para
cualquier número de periodos de composición cuando i es
la tasa para un periodo de composición.
r = tasa de interés nominal anual
m = núm. de periodos de capitalización x año
i = tasa de interés efectiva por PC
ia = tasa de interés efectiva anual
22. SalmaVa
Ejemplo:
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco
nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y
un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1000
al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA después de un año, tomando en cuenta
el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año.
Solución
Hay 12 periodos de composición por un año. Por lo tanto, m=12
e i=18%/12= 1.5% mensual. Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el año se aplica la ecuación,
ia=(1+i)m – 1 ;
Y enseguida la ecuación para el valor futuro,
F=P+Pia= P(1+ia)
23. SalmaVa
ia=(1+0.015)12 – 1= 1.9562 – 1= 0.19562 (19.5%)
F= $ 1 000 (1.19562)= $ 1 195.62
Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del
saldo, por la utilización del dinero del banco durante el
año $1196.62
24. SalmaVa
1. La señora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depósito JUMBO que paga 18% anual
compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá ella
a) anualmente
r= 0.18 y m= 365,
i anual = (1 + 0.18/365)365 - 1
= 0.19716 (19.716%)
Es decir, la señora Jones obtendrá un 19.716% efectivo
sobre su depósito.
b) semestralmente
b) r= 0.09 durante 6 meses y m= 182 días:
i por 6 meses = 0.09415 (9.415%)
25. GenaroVi
• Tasa de Interés Efectivas Para Cualquier
Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y
el periodo de composición podemos decir que una
compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que da
rendimientos con una tasa de interés nominal de 14% anual,
con un periodo de composición semestral, es periodo de
pago es un mes, mientras que el periodo de composición es
de 6 meses.
26. GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual, es decir, PP< 1 año,
debe utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La
fórmula de la tasa de interés anual efectiva se generaliza
fácilmente para cualquier tasa nominal:
r m
i efectivo = (1 + m) -1
donde,
r = tasa de interés nominal por periodo de pago PP
m = núm. de periodos de composición por periodo de pago
(PC por PP)
27. GenaroVi
• Ejemplo:
Una tarjeta de crédito nacional tiene una tasa de interés del
2% mensual sobre el saldo no pagado.
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre,
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales.
Solución
a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es
mensual. Dado que se desea obtener la tasa de interés
efectiva por periodo semestral, la tasa nominal por 6 meses.
r = 2% mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12% por periodo semestral
28. GenaroVi
6
0.12
por cada 6 meses = 1 + −1
6
= 0.1262 12.62%
b) Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo
de capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un
periodo semestral, m=2 y r= 10%. En consecuencia:
2
0.10
i por cada 6 meses = 1 + −1
2
= 0.2155 21.55%
29. GenaroVi
• Tasa De Interés Efectiva Que Varía Con El
Tiempo
Las tasas de interés reales para una corporación varían año
con año, dependiendo del estado financiero de la empresa,
de su sector den el mercado, de las economías nacional e
internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros
factores.
30. GenaroVi
Ejemplos:
• Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un interés HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable).
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año para
que refleje la antigüedad del préstamo, el costo actual del
dinero de la hipoteca, etc.
31. GenaroVi
• Los bonos protegidos contra la inflación (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias.)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida; sin embargo, a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente, de acuerdo con el índice de inflación del
índice de precios al consumidor (IPC). Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de
acuerdo con la inflación observada.
32. NancyLu
Tasas De Interés Efectivas Para
Capitalización Continua
A medida que el periodo de capitalización disminuye, el
valor de m, número de periodos de capitalización por
periodo de interés, aumenta.
Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se
acerca a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva en
la ecuación puede escribirse de una nueva forma.
definición de la base del logaritmo natural.
33. NancyLu
A medida que m se acerca a infinito, el límite de la formula
de las tasa de interés efectiva se encuentra utilizando
r/m = lh, lo que hace m =hr
Ecuación que se utiliza para calcular la tasa de interés
efectiva continua.
34. NancyLu
• Ejemplo:
a) Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma
continua, calcule la tasa de interés efectiva anual y mensual.
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15% sobre su dinero, ¿Cuál es la tasa mínima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua.
Solución:
a) La tasa de interés mensual r, es =1812 = 1.5 mensual. La tasa
efectiva mensual es:
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 0.18 anual
es:
35. NancyLu
b) En este problema, es preciso resolver la ecuación de la
tasa de interés efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r. por lo tanto para i=15% anual, debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural.
Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15%.
36. NancyLu
• Ejemplo:
Si se depositan $2000 cada año durante 10 años a una tasa de
intereses del 10% anual, compare el valor presente para
capitalización (a) anual y (b) capitalización continua.
Solución
Para capitalización anual,
P = 2000(P/A,10%,10) = 2000(6.1446) = $12,289
(b) Para capitalización continua,
ianual = e⁰· ¹⁰ – 1 = 0.10517 (10.517%)
P= 2000(P/A,10.517%,10)
= 2000(6.0104)
= $12,021
37. ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Comparación entre la duración del periodo de pago y del
periodo de capitalización (PP versus PC)
En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la
frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia
de la capitalización de los intereses.
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo
de capitalización y el periodo de pago, y en consecuencia la
tasa de interés se ajuste.
Cuando solo existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP
definido en si por los flujos de efectivo. La duración del PP, por
lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa
de interés.
38. ErickMe
• Ejemplo:
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral), y que el interés tiene un periodo de
capacitación trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composición trimestral. Sin embargo, en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composición trimestrales anteriores.
39. ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Pagos únicos con PP≥PC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago
único, hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n
para los factores P/F y F/P.
Método 1:
Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de
composición PC, y se iguala n al número de periodos de
composición entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son:
P=F (P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
F=P (F/B, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
40. ErickMe
• Ejemplo:
Suponga que la tarjeta de crédito es una tasa efectiva de
15% anual, compuesto mensualmente.
En este caso, PC es igual a un mes.
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos años,
se calcula la tasa mensual efectiva de 15% / 12= 1.25%
Y el total de meses de 2 (12)=24. Así, los valores 1.25% y
24 se utiliza para el cálculo de los factores P/F y F/P.
41. ErickMe
Método 2:
Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la
tasa nominal, y sea n igual al número total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo.
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas, salvo que el termino i% efectiva por t se
sustituye por la tasa de interés.
42. ErickMe
• Ejemplo:
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual
compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa
de interés efectiva durante un año y los valores n son:
El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,
1.25%,24)=0.7422, utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%,
2)=0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
43. ErickMe
• Ejemplo:
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual
compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa
de interés efectiva durante un año y los valores n son:
El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,
1.25%,24)=0.7422, utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%,
2)=0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
44. AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Series con PP ≥ PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre
y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva
trimestral. El valor n es el número total de trimestres. Si PP es
igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de n de 20
trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente
directriz general:
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A,
G, g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalización,
* Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago
* Se determina n como el número total de periodos de pago.
45. AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulación correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de interés.
Observe que n siempre es igual al número total de periodos de
pago y que i es una tasa de interés efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n.
46. AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Pagos únicos y series con PP < PC
• Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el día 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de crédito, y si la persona hace
el pago completo el día primero, ¿reduce la institución
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado?
La respuesta común es no.
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un préstamo bancario de $10 millones, con un interés
compuesto trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiría en que el banco redujera la
cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado.
47. AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalización implica la pregunta
de cómo manejar la capitalización inter-periódica.
Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
interés compuesto.
