Métodos de Lagrangue

1. Asesor :
Ing. Malavé Amelia
Alumno:
Saldaña Alejandro
C.I.:25.282.643

2. JOSEPH-LOUIS DE LAGRANGE
Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Ludovico Lagrangia,
también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange Nació en Turín el 25
de Enero de 1736. Fue un físico, matemático y astrónomo franco-italiano que
después vivió en Prusia y Francia.
Lagrange trabajó en Berlín durante veinte años para Federico II de Prusia.
Aportó avances trascendentales en múltiples ramas de las matemáticas,
desarrolló la mecánica Lagrangiana y fue el autor de novedosos trabajos de
astronomía. Tanto por la importancia como por el volumen de sus
contribuciones científicas se le puede considerar uno de los físicos y
matemáticos más destacados de la historia.

3. MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
En los problemas de optimización, el
método de los multiplicadores de
Lagrange, es un procedimiento para
encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables
sujetas a restricciones. Este método
reduce el problema restringido con n
variables a uno sin restricciones de n
+ k variables, donde k es igual al
número de restricciones, y cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas
más fácilmente.

4. OBJETIVOS DE ESTE METODO
 Visualizar algunas superficies cuádricas y
curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
 Identificar, a través de los simuladores, los
puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la
función restricción donde la función principal
tiene extremos.
 Interpretar gráficamente los resultados
obtenidos empleando el método de
multiplicadores de Lagrange
 Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación
en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la
curva correspondiente a la función condicionante.
 Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización
en un ambiente computacional.

5. CARACTERISTICAS
 El método de eliminación de variables no resulta
operativo cuando el problema tiene muchas
restricciones o las restricciones son complejas,
por lo que resulta muy útil éste método.
 Los Multiplicadores de Lagrange es un método
alternativo que además proporciona más
información sobre el problema.
 Todos los óptimos que verifiquen las condiciones
de regularidad establecidas tienen asociados los
correspondientes multiplicadores.
 El teorema de Lagrange establece una condición
necesaria de optimalidad (bajo las condiciones
de regularidad).

6. METODO
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional
{x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se
observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h:
lo que es equivalente a

7. EJEMPLO
Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2
de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
Buscamos maximizar:
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
con restricción:
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los multiplicadores de
Lagrange.
𝛻𝑉 = 𝜆𝛻𝑔
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 12
Entonces:
𝑉𝑥 = 𝜆𝑔 𝑥
𝑉𝑦 = 𝜆𝑔 𝑦
𝑉𝑧 = 𝜆𝑔 𝑧
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12

8. Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:
𝑦𝑧 = 𝜆 2𝑧 + 𝑦
𝑥𝑧 = 𝜆 2𝑧 + 𝑥
𝑥𝑦 = 𝜆(2𝑥 + 2𝑦)
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado
izquierdo 𝑥𝑦𝑧 por lo tanto la primera la multiplicamos por 𝑥 la segunda
por 𝑦 y la tercera por 𝑧, quedaría de la siguiente manera:
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧)
Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:
2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦
2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧
de la segunda ecuación sabemos que:
𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 entonces: 𝑦 = 2𝑧.
Si se hace 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧
sustituimos en la ecuación:
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
y nos quedaría de la siguiente manera: 4𝑧2
+ 4𝑧2
+ 4𝑧2
=12
Por lo tanto 𝑧 = 1
entonces: 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2.