Diapositivas de la clase de optimizacion

1. Optimización
Alfonso Cubillos V
Capitulo 4
Optimización Introducción
Aplicación a la Mecánica de Materiales Conceptos
Fundamentales
Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
Alfonso Cubillos V
Programa de Ing. Mecánica
Universidad de Ibagué
4.1

2. Optimización
Introducción
Alfonso Cubillos V
En la solución de problemas,
siempre se deben tomar
decisiones sobre el valor de
ciertas condiciones del
problema. Estas decisiones
Introducción
afectan el resultado final del
Conceptos
problema. Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.2

3. Optimización
Minimizar o Maximizar qué?
Alfonso Cubillos V
• El costo $
• El Peso
• El volumen
• La eficiencia Introducción
Conceptos
• El tiempo Fundamentales
Tipos de Optimización
• El trabajo
Ejemplos y Ejercicios
• La distancia Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
• Las ganancias Método a partir de
Derivadas
• ... y muchas más
Qué se requiere?
Un modelo que describa el comportamiento del sistema y
sobre el cual se puedan realizar pruebas con el fin de
encontrar la solución
4.3

4. Optimización
Algunos conceptos
Alfonso Cubillos V
Variables de decisión
Decisiones cuantificables relacionadas con otras. Por ejemplo,
la distancia a donde poner el soporte, el tipo de viga a
implementar.
Función Objetivo Introducción
Conceptos
La medida de efectividad compuesta expresada como una Fundamentales
función de las variables de decisión. Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Parámetros Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Valores constantes que actúan como coeficientes al lado Derivadas
derecho de las variables tanto en la función objetivo como en
las restricciones y que se basan en datos tecnológicos de los
problemas
Restricciones
Limitaciones impuestas sobre los valores de las variables de
decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o
desigualdades. Pueden =, ≤, ≥.
4.4

5. Optimización
Optimización
Alfonso Cubillos V
También conocida como programación matemática intenta dar
respuesta a un tipo general de problemas de la forma
max(min) f (x)
x ∈ Ω ⊆ Rn Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
• x = (x1 , . . . , xn ) es un vector y representa las variables de Ejemplos y Ejercicios
decisión Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
• f (x) es la llamada función objetivo y representa o mide la Método a partir de
Derivadas
calidad de las decisiones
• Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones
que se puede expresar como
Conjunto de restricciones
gi (x1 , . . . , xn ) ≤ 0 (Restricciones de Desigualdades)
hi (x1 , . . . , xn ) = 0 (Restricciones de Igualdades)
4.5

6. Optimización
Factibilidad
Alfonso Cubillos V
Dado un conjunto de restricciones
gi (x) = 0 hi (x) ≥ 0
Por ejemplo Introducción
Conceptos
Fundamentales
2
3x1 + 2x2 = 3x3 − 9 sin(x1 ) ≤ cos(x2 ) Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Se re-escriben para manejarla mejor... Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
2
g1 (x) = 3x1 + 2x2 − 3x3 + 9 = 0
h1 = cos(x2 ) − sin(x1 ) ≥ 0
• Un punto que satisface todas las restricciones es un punto
factible
• El conjunto de puntos factibles se denomina región factible 4.6

7. Optimización
Mínimos (o máximos) locales y globales
Alfonso Cubillos V
Puntos de inflección
Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.7

8. Optimización
Mínimos (o máximos) locales y globales
Alfonso Cubillos V
Puntos de inflección
Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.8

9. Optimización
Mínimos (o máximos) locales y globales
Alfonso Cubillos V
Puntos de inflección
Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.9

10. Optimización
Según el tipo de problema y método de solución
Alfonso Cubillos V
Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.10

11. Optimización
Tipos de Optimización
Alfonso Cubillos V
Según el nivel de generalidades que tome el problema, será la
solución que se plantee.
1 Optimización sin restricciones
2 Optimización con restricciones de desigualdad -
optimización no clásica
Introducción
3 Optimización estocástica Conceptos
Fundamentales
4 Optimización con información no perfecta Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
1. Optimización sin restricciones Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con Método a partir de
Derivadas
menor o igual número de variables que la función objetivo.
2. Con restricción de desigualdad
Si la restricción contienen mayor cantidad de variables que la
función objetivo, o la restricción contiene restricciones de
desigualdad, existen métodos en los que algunos casos se
pueden encontrar los valores máximos o mínimos.
4.11

12. Optimización
Tipos de Optimización
Alfonso Cubillos V
2. Con restricciones de desigualdad
Si tanto las restricciones como función objetivo son lineales
(Programación Lineal o PL), la existencia de máximo (o
Introducción
mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la Conceptos
aplicación de unos algoritmos de álgebra lineal elemental. Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
3. Optimización Estocástica Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Cuando las variables del problema (función objetivo y/o Método a partir de
Derivadas
restricciones) son variables aleatorias
4. Optimización con información no perfecta
La cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede
ser desconocida o también variable.
4.12

13. Optimización
Taller Mecánico
Alfonso Cubillos V
A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la
maquinaria que utiliza se le presenta el problema de
determinar el número de obreros que constituye la plantilla
óptima del taller.
Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de
mantenimiento, obteniéndose los siguientes datos: Introducción
Conceptos
1 La reparación de una máquina requiere, por término Fundamentales
medio, 3 obreros/día. Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
2 La capacidad del taller permite reparar x máquinas por
Métodos de Solución
día. Programación Lineal (PL)
Método a partir de
3 El número medio de máquinas pendientes de reparación Derivadas
que un día cualquiera hay en el taller viene determinado
por 10/(x-10).
4 La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de
200u.m./h por obrero.
5 El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m.
por día.
Determine ese número óptimo de obreros.
4.13

14. Optimización
Fabricación de tablas
Alfonso Cubillos V
• Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar
8000 tablas especiales de espuma de plástico para
entrenamientos de natación.
Introducción
• La firma posee 10 máquinas Conceptos
Fundamentales
• El coste de adaptación de las máquinas para producir
Tipos de Optimización
tablas especiales es de 20 US por máquina Ejemplos y Ejercicios
• Cada máquina adaptada puede producir 30 tablas de Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
entrenamiento por hora Método a partir de
Derivadas
• Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación
es completamente automática y puede ser supervisada
por un solo capataz, cuyo salario es de 4,80 US por hora.
¿Cuántas de las máquinas deben adaptarse para reducir al
mínimo el coste de producción de dichas tablas?
4.14

15. Optimización
Taller de Joe
Alfonso Cubillos V
El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motor
y regulación del sistema eléctrico.
• El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por
regulación.
• Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 Introducción
cambios de aceite por semana. Conceptos
Fundamentales
• Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo Tipos de Optimización
y $8 de insumos. Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
• Una regulacion toma una hora de trabajo y gasta $15 en Programación Lineal (PL)
insumos. Método a partir de
Derivadas
• Joe paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y
emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los
cuales labora 40 horas por semana.
• Las compras de insumos no pueden pasar el valor de
$1.750 semanales.
Cuántos cambios de aceite y regulaciones debe realizar
semanalmente Joe para maximizar el beneficio total.
4.15

16. Optimización
Planta de Refinería
Alfonso Cubillos V
Una refinería produce tres tipos de crudo: C1, C2 y C3. El
crudo tipo C1 cuesta $0.4/galón, y se pueden producir máximo
10.000 galones por día. El crudo tipo C2 cuesta $0.2/galón, y
se pueden producir máximo 12.000 galones por día. El crudo
de tipo C3 cuesta $0.1/galón, y se pueden producir máximo
15.000 galones por día. La refinería puede convertir cada tipo Introducción
Conceptos
de crudo en gasolina, y puede producir tres tipos de gasolina: Fundamentales
regular, plus y premium. La máxima demanda del mercado Tipos de Optimización
para la gasolina regular, plus y premium, es de 9000, 8000 y Ejemplos y Ejercicios
7000 galones por día respectivamente. La refinería puede Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
vender su gasolina a un distribuidor por $0.7/galón de gasolina Método a partir de
Derivadas
regular, $0.8/galón de plus, y $0.9/galón de premium. Asuma
que 1 galón de crudo tipo C1 genera 0.2 galones de gasolina
regular, 0.3 galones de regular y 0.5 de premium. Un galón de
crudo tipo C2 genera 0.5 galones de regular, 0.3 de plus y 0.2
de premium. Para el crudo tipo C3, se asume que un galón,
genera 0.7 galones de regular, 0.3 de plus, y nada de premium.
Se desea determinar el número de galones de cada crudo por
procesar de C1, C2 y C3 para maximizar las ganancias.
4.16

17. Optimización
Equilibrio de dos resortes
Alfonso Cubillos V
Considere un sistema de dos resortes como lo muestra la
figura. Las líneas punteadas muestran los resortes sin
deformar y sin carga. Después de aplicar las fuerzas en el
punto A, el sistema se deforma hasta su equilibrio en el punto
B, donde los resortes se muestran en líneas continuas. Se
esta interesado en encontrar el estado de equilibrio en el punto
Introducción
B en la posición (x1 , x2 ) Conceptos
El estado de equilibrio del sistema se obtiene minimizando la Fundamentales
energía potencial del mismo, con respecto a las variables de Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
diseño x1 y x2
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.17

18. Optimización
Costo de tubería de una planta
Alfonso Cubillos V
El costo de la tubería, incluidas tantos las pérdidas como el
bombeo,son de importante consideración en el diseño de una
planta química. Considere el diseño de una tubería que tiene
un longitud L-ft de longitud y transporta un fluido a Q gpm. El
Introducción
objetivo es determinar el diámetro del tubo D-in que minimiza
Conceptos
anualmente el costo de bombeo. Para una bomba normal, el Fundamentales
costo anual de bombeo puede ser estimado por: Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
f (D) = 0,45L + 0,245 · L · D 1,5 + 325(hp)0,5 + 61,6(hp)0,925 + 102 Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
donde
LQ 3 LQ 2,68
hp = 4,4 × 10−8 + 1,92 × 10−9 4,68
D5 D
Se desea obtener el diámetro de la tubería D para un mínimo
costo, de longitud de 1000 ft. y flujo de 20 gpm.
4.18

19. Optimización
Minimizar Volumen
Alfonso Cubillos V
The weight of the suspended object is 10 kN. The two
members have different cross-sectional areas x1 and x2 , and
each will safely support an axial stress of σ = 105 kPa.
Determine the value of h, x1 y x2 that minimizes the total
volume of material in the two members. Introducción
Conceptos
Fundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
Método a partir de
Derivadas
4.19

20. Optimización
Cuándo un problema se puede solucionar como PL?
Alfonso Cubillos V
Cuando se formula un problema de toma de decisiones como
un programa lineal, se deben verificar las siguientes
condiciones:
1 La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe Introducción
verificar que todas las variables estén elevadas a la Conceptos
Fundamentales
primera potencia y que sean sumadas o restadas (no Tipos de Optimización
divididas ni multiplicadas); Ejemplos y Ejercicios
2 El objetivo debe ser ya sea la maximización o Métodos de Solución
Programación Lineal (PL)
minimización de una función lineal. El objetivo debe Método a partir de
Derivadas
representar la meta del decisor; y
3 Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo,
la restricción debe adoptar alguna de las siguientes
formas ( ≤, ≥, o =, es decir que las restricciones de PL
siempre están cerradas).
4.20

21. Optimización
Método de Derivadas
Alfonso Cubillos V
Es el método más utilizado para resolver problemas de
optimización no lineal. Introducción
Conceptos
Fundamentales
Se dividen en:
Tipos de Optimización
1 Optimización donde la función objetivo es no lineal, y sin Ejemplos y Ejercicios
Métodos de Solución
restricciones Programación Lineal (PL)
Método a partir de
2 Optimización donde la función objetivo y las restricciones Derivadas
son no lineales
4.21