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Cours hydraulique 2_annee_6
- 2. Hydraulique
INTRODUCTION.....................................................................5
GĂNĂRALITĂS ET PROPRIĂTĂS DES FLUIDES ......................................... 5
HISTORIQUE .............................................................................. 5
SYSTĂME D'UNITĂ ........................................................................ 6
PROPRIĂTĂ DES FLUIDES ............................................................... 6
DĂ©finition : solides - fluides........................................................................................................6
Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6
Pression......................................................................................................................................7
Compressibilité ...........................................................................................................................7
Viscosité .....................................................................................................................................8
Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9
La pression de vapeur saturante ................................................................................................9
HYDROSTATIQUE ................................................................10
DĂ©finition...................................................................................................................................10
Pression en un point.................................................................................................................10
Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10
Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11
Utilisation ..................................................................................................................................11
Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12
Pression absolue ou relative ....................................................................................................12
Changement de référentiel de pression ...................................................................................13
Application ................................................................................................................................13
Tube en U.................................................................................................................................14
Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14
Changement de référentielle ....................................................................................................15
FORCE DE PRESSION .................................................................. 15
Poussée sur une surface plane ................................................................................................15
CrĂšve tonneau de Pascal .........................................................................................................19
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- 3. Hydraulique
VĂ©rin hydraulique......................................................................................................................19
Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20
FORCE D'ARCHIMĂDE .................................................................. 22
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22
Application ................................................................................................................................23
Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23
Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24
Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24
EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25
Rappel des hypothĂšses fondamentales ...................................................................................25
Application de l'Ă©quation de bernouilli ......................................................................................26
Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28
THĂORĂME DES QUANTITĂS DE MOUVEMENT ...................................... 29
Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29
Effort exercĂ© par un coude de canalisation (coude horizontal d'oĂč Poids = 0).........................30
Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30
Cas d'embouchement...............................................................................................................31
EQUATION FLUIDE PARFAIT GĂNĂRALISĂ ........................................... 32
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32
Equation de quantité de mouvement........................................................................................32
HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RĂELS .............................32
GĂNĂRALITĂ SUR LA VISCOSITĂ ..................................................... 32
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33
Variation de la viscosité............................................................................................................33
EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34
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- 4. Hydraulique
LES DIFFĂRENTS RĂGIMES D'ĂCOULEMENT......................................... 34
Expérience de Reynolds...........................................................................................................34
Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34
ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35
ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35
Généralité .................................................................................................................................35
Equations de Reynolds.............................................................................................................35
HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ĂCOULEMENT EN CHARGE) .35
Généralité .................................................................................................................................35
Equation de conservation d'Ă©nergie .........................................................................................35
Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36
EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37
En Ă©coulement laminaire ..........................................................................................................37
En Ă©coulement turbulent lisse .................................................................................................37
En Ă©coulement turbulent rugueux.............................................................................................37
RĂ©gime turbulent de transition..................................................................................................37
Diagramme de Moody ..............................................................................................................37
Formule de Strickler .................................................................................................................38
Rayon hydraulique....................................................................................................................38
Perte de charges singuliĂšres ....................................................................................................38
CALCUL DE RĂSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39
Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39
Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39
Conduite en série .....................................................................................................................40
TECHNIQUE DE RĂSOLUTION PAR RĂITĂRATION ................................... 40
Recherche de hR.......................................................................................................................40
Recherche de Q .......................................................................................................................40
Recherche de D........................................................................................................................41
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- 5. Hydraulique
CALCUL DE RĂSEAUX MAILLĂ ........................................................ 41
Conduite en parallĂšle................................................................................................................41
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41
Calcul d'une maille ...................................................................................................................42
Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43
HYDRAULIQUE DES CANAUX (ĂC. EN NAPPE LIBRE) ..............43
GĂNĂRALITĂ ............................................................................ 43
DĂ©finitions.................................................................................................................................43
But de lâĂ©tude............................................................................................................................43
Classification des fluides ..........................................................................................................43
EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MĂMES, MAIS ADAPTĂES)............. 44
Equation de continuité ..............................................................................................................44
Equation de conservation dâĂ©nergie .........................................................................................44
Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45
Nombre de Froude : FR............................................................................................................45
ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46
Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46
Profondeur normale..................................................................................................................47
Différents problÚmes rencontrés ..............................................................................................48
ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIĂ .............................................. 49
DĂ©finition...................................................................................................................................49
Courbe dâĂ©gal dĂ©bit « Ă©tude de la fonction Hs ».......................................................................49
Valeur de tCR en canal rectiligne ...............................................................................................50
COURBES DE REMOUS ................................................................ 51
Ăquations fondamentales .........................................................................................................51
Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51
Etude qualitative et classification des lignes dâeau...................................................................52
Illustrations en riviĂšre................................................................................................................52
Illustrations en torrent ...............................................................................................................53
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- 6. Hydraulique
Introduction
Hydraulique
MĂ©canique des fluides
MĂ©canique
Physique
Hydrostatique
Cinématique
Dynamique
Fluide parfait (viscosité nulle)
Ecoulement en charge
Ecoulement en nappe libre
Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps)
Généralités et propriétés des fluides
Bibliographie :
Hydraulique générale et appliquée
(Carlier, Ă©d. Eyrolles)
Manuel dâhydraulique gĂ©nĂ©rale
(Lencastre, Ă©d. Eyrolle)
MĂ©canique des fluides et hydraulique
(R.V Gile)
Fluid mechanics
(V. Streeter anglais)
Traité de génie civil
(Gref et Altinater)
Historique
Haute antiquitĂ© dĂšs 4â000 ans avant J.C en MĂ©sopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de
Joseph au Caire de 90m de profondeur.
Civilisation grecque :
Ecole dâAlexandrie
ArchimĂšde :
287 â 212 avant J.C
Ctésibios :
Pompe aspirante â refoulante
Hydraule (orgue)
Moyen Ăąge :
Rien
Renaissance :
1452 â 1519 LĂ©onard de Vinci : Equation de continuitĂ©
SiĂšcle des lumiĂšres :
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Vis dâArchimĂšde
Le principe dâArchimĂšde
Théorie des corps flottants
Stevin (Hollande)
Paradoxe de lâhydrostatique
Louis 14
Torricelli
Pascal (traité des liqueurs)
Newton (liquide Newtoniens viscosité)
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- 7. Hydraulique
18Ăšme siĂšcles :
Théorie :
Bernoulli :
Euler :
Hydraulique appliquée :
Equation de conservation de lâĂ©nergie
Equation de quantité de mouvement
Chézy (perte de charge)
19Ăšme siĂšcles :
machine hydro :
essai sur modĂšle :
Temps moderne :
école de Götting, Prandtl
essai sur modĂšle
Francis (turbine)
Froude, Reynolds
SystÚme d'unité
Cours de M. MĂ©troz + brochure UBS
SystÚme légal : SystÚme I international S.I.
Unité encore tolérée :
(pas dans le SI)
-
litre = 1 dcm3
Km/h
Car heure au lieu de secondes
KW h
bar (pression)
grade
mm de mercure (Hg)
Propriété des fluides
DĂ©finition : solides - fluides
Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans rigidité)
Liquide : occupe un volume déterminé, peu modifiable par la température et la pression
séparation par "la surface libre" d'avec le gaz qui le surmonte
Gaz
: occupe tout l'espace à disposition, pas forcément uniforme, et le volume est
fortement modifiable par la température et la pression
Masse volumique, poids volumique et densité
La masse volumique est la masse d'un corps par unité de volume et noté
S.I. : masse
Volume
kg
m3
Poids volumique : poids par unité de volume
S.I. : Poids
Volume
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Ï [rhĂŽ]
Îł [gamma]
N
m3
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- 8. Hydraulique
Relation :
Poids = Masse X Accélération
Champs terrestre :
Poids = Masse X g
Poids = Masse X g
Volume
Volume
Par unité de volume :
ce qui donne :
Îł = Ï x g
DensitĂ© : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de rĂ©fĂ©rence ayant le mĂȘme volume
- eau (4°) :
Ï = 1000 kg/m3
Îł = 9807 N/ m3
- air (20°):
Quelques valeurs:
Ï=
1.20 kg/m3
Ï diminue avec la tempĂ©rature (portance des avions pays chaud)
- mercure (0°) :
- mercure (20°) :
Ï=
Ï=
13595 kg/m3
13546 kg/m3
Pression
L'ensemble des phénomÚnes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément
Pression :
p = force de surface
Surface
[Pa]
Contrainte :
p = force
Surface
résistance des matériaux
Unité tolérée : le bar
[N]
[m2]
1 bar = 105 Pa
Compressibilité
C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures
â pression
â volume
volume init.
Module de compressibilité :
E
=
Quelques valeurs :
- eau (15°) :
- air (15°) :
E à une unité de pression
(Pa, N/m2)
E = 2.16 * 109 N/m2
E = 1.13 * 105 N/m2
E = 1.58 * 105 N/m2
(isotherme)
(adiabatique)
sans Ă©change de chaleur
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- 9. Hydraulique
Vitesse de propagation d'une onde de pression
c=
E (isotherme)
Ï
ceau = 1470 m/s
cair = 300 m/s
Viscosité
Existence d'efforts tangentiels dans un fluide
Viscosité dynamique :
F = âv â
âs â
”
âx
” : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s]
si ” = 0 fluide parfait
si ” = cste fluide newtonien (ex: l'eau)
”
Ï
Viscosité cinématique :
Ï
=
Quelques valeurs:
- eau (15°) :
” = 1.14*10-3 Pa*s
Μ = 1.14*10-6 m2/s
- air (15°):
”=
Μ=
”eau
Îœeau
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>
<
Îœ [nĂ»] = m2/s
1.78*10-5 Pa*s
1.55*10-5 m2/s
”air
Îœair
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- 10. Hydraulique
Tension superficielle : capillarité
A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores)
Ï=
travail = force â
déplacement [j]
surface
surface [m2]
Ï [sigma] = travail nĂ©cessaire pour rester Ă la surface
Utilisation capillarité :
h = 2 â
Ï cos Ξ
Ï â
gâ
r
Loi de Jurin :
h=k
r
Quelques valeurs:
- mercure :
- eau :
k = cste en fonction du liquide
r = diamĂštre du tube
Ï=
Ξ=
Ï=
Ξ=
0.514 N/m
140°
k â
-14 mm2
0.0736 N/m
0°
k â
30 mm2
La pression de vapeur saturante
Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation)
Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure.
(ébullition à température ambiante)
Cavitation :
Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température
ambiante.
Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de
vapeur, ce qui provoque une usure.
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- 11. Hydraulique
Hydrostatique
DĂ©finition
Science qui Ă©tudie les conditions des fluides au repos :
- pression
- force de pression
- principe d'ArchimĂšde
Pression en un point
Les différentes forces agissantes sur un élément :
Forces intérieur : elles forment un systÚme équivalent à zéro (aucune action)
Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient trÚs proche
l'un de l'autre (force de surface)
- Force de volume, lié au champ :
-pesanteur
- magnétique
- électromagnétique
Equilibre d'un prisme
Relation géométrique
Dx = dl * cosα
Dz = dl * sinα
Poids : P = Âœ * (dx * dy * dz) * g * Ï
Condition d'Ă©quilibre :
âF
=0
Projection sur l'axe X .
0 + dF2 â dF3 * sinα + 0 = 0
p2 *(dz * dy) â p3 *sinα *(dz/sinα) = 0
p2 = p 3
Projection sur l'axe Y :
DF1 + 0 â dF3 * cosα - P = 0
p1 *(dx * dy) â p3 *cosα *(dx/cosα) â(Âœ * (dx * dy * dz) * g * Ï) = 0
p1 = p 3
Infiniment petit donc négligé
Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires Ă la surface, sinon la composante tangentielle
entraĂźnerait un glissement des particules. (donc mouvement d'oĂč pas d'hydrostatique)
les coefficients p (pression) sont les mĂȘmes dans toutes les directions
Forces de pression :
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dF = p * ds
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- 12. Hydraulique
Equation fondamentale de l'hydrostatique
Equilibre d'un cylindre Ă axe vertical :
Ă©quilibre des forces et projection sur l'axe Oz
dF2 = p â
ds
dF1 = (p +
âp
â
dz) â
ds
âz
dF2 â dF1 â P = 0
( p â
ds ) â ( (p +
(
P = g â
Ï â
dz â
ds
âp
â
dz) â
ds ) â ( z â
Ï â
dz â
ds ) = 0
âz
âp
â
dz) - (z â
Ï ) = 0
âz
Forme différentielle
âp
)- Ï â
x =0
âz
âp
( )-Ï â
y =0
âz
âp
( )- Ï â
z =0
âz
(
Donc pression en point
p 2 - p1 =
Ï â
g (z1 - z2)
Utilisation
Plan de charge = indication de la pression
H=
p
Ï â
g
H
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- 13. Hydraulique
Différence de pression entre 2 points
pA + Ï â
g â
zA = pB + Ï â
g â
zB
pB - pA = Ï â
g â
(zA - zB)
d'oĂč pB > pA
Principe de Pascal
pB - p A =
Ï â
g (zA - zB)
On modifie la pression en A de â pA sans modifier l'Ă©quilibre du systĂšme donc la pression en B est modifiĂ©e
de â pB
(pB + â pB ) â (pA + â pA )=
Ï â
g (zA - zB)
â pB = â pA
Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout
point de la masse du fluide.
Pression absolue ou relative
Expérience de Torricelli
zA +
p
Ï
A
Hg
= zB +
p
Ï
pA = pATM
pATM =
Ï
B
Hg
pB = vide = 0
Hg
â
g (zB - zA)
A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg
donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa
Ï
Hg
= 13'600 Kg/m3
Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec
du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg
donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa
= 1.013 bar
101'324 Pa =
Ï eau â
g â
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âz
âz = 10.33 m. correspond Ă la hauteur du tube remplis d'eau.
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- 14. Hydraulique
Changement de référentiel de pression
pression absolue : pression avec le vide comme référence
vide = 0
pression relative : pression avec pATM comme référence
pATM = 0
Application
Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable)
Ï1
<
Ï2
<
Ï3
Ï1
Ï
Ï
en pression relative : pATM = 0
2
3
Ï 1 â
g ( zA - zB)
pB +
Ï
2
â
g ( zB - zC)
p B + pC +
Ï
3
â
g ( zC - zD)
Pression au point D :
avec pA = 0
pB - p A =
pC - p B =
pD - p C =
pD =
Ï 1 â
g (zA - zB)
Ï 2 â
g (zB - zC)
Ï 3 â
g (zC - zD)
Ï 1 â
g (zA - zB) + Ï
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Ï 1 â
g (zA - zB)
pC = pB + Ï 2 â
g (zB - zC)
pD = pB + pC + Ï 3 â
g (zC - zD)
pB =
2
â
g (zB - zC) + Ï
3
â
g (zC - zD)
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- 15. Hydraulique
Tube en U
Egalité de pression : 1 pB = pA
(on peut passer de A Ă B sans changer de pression)
pA = pATM +
Ï 1â
gâ
pB = pATM +
Ï 2 â
g â
zB
1
Ï 1â
gâ
Ï 1â
zA =
zA =
zA
Ï 2 â
g â
zB
Ï 2 â
zB
Différence de pression entre 2 réservoir
px - p y = ?
1 p 4 = p5
2 p 4 = px +
3 p 5 = py +
1 px +
Ï x â
gâ
Ï y â
gâ
Ï x â
gâ
px - p y = +
pour des gaz,
Lx
Ly +
Lx = p y +
Ï y â
gâ
Ly
Ï
Ï
x
et
Ï â
g â
âh
Ï y â
g â
Ly + Ï â
g â
â h
Ï x â
g â
L + Ï â
g â
âh
x
x
sont petit face Ă
px - p y =
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Ï
mercure
Ï â
g â
âh
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- 16. Hydraulique
Changement de référentielle
- surface de référence : la surface libre du liquide
- pression de référence : pATM = 0
- axe vertical 'h' : positif vers le bas
Relation fondamentale
p + Ï â
g â
z = cste , mais avec z = - h
p - Ï â
g â
h = cste
Entre A et B
pA - Ï â
g â
hA = pB - Ï â
g â
hB
pA - pB = Ï â
g â
(hA â hB)
Entre A et C
pA - Ï â
g â
hA = pC - Ï â
g â
hC
hc = 0
pC = pATM = 0
pA = Ï â
g â
hA
p = Ï â
gâ
h
h=
p
Ï â
g
Force de pression
Poussée sur une surface plane
Paroi plane horizontale
dF = p â
ds = ( Ï â
g â
h) â
ds
â« dF = F
â« ( Ï â
gâ
h) â
ds =
Ï â
g â
h â« ds = Ï â
g â
h â
S
D'oĂč
F=
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Ï â
gâ
h â
S
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- 17. Hydraulique
Paroi plane verticale, de profondeur B = cste
F=
=
â« dF = â« ( Ï â
g â
Ï â
gâ
B
h2
â«
h) â
ds
ds = (B â
dh)
h â
dh
h1
=
=
Ï â
g â
B â
1 h2
2
h2
h1
Ï â
g â
( h1+h2 ) â
B â
(h2 - h1)
2
pression moyenne
surface
F = pmoyenne â
S
Paroi plane inclinée
a) intensité de la force
F=
=
â« dF = â« ( Ï â
g â
h) â
ds =
â« Ï â
g â
L â
sinα â
ds
Ï â
g â
sinα â« L â
ds
définit la position du centre de gravité
=
Ï â
g â
sinα â
LG â
S = Ï â
g â
hG â
S = pG â
S
F = pG â
S
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pression au centre de gravité de la surface S
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- 18. Hydraulique
b) direction de la force
- toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface
- donc elles sont parallĂšles entre elles
- et donc F est perpendiculaire au plan de la surface
c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c"
â« dM
= F â
LC
calcul de
d'oĂč
â« dM
=
â« dF â
L=
=
Donc
LC =
LC =
â« Ï â
gâ
â«dM
F
L2 â
sinα â
ds
Ï â
g â
sinα â
â« L2 â
ds
Ï â
g â
sinα â
â« L2 â
ds
=
Ï â
g â
sinα â« L â
ds
IOO'
IOO'
S â
LG
= inertie de la surface par rapport Ă l'axe OO'
IOO'
=
IGG
+ S â
L2G
LC =
On montre que :
IOO' = IGG + LG
S â
LG S â
LG
LC - L G =
LC = L G +
inertie par rapport Ă un axe passant par G et // Ă OO'
IGG
S â
LG
IGG
S â
LG
LC - L G â„ 0
La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G'
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- 19. Hydraulique
Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B
Ï â
g â
h â
(B â
h)
2
1 Ï â
g â
B â
h2
=
2
Force :
F = pG â
S =
Position :
LC - L G =
IGG
S â
LG
B â
h3
12
=
(B â
h) â
h
2
= h
6
d'oĂč C â A = h - h - h =
2
6
h
3
Vanne circulaire : Rayon R, centre O Ă la hauteur h de la surface, point O = G
Force : F = pG â
S =
Ï â
g â
h â
Ï â
R2
Position : LC - LG = hC - hG =
IGG
S â
LG
=
Ï â
R4 â
1
4
Ï â
R 2 â
hG
=
R
4 â
hG
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2
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- 20. Hydraulique
CrĂšve tonneau de Pascal
Liquide :
10-2 [dm2] â
100 = 1 [dm3] = 1 litre
Augmentation de pression :
Ï â
g â
âh â
104 â
10 = 105 Pa
Augmentation de force
âp â
S = 105 â
1 â
0.1 = 104 N
Charge normale :
Ï â
g â
h â
S = 104 â
0.5 â
0.1 = 250 KN
Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin)
VĂ©rin hydraulique
2 portions dans le mĂȘme plan horizontal
avec la pression p
p=
f = F
s S
d'oĂč : F =
S â
f
s
volume du fluide : s â
l = S â
L
travail Ă gauche :
fâ
l = pâ
sâ
l
conservation du travail
travail Ă droite : F â
L = p â
s â
S â
L = p â
s â
l
s
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- 21. Hydraulique
Poussée sur une surface gauche (non plane)
Les dF ne sont plus // entre elles.
La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique.
On définit une force dans une direction donnée
Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale)
dFX = dF â
cosα =
dF =
dFX
dFZ
Ï â
g â
h â
ds â
cosα
ds projeté sur le plan verticale = dSV
FX =
â«
â« Ï â
g â
h â
dSV
dFX =
FX =
=
Ï â
g â« hGV â
dSV = Ï â
g â
hGV â
SV
Ï â
g â
hGV â
SV = pGV â
SV
hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul
SV : surface projetée sur le plan vertical
FX : passe par le centre de poussée de SV
dFZ =
Ï â
g â
h â
ds â
sinα
ds projeté sur le plan horizontale = dSH
FZ =
â«
dFZ =
â« Ï â
g â
h â
dSH
=
Ï â
g â« h â
dSH = Ï â
g â
V
FZ =
Ï â
g â
V = P
V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle
FX passe par le centre de poussée de SV
Cas particuliers
Si la surface S possĂšde un centre de courbure fixe (cylindre ou sphĂšre), toutes les forces (F)
passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point.
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- 22. Hydraulique
Paroi de Œ de cylindre (profondeur B = 1m.)
2
FX =
Ï â
g â
hGV â
SV = Ï â
g â
R â
(R â
B) = Ï â
g â
R â
B
2
2
FZ =
Ï â
gâ
Ï â
R â
B
F=
2
4
Ï â
g â
R2 â
B â
1 + Ï
tgα =
4
2
16
FZ = Ï
FX
2
Vanne hydraulique, liquide Ă gauche (B =1m.)
FX =
2
Ï â
g â
hGV â
SV = Ï â
g â
R â
B
2
FZ = Ï â
g â
B (R 2â
Ï â
R 2) = Ï â
g â
B â
2 (1 â Ï )
R
4
4
1 â Ï
+ â1 â
F = Ï â
gâ
R â
Bâ
4 â
4
â
2
tgα =
â
â
â
â
2
FZ = 2(1 â Ï )
FX
4
Vanne hydraulique, liquide Ă droite (B = 1m.)
2
FX =
Ï â
g â
hGV â
SV = Ï â
g â
R â
(R â
B) = Ï â
g â
R â
B
2
2
FZ =
Ï â
g â
B (R 2â Ï â
R )
2
4
=
Ï â
g â
B â
R 2 (1 â Ï )
4
La force FZ passe par le centre de poussée de SV
et est dirigée vers le haut.
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- 23. Hydraulique
Force d'ArchimĂšde
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique
On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H
A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1
B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2
Forces agissant sur les volume A et B
1 - F1 - P1 + p1 â
S = 0
2 F2 - P2 - p2 â
S = 0
PAR DEFINITION : on appelle force d'ArchimÚde FA, la différence entre les forces F1 et F2
FA = F1 â F2
Volume de FA = (- P1 + p1 â
S) - (P2 + p2 â
S)
= Sâ
Ï â
g â
H - (P1 + P2)
FA =
Ï â
g â
V
V : volume immergé du solide
Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du
volume de fluide déplacé.
ATTENTION
1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé
2. la force d'ArchimÚde passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut
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- 24. Hydraulique
Application
Masse volumique d'un corps
Un objet pĂšse :
dans l'eau, 540N
dans l'air, 240N
Volume ?
P = FA + T
FA = 540 â 240 = 300N
FA =
Ï â
g â
V
D'oĂč V =
FA =
Ï â
g
300
= 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres
1000 â
9.81
Masse volumique ?
Ïeau â
g
= 1800 kg/m3
Ï = masse = P â
volume g
FA
Un iceberg flottant dans l'océan
Ï glace : 912 kg/m3
Ï eau salĂ©e : 1025 kg/m3
partie visible : 600 m3 : V1
volume total de l'iceberg ?
Condition :
P = FA
poids total
(V1 + V2) â
V2 = V1 â
volume immergé
Ï glace â
g = V2 â
Ï eau salĂ©e â
g
Ï glace
= 4843 m3
Ï eau salĂ©e â
Ï glace
Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3
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- 25. Hydraulique
Equilibre des corps immergés
Equilibre : FA = P
et colinéaire
P : passe par le centre de gravité du solide
FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé
C et G sur une mĂȘme verticale = Ă©quilibre stable
C et G sur une mĂȘme verticale = Ă©quilibre instable
C et G confondu = équilibre indifférent
Equilibre stable
Equilibre des corps flottants
Ex : une balle de ping pong.
La position relative de C et G ne suffit
pas pour déterminer l'équilibre.
C'est le métacentre.
Equilibre stable
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- 26. Hydraulique
Equation de Bernouilli
Rappel des hypothĂšses fondamentales
Fluide compressible :
Ï = cste
âV = 0
ât
Ecoulement permanent :
Force de volume due Ă l'apesanteur
x=0
y=0
z=0
F
hypothÚse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsÚque le long de la ligne de courant
2
Ï â
g â
z + P + Ï â
V = cste
2
Autre forme de l'Ă©quation :
2Ăšme Ă©quation fondamentale de l'hydraulique
Divisant par
2
z + P + V = cste
Ï â
g 2â
g
Ï â
g :
Ă©quation de Bernouilli ou Ă©quation
de conservation d'Ă©nergie (E.E.)
2
2
= z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
2â
g
E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
Ï â
g
charge H2
charge H1
2
Plan de charge : z +
2
P +V
Ï â
g 2â
g
La ligne piézométrique : z +
c'est aussi :
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V1
2â
g
P1
Ï â
g
2
V2
2â
g
P2
Ï â
g
P
Ï â
g
2
H- V
2â
g
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- 27. Hydraulique
Interprétation énergétique
Energie de vitesse
(cinétique)
Résultat d'intégration :
2
Ï â
g â
z + P + Ï â
V = cste
2
Energie potentielle
Energie de pression
(de hauteur)
! ! ! conservation de l'énergie totale ! ! ! par unité de volume
Energie : Le Joule = Newton * mĂštres
Alors que : P= Pa = Newton
MĂštre2
Application de l'Ă©quation de bernouilli
Ecoulement par un orifice
2
2
= z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
2â
g
E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
Ï â
g
pATM
pATM
V1 trĂšs petit
V1/2g = 0
E.E.1-2 : (z1 - z2) 2g = V22
V2 =
âH
2g â
âH
formule de torriceli
DĂ©bit :
Q = V2 â
S2
Equation de continuité (E.C.)
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- 28. Hydraulique
Tube de Pilot (vue en plan)
Ï â
g â
âH
1. rĂ©action hydrostatique : p1 â p2 =
2
2
= z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
2â
g
2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
Ï â
g
âH
z1 = z2 = 0 car mĂȘme altitude
V1 = déviation à 90° = 0
(ATTENTION : uniquement plan horizontal)
E.E.1-2 : P1 - P2 = V 2
Ï â
g
donc :
V2 =
2
d'oĂč : âH = V 2
2â
g
2
2â
g
2 â
g â
âH
Tube de Venturi
1. rĂ©action hydrostatique : p1 â p2 =
2
2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1
Ï â
g
E.E.1-2 : P1 - P2 =
Ï â
g
2â
g
Ï â
g â
âH
= z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
1 ( 2 â 2)
2 â
g V2 V1
ou encore :
(ATTENTION : uniquement plan horizontal)
2 â
g â
âH =V 22 âV 12
3. E.C. : Q = cste = V1 â
S1 = V2 â
S2
Q 2 Q 2
) â( )
S2
S1
Si on cherche le dĂ©bit : 2 â
g â
âH = (
2
2 â
g â
âH = Q ( 1 2 â 1 2 )
S2 S1
2
V1
2â
g
2
âH
V2
2â
g
Q = ...
P1
Ï â
g
P2
Ï â
g
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- 29. Hydraulique
Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique
2
Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + V 1
Ï â
g
2â
g
= z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
=
charge H1
charge H2
Avec machine
âHP
âHT
2
V1
2â
g
pompe : H1
turbine : H1
=
=
H3 - âHP
H2 + âHT
P1
Ï â
g
2
z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ± âHT / P
Ï â
g 2â
g
Ï â
g 2â
g
Puissance d'une turbomachine (pas de démo.)
Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique
Puissance = Energie *
1
Temps
= DĂ©placement * Force *
1
Temps
Déplacement * accélération * masse *
m.
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P=
m/s2
* kg/m3
âH
puissance :
*
*
g
*
Ï
1
Temps
* 1/s * m3
*
Q
Ï â
g â
Q â
â HT / P [watts]
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- 30. Hydraulique
ThéorÚme des quantités de mouvement
Rappel mécanique : ThéorÚme d'Euler = 2Úme loi de Newton
âF
ext
= mâ
a =
â(m â
V)
ât
m â
V : impulsion ou quantité de mouvement
Cas de l'hydraulique
HypothĂšse :
- mouvement permanent
- fluide incompressible
- filet liquide sur la section droite
- pas d'Ă©coulement Ă travers
le "tube" de courant
Ă = cste
V = cste
DĂ©monstration :
Volume initial ABCD ( Ă l'instant t)
Volume devient A'B'C'D' ( Ă l'instant t + ât)
- par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt
- pour Ă©coulement permanent, quantitĂ© de mvt de A'B'CD reste le mĂȘme
- la variation de quantité de mvt sera :
m1 = Q â
ât â
Ï
m2 = Q â
ât â
Ï
â(m â
V) = m2 â
V2 - m1 â
V1
mais :
â(m â
V) = Ï â
Q â
ât â
(V2 - V1)
et comme
âF
ext
= Ï â
Q â
(V2 - V1)
âF
ext
=
â(m â
V)
ât
équation de quantité de mouvement
(théorÚme d'Euler)
forces de pesanteur
F ext =
P
K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R
force de pression
Rem. : c'est une Ă©quation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
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- 31. Hydraulique
Effort exercĂ© par un coude de canalisation (coude horizontal d'oĂč Poids = 0)
k2
Donnée :
- déviation α
- débit Q
- section S1 et S2
k1
α
Projection sur X :
0 + k1 - k2 â
cosα - RX = Ï â
Q(V2 â
cosα- V1)
0 + (p1 â
S1) - (p2 â
S2) â
cosα - RX = Ï â
Q(V2 â
cosα- V1)
Projection sur Y :
0 + 0 - k2 â
sinα + RY = Ï â
Q(V2 â
sinα - 0)
0 + 0 - (p2 â
S2) â
sinα + RY = Ï â
Q(V2 â
sinα )
2 Ă©quations Ă 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY)
E.C. :
Q = V1 â
S1
Q = V2 â
S2
E.E. :
z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2
Ï â
g 2â
g
Ï â
g 2â
g
et
+ 2 Ă©quations
2
+ 1 Ă©quation
5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus.
Force d'un jet sur un aubage mobile
Principe :
- vitesse absolue du jet V
- vitesse absolue périphérique de l'aubage u
- vitesse relative du jet par rapport Ă l'aubage ( V - u )
- débit reçu par l'aubage Q = S ( V - u )
- puissance de la turbine P = RX â
u
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- 32. Hydraulique
Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton
S = 10 cm2
direction = 150 °
u = 20 m/s
V = 45 m/s
vitesse relative : 45 â 20 = 25 m/s
α
25 â
0.0010 = 0.025 m /s
3
débit relatif :
pression = pATM = 0
E.E. : ( V - u ) = cste le long de l'aubage
- RX = Ï â
Q(Vsortie - Ventrée )
E.M. :
(V -
u ) â
cosα
(V -
u)
- RX = Ï â
Q(V - u ) ( cosα - 1)
puissance :
= 1167 KN
P = 1167 â
20 = 23.3 KW
Cas d'embouchement
E.M. :
âF
ext
= Ï â
Q(Vsortie - Ventrée )
Il faut reprendre l'Ă©quation de base avec:
âF
ext
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c'est faux d'utiliser cette Ă©quation
â(m â
V)
= Ï [ â(Q â
Vsortie) -
â(Q â
V
Page 31
entrée
)]
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- 33. Hydraulique
Equation fluide parfait généralisé
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant)
2
2
z1 + P1 + α1 â
U1 = z2 + P2 + α2 â
U2
2â
g
2â
g
Ï â
g
Ï â
g
U = vitesse moyenne = Q/S
α = coefficient de Coriolis
1 < α < 2
Domaine usuel du G.C. :
1.05 < α < 1.10
Equation de quantité de mouvement
âF
ext
= Ï â
Q â
(ÎČ2 â
U2 - ÎČ1 â
U1)
U = vitesse moyenne = Q/S
α = coefficient de Boussinesq
Domaine usuel du G.C. :
1 < ÎČ < 1.35
ÎČ = 1.05
Hydrodynamique des fluides réels
Généralité sur la viscosité
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)
Le cylindre extérieur tourne
Le cylindre intérieur fixe grùce à une force
F : force qui empĂȘche le cylindre intĂ©rieur de tourner
F : proportionnelle Ă la vitesse
F : proportionnelle Ă la surface (2*Ï*R*H)
F : inversement proportionnelle Ă "e"
F : lié à la nature du fluide (K)
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- 34. Hydraulique
F = V â
S â
K
e
mais
avec les dĂ©rivĂ©es : âF = âV â
âS â
K
ây
âF c'est aussi la contrainte tangentielle :
âS
Ï = âV â
K
ây
ou encore
âF = âV â
K
âS ây
K = coefficient de viscosité
dynamique noté aussi ”
Ï = âV â
”
ây
aussi
Ï = grad. V â
”
Viscosité cinématique :
Par dĂ©finition la viscositĂ© cinĂ©matique : Îœ =
”
Ï
Unité de viscosité dans le S.I.:
”=
Dynamique :
Ï
âV
ây
”
Μ=
Ï
Cinématique :
[Pa*sec.]
[m2/sec.]
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens
(répartition de
Ï
fonction de âV )
ây
Ï
-”=0
axe âV = fluide parfait
- ” = cste
droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..)
- ” â cste
courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..)
-”= â
solide Ă©lastique = axe
ây
Ï
âV
ây
Variation de la viscosité
Influence de la pression
Influence de la température
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:
:
trĂšs faible pour les liquides
trĂšs importante
température augmente
viscosité diminue
ex. : l'huile dans une poĂȘle
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- 35. Hydraulique
Equation de Navier-Stokes
Rappel :
fluide parfait :
Ï âV = Ï â
F - grad p
forces de surface
(presion)
ât
forces de volume
(poids)
forces d'inertie
fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle)
Ï âV = Ï â
F - grad p - f
ât
forces de viscosités
âV =F - 1 â
grad p + Îœ â
â2 â
V
Ï
ât
Les différents régimes d'écoulement
Expérience de Reynolds
"débit" faible
"débit" augmente
"débit" encore plus
"débit" encore plus plus
: le filet colorant ne se mélange pas
: le filet oscille en forme de sinusoĂŻde
: la sinusoĂŻde oscille
: le filet explose et se mélange
= Ă©coulement laminaire
= Ă©coulement critique
= Ă©coulement turbulent
Le nombre de Reynolds
Le critĂšre de passage d'Ă©coulement laminaire Ă Ă©coulement turbulent et inversement, c'est le nombre de
Reynolds :
Re =
Zone critique pour
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Vâ
D
Μ
avec D = diamĂštre et Îœ = viscositĂ© cinĂ©matique
2'000 < Re < 5'000
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- 36. Hydraulique
Ecoulement laminaire
Intégration de Navier-Stokes
Ecoulement turbulent
Généralité
La vitesse prÚs de la paroi change de répartition
Equations de Reynolds
On ajoute aux Ă©quations de Navier-Stokes les forces de turbulence
f ':
Ï âV = Ï â
F - grad p - f - f '
ât
Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes.
Hydraulique des conduites (Ă©coulement en charge)
Généralité
Domaine d'Ă©tude : conduite entiĂšrement remplie d'un seul fluide
HypothĂšse
:
fluide incompressible Ï = cste
Ă©coulement permanent
champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g)
Equation de conservation d'Ă©nergie
2
2
z1 + P1 + α1 â
U1 = z2 + P2 + α2 â
U2 ± âHT / P + hR
2â
g
2â
g
Ï â
g
Ï â
g
Perte d'Ă©nergie le long de la conduite
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- 37. Hydraulique
Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)
HypothĂšse :
α
2
V1
2â
g
P1
Ï â
g
2
V2
2â
g
- α et Ξ sont petit d'ou cosα = 1 et cosΞ =1
- sinα = tgα = J
- sinΞ = tgΞ
Ï0
P2
Ï â
g
V12 = z2 + P2 + V22 + h
E.E.1-2 : z1 + P1 +
R
Ï â
g
Ï â
g
2â
g
=0
1)
Ξ
2â
g
=0
hR = (z1 - z2) + P1 - P2
Ï â
g
E.M. projection l'axe du tuyau
périmÚtre du tuyau
(p1 â
S1) - (p2 â
S2) + G â
sinΞ - Ï0 â
P â
âL = 0
avec
âL = z1 - z2
sinΞ
Ï â
g â
âL â
S
en divisant ensuite par
Ï â
g :
2) (z1 - z2) + P1 - P2 =
Ï â
g
d'oĂč :
2
Ï
â
P â
âL = hR
Ï â
g S
0
hR = V â
âL
g â
K RH
Formule de Chézy :
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mais
Ï
J= V â
1
g â
K RH
c=
Page 36
0
2
hR = J
âL
V = c â
J â
RH
2
=V
Ï K
S = rayon hydraulique RH
p
En hydro :
K â
g = coefficient de Chézy
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- 38. Hydraulique
Equation de Darcy-Weissbach (hR)
2
2
hR = λ â
L â
V
D 2â
g
λ
ou
Q
hR = λ â
L â
D 2 â
g â
S2
est sans dimension et fn(Re et rugosité relative)
En Ă©coulement laminaire
λ
Equation de Naver-Stockes :
En Ă©coulement turbulent lisse
=
64
Re
avec Re = V â
D
Μ
K=0
Equation de von Karman:
1 = - 2,0 â
log â 2,51 â
â
â
λ
â Re â
λ â
En Ă©coulement turbulent rugueux K â 0
Equation de Nikuradge :
1 = - 2,0 â
log â K â
â 3,7 â
D â
â
â
λ
RĂ©gime turbulent de transition
â 2,51
Equation de Colebrook et White : 1 = - 2,0 â
log â
+
λ
â Re â
λ
K â
â
3 ,7 â
D â
Diagramme de Moody
Attention, question d'examen final
Voir feuille annexe
harpe de Nikuradge
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- 39. Hydraulique
Formule de Strickler
V = KS â
RH2/3 â
J1/2
pente de la ligne de charge
Rayon hydraulique
hR = J
L
section
périmÚtre mouille
Coefficient de Strickler [m1/3 / s]
30 < KS < 120
Vitesse moyenne de l'Ă©coulement
ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!!
Rayon hydraulique
RH =
section
périmÚtre mouillé
Pour une conduite circulaire :
RH =
Ï â
D2 â
1 = D
4
Ïâ
D 4
On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamĂštre Ă©quivalent = 4*
RH.
Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle.
Perte de charges singuliĂšres
Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singuliÚres) dues :
changement de section brusque
changement de direction brusque ou de pente
vannes, grille, crépine
problĂšme de joints : environ 2 Ă 5% de hR
hS =
2
ζ V
2â
g
ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re
RĂ©f. Bibliographique : MĂ©mento des pertes de charges, Ă©d. Eyrolles
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- 40. Hydraulique
Calcul de réseaux (principe et technique)
Conduite entre 2 réservoirs
E.E.1-2 :
2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
Ï â
g 2â
g
Ï â
g 2â
g
=0
=0
=0
=0
hR = z1 - z2 = âH
D-W :
2
hR = λ â
L â
V
D 2â
g
ATTENTION : la ligne de charge est indépendante de la pente du tuyau !!!
Conduite crachant " à gueule bée "
E.E.1-2 :
2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
Ï â
g 2â
g
Ï â
g 2â
g
=0
=0
=0
2
hR = V2 + âH
2â
g
2
D-W :
V2
2â
g
2
hR = λ â
L â
V
D 2â
g
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- 41. Hydraulique
Conduite en série
E.C.
: Qi = cste
E.E.1-2 : z1 - z2 = âH = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2
âH = â hRi + â hSi
i
hS = ζ â
i
2
V
2â
g
Technique de résolution par réitération
Recherche de hR
Q, L, D, K et Μ connus
Rugosité rel. =
K
D
Re =
Vâ
D
Μ
diagramme Moody :
λ
D â W : hR
Recherche de Q
hR, L, D, K et Μ connus
calcul de la rugosité rel. =
Choix de λ
Re =
Vitesse V
Vâ
D
Μ
K
D
diagramme Moody :
avec λ '
λ'
λ'
=
λ
?
si oui : stop
si non
2
calcul de Q avec D â W :
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Q
hR = λ â
L â
D 2 â
g â
S2
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- 42. Hydraulique
Recherche de D
K = ? et Re = V â
D = ?
D
Μ
hR, L, K et Μ connus
1
D â W + E.C. = D 5
2
Technique :
Re + E.C
= Re et K'
D
2
1
Q
hR = λ â
L â
D 2 â
g â
S2
2
Re =
Choix de λ
5
D =λâ
8 â
L â
Q2
g â
Ï 2â
hR
Vâ
D = 4â
Q â
1
Μ
Ï â
Μ D
2 calcul Re et K'
D
1 calcul D
Moody :
λ'
λ'
avec λ '
=
λ
?
si oui : stop
si non
Calcul de réseaux maillé
Conduite en parallĂšle
Q = Q1 + Q2
A et B = noeuds
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff
1. pour un nĆud :
âQ
entrant
=
âQ
sortant
convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire.
d'oĂč :
2. pour une maille :
âQ=0
la perte de charge est la mĂȘme quel que soit l'itinĂ©raire : hR (A-B)
convention de signe pour un itinéraire complet (A
a)
= hR (A-B)
b)
A) :
Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q
d'oĂč :
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âQ=0
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- 43. Hydraulique
Calcul d'une maille
But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires
2
Q
2
hR = λ â
L â
= mâ
Q
D 2 â
g â
S2
(1)
(2)
hR = m â
Q
Q
Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb
RĂ©partition exacte :
Qa' = Qa + âq
Avec cette répartion :
Qb' = Qb - âq
â h '=0
R
ma (Qa + âq) - mb (Qb - âq) = 0
2
Alors :
2
2 â
âq (ma â
Qa + mb â
Qb) + âq 2 ( . . . ) = - ma â
Qa + mb â
Qb
2
2
2
= 0 car au carré devient trÚs petit
2
Avec (1) :
La formule
2
ma â
Qa - mb â
Qb 1
âq = â
ma â
Qa + mb â
Qb 2
âq = -
:
Avec (2) :
âq = - hRa - hRb â
1
hRa + hRb 2
Qa Qb
âh
2â
â h
Q
Ri
Ri
i
Exemple :
Q = 200 l/s
K = 0.1 mm
L1 = 500 m
D = 30 cm
Μ = 1.3*10-6 m3/s
L2 = 600 m
D = 20 cm
Tronçon
AB
BA
Q choisis [l/s]
+ 140
- 60
hR [m]
+ 5.54
- 10.17
- 4.63
hR/Q
0.0396
0.1695
0.2091
âq [l/s]
+ 11.1
+ 11.1
Q corrigé [l/s]
+ 151.1
- 48.9
200.0
AB
BA
+ 151.1
- 48.9
+ 6.37
- 6.82
- 0.45
0.0421
0.1395
0.1816
+ 1.2
+ 1.2
+ 152.3
- 47.7
200.0
ContrÎle : on calcule avec les nouveaux débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique.
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- 44. Hydraulique
Cas de plusieurs mailles
Pour la maille 1 : terme correcteur de âq1
Pour la maille 2 : terme correcteur de âq2
ATTENTION tronçon commun AB
affecte la maille 1 de - âq2
affecte la maille 2 de - âq1
Voir exemple sur feuille annexe
Hydraulique des canaux (Ă©c. En nappe libre)
Généralité
DĂ©finitions
Il y a une surface de liquide avec un gaz (lâair Ă la pATM)
But de lâĂ©tude
-
relation entre forme des frontiĂšres, dĂ©bit, ligne dâeau
transformation dâĂ©nergie potentiel / cinĂ©tique
particularitĂ©s dâĂ©coulement dues Ă des obstacles
Classification des fluides
Ecoulement permanent :
- Ă©coulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne dâeau) = cste
- écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous
- ec. brusquement varié : ressaut hydraulique
Ecoulement non permanent :
- onde de transition
- houle
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- 45. Hydraulique
Equations fondamentales (tjs les mĂȘmes, mais adaptĂ©es)
Equation de continuité
Q = Vâ
S
oĂč S nâest plus donnĂ© par le profil entier mais par la section dâeau
Equation de conservation dâĂ©nergie
Particule Ă la surface :
2
(z+t)
hauteur
+
0
V
2â
g
+
pression
+
cinétique
hR
= cste
perte de charge
Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1)
Particule dans le liquide :
( z + tâ )
+
2
P
Ï â
g
V +
+
2â
g
= tââ (idem, si R est trĂšs grand)
hR
= cste
or tâ + tââ = t
2
(z+t)
+
V
2â
g
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+
hR
= cste = H
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oĂč H est la charge hydraulique
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- 46. Hydraulique
Equation de quantité de mouvement (tjs valable)
âF
ext
= Ï â
Q â
(V2 - V1)
équation de quantité de mouvement
(théorÚme d'Euler)
P (poids)
force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R
force de pesanteur
F ext =
Rem. : c'est une Ă©quation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
Ec. en charge
Ec. en nappe libre
Ï â
g â
H
p = cste
p=
Force de pression = p â
S
Force de pression = pG â
S
Nombre de Froude :
FR
V2 1
Force d' inertie
masse â
accél. vitesse 2 1
â
=
â
=
=
=
L g
Force de gravité
masse â
g
longĂȘur g
Q2 1
Q 2 â
L' 1
Q 2 â
L' 1
â
= 2
â
â
=
S2 â
L g
S3
g
S â
L â
L' g
FR =
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Q2 â
B 1
â
S3
g
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- 47. Hydraulique
Ecoulement uniforme
Dans un lit prismatique (profil en travers constant)
V = cste dâune section Ă lâautre
E.C.
S = cste
t = cste
âH
=0
âx
E.E. : charge H = cste
2
H= z + t +
V + h
R
2â
g
V2
â(
)
âH
âz
ât
âhR
2â
g
=
+
+
+
= 0
âx
âx
âx âx
âx
J = pente de la ligne de charge
-Jo = pente du lit du canal
= -Jo + 0 + 0 + J = 0
DâoĂč
Jo = J
Conclusion :
les 3 lignes
lit du canal
ligne dâeau
ligne de charge
sont parallĂšles.
Lois des pertes de charges :
1. Formule de Chézy :
V = c â
J â
RH
RH =
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c = coefficient de Chézy [m1/2/s]
V = vitesse moyenne de lâĂ©coulement
RH = rayon hydraulique
J = pente de la ligne de charge
13 (rugueux) < c < 120 (lisse)
Surface
périmÚtre mouillé
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- 48. Hydraulique
2. Formule de Bazin
Formule de Chezy + explication de « c »
87
c=
1+
Îł
oĂč Îł dĂ©pend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) Ă 1.75 (rugeux))
RH
3. Formule de Strickler
RH : rayon hydraulique
J : pente de la ligne de charge
V = KS â
RH2/3 â
J1/2
Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s]
Q = KS â
S â
RH 2/3 â
J1/2
riviĂšre :
béton :
23
75
<
<
Ks
Ks
<
<
50
85
Profondeur normale
Profondeur en Ă©coulement uniforme : t0
Loi de Strickler : Q = KS â
S â
RH
2/3
â
J1/2
en Ă©c. uniforme J = J0 = cste
S â
RH2/3 en fonction de la profondeur
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- 49. Hydraulique
Cas particulier :
a) canal rectangulaire, infiniment large
RH =
Q = KS â
S â
RH 2/3 â
J1/2
Bâ
t
=t
B+ 2â
t
oĂč
2 â
t est négligé
Q = KS â
(B â
t) â
t 2/3 â
J1/2
â
â
Q
t =â
â KS â
(B â
t) â
1/2 â
â
J â
â
3/5
b) canaux circulaire ou ovoĂŻde (Ă©gouts)
Q max
= 1.6 * Q plein
Différents problÚmes rencontrés
- rugosité non uniforme
âĄ
âą P
Formule dâEinstein : K pondĂ©rĂ© = âą
Pi
âą â 3/2
⣠Ki
â€
â„
â„
â„
âŠ
- lit mineur / majeur
Q =
â
Q partiels
- lit avec méandres
mais
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J0 Majeur â J0 Mineur
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- 50. Hydraulique
Ecoulement graduellement varié
DĂ©finition
- graduellement
ât
est petit, donc perte de charge faible
âL
- brusquement
ât
est grand, donc perte de charge importante
âL
Charge spécifique Hs
2
2
V = t + Q
Hs = t +
2â
g
2 â
g â
S2
Courbe dâĂ©gal dĂ©bit « Ă©tude de la fonction Hs »
En fonction de t (Q = cste)
ED(f) : [ 0 , â ]
0
alors
Hs
â
t
Minimum lorsque
t
â
alors
Hs
â
âHs
=0
ât
1+
2
Q â
B
=0
1g â
S3
B : largeur libre du canal
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2
Q â 2 â âs
â
ââ ââ
= 0
2 â
g â S3 â ât
Page 49
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- 51. Hydraulique
2
Q â
B
= nobre de Froude FR
g â
S3
1 - FR = 0
FR = 1
Donc un minimum pour :
La valeur de « t » qui correspond Ă FR = 1 sâappelle : la profondeur critique « tCR »
Asymptote :
Hs
t
1
pour t
â
dâoĂč asymptote de pente 1
Si « t » est petit ( < tCR )
FR > 1
: Ă©c. torrentielle
Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité
FR =
Finertie > Fgravité
FR < 1
: Ă©c. fluvial
Force d' inertie
Force de gravité
Remarque :
« tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks »
Valeur de tCR en canal rectiligne
FR = 1
2
2
Q â
B
=1
g â
t 3 â
B3
CR
t3 =
CR
Q
g â
B2
2
t CR =
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3
Q
g â
B2
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- 52. Hydraulique
Courbes de remous
Ăquations fondamentales
2
2
â 2 â
â
âL + t + V = t + ât + V + ââ V â + J â
âL
â 2â
g â
2â
g
2â
g
â
â
2
2
â V â
â
V â
(Jo - J) â
âL = ât + ââ
â 2 â
g â = ââ t + 2 â
g â = âE
â
â
â
â
â
â
â
E.E1-2 = Jo
Ă©nergie
α
Ξ
âE
= (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés
âL
Equations différentielles dans un canal prismatique
Hyp. :
-
canal long (lâĂ©coulement graduellement variĂ©s peut sâĂ©tablir)
lâĂ©coulement est sensiblement rectiligne et //
les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne
les pente J et J0 sont faible
sinα = tgα = J ,
cosα = 1
sinΞ = tgΞ = J0 ,
cosΞ = 1
(Jo - J) =
âE
âL
J âJ
ât
= 0
âL
1 â FR
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(Jo - J) =
âE ât
â
ât âL
J
J0
ât
= J0 â
1 â FR
âL
1â
ou
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- 53. Hydraulique
Etude qualitative et classification des lignes dâeau
a) rappel :
Si FR > 1
Si FR < 1
t < tCR
t > tCR
b)
Si t > t0
Si t < t0
J < J0
J > J0
t0 > tCR
t0 < tCR
c) définitions :
Ă©c. torrentielle
Ă©c. fluvial
le canal est une riviĂšre
le canal est un torrent
d) convention de signe
J0 > 0 (positif)
pour un canal descendant
e) conditions aux limites
t
t0 , J
t
tCR , FR
t
â , FR
t = tCR
J0
1
0, J
alors :
ât
âL
ât
alors :
âL
ât
alors :
âL
alors :
0
0
profondeur normal est 1 asymptote
â
tangente verticale pour la profondeur critique
J0
ât
= J0
âL
Illustrations en riviĂšre
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- 55. to <=> tcr
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0
â
contre pente
(to < 0)
t0
+
t0 < tCR
t0 > tCR
t0 = tCR
t0 < tCR
torrent
+
condition
descendant
+
t0 > tCR
riviĂšre
Signe de Jo
t <=> tCR
t < tCR
t > tCR
t < tCR
t > tCR
t < tCR
+
+
-
t < t0
t < t0
t > t0
t > t0
t < t0
t < t0
t > tCR
t > tCR
+
t > t0
t > t0
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t > tCR
t < tCR
+
t < tCR
-
t < t0
-
t > tCR
-
t < t0
t < t0
t < tCR
+
t < tCR
+
t > t0
t > t0
t > tCR
Signe du
num.
t <=> t0
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
Signe du
dénomina.
+
-
+
-
+
+
+
-
-
+
+
-
-
+
Signe de
dt / dL
Exhaussement
Abaissement
Exhaussement
Abaissement
Exhaussement
Exhaussement
Exhaussement
Abaissement
Exhaussement
Exhaussement
Abaissement
Exhaussement
Type de remous
A-3
A-2
H-3
H-2
C-3
C-1
T-3
Impossible
T-2
T-1
F-3
F-2
Impossible
F-1
Appel
abrégé
Schéma
Hydraulique
WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004