Artículo que recorre las propiedades de los conjuntos cerrados de la recta real.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Conjuntos cerrados de n´ meros reales
u
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Conjuntos cerrados de n´meros reales by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed under a
u ıa
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Antes de iniciar nuestro recorrido por la noci´n de conjunto cerrado
o
resulta pertinente dar una definici´n.
o
Definici´n: Un n´mero real x se dice un punto de clausura de un
o u
conjunto E si:
∀δ > 0, ∃ y ∈ E : |x − y| < δ.
En otras palabras,
Un n´mero real x se dice un punto de clausura de un conjunto E si todo
u
intervalo conteniendo a x tambi´n contiene un punto de E.
e
Observaci´n: Cada punto de E es un punto de clausura de E.
o
¯
Notaci´n: Mediante E denotaremos al conjunto de puntos de clausura
o
de E.
¯
Observaci´n: Siempre E ⊂ E.
o
¯ ¯ ¯ ¯
Proposici´n 1 Si A ⊂ B entonces A ⊂ B. Adem´s, A ∪ B = A ∪ B.
o a
La demostraci´n se deja como ejercicio al lector.
o
¯
Definici´n: Un conjunto F se dice cerrado si F = F .
o
¯
Observaci´n: Puesto que siempre vale F ⊂ F , un conjunto F es cerrado
o
¯ ⊂ F , esto es, si F contiene todos sus puntos de clausura.
si F
Ejemplo 1 El conjunto vac´ y el conjunto de los n´meros reales son ce-
ıo u
rrados. ♦

2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Ejemplo 2 Los intervalos cerrados [a, b] y [a, ∞) son cerrados. ♦
Las siguientes Proposiciones se dejan como ejercicio:
¯
Proposici´n 2 Para cualquier conjunto E, el conjunto E es cerrado; esto
o
¯ = E.
es, E ¯
Proposici´n 3 La uni´n F1 ∪ F2 de dos conjuntos cerrados F1 y F2 es un
o o
conjunto cerrado.
Proposici´n 4 La intersecci´n de una colecci´n C de conjuntos cerrados es
o o o
un conjunto cerrado.
Proposici´n 5 El complemento de un conjunto abierto es cerrado, y el
o
complemento de un conjunto cerrado es abierto.
Definici´n: Una colecci´n C de conjuntos cubre un conjunto F si
o o
F ⊂ ∪{O : O ∈ C}.
En este caso se dice que la colecci´n C es un cubrimiento de F . Si cada
o
O ∈ C es abierto, C se dice un cubrimiento abierto de F . Si C contiene
s´lo un n´mero finito de conjuntos, C es un cubrimiento finito.
o u
Proposici´n 6 (HEINE-BOREL) Sea F un conjunto cerrado y acotado de
o
n´meros reales. Entonces cada cubrimiento abierto de F tiene un subcubri-
u
miento finito. Esto es, si C es una colecci´n de conjuntos abiertos tal que
o
F ⊂ ∪{O : O ∈ C}, entonces existe una colecci´n finita {O1 , . . . , On } de
o
conjuntos de C tal que
n
F ⊂ Oi .
i=1
Dem:
i. Sea F = [a, b], con −∞ < a < b < ∞.
Sea C un cubrimiento abierto de F ; esto es,
F ⊂ O. (1)
O∈C

3. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
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Sea
E = {x ≤ b : [a, x] puede ser cubierto con un n´mero
u
finito de abiertos de C}.
Si pudieramos probar que b ∈ E, la propiedad quedar´ ıa
demostrada. Como E est´ formado por los x ≤ b, podr´
a ıamos
ver si E posee supremo.
Como a ∈ E, E = ∅, y adem´s est´ acotado superiormente
a a
por b, entonces posee supremo (por Axioma de Completi-
tud), digamos c. Luego
c = sup E → c ≤ b
→ c ∈ [a, b]
→ c∈ O∈C O (de (1))
→ c ∈ O, para alg´n O ∈ C.
u
O es abierto, entonces
∃ > 0 : (c − , c + ) ⊂ O.
Luego
c = sup E → c − no es cota superior de E
→ ∃ x∈E :c− <x
→ (x, c + ) ⊂ (c − , c + )
→ (x, c + ) ⊂ O.
Como x ∈ E, [a, x] puede ser cubierto por un n´mero finito
u
de abiertos de C, digamos
n
[a, x] ⊂ Oi .
i=1
n
As´ [a, c + ) ⊂
ı, Oi ∪ O (uni´n de abiertos de C).
o
i=1
Luego, la unica condici´n que falta para decir que los puntos
´ o
de [c, c + ) est´n en E es que sean menores o iguales que b.
a
Como c = sup E, entonces los puntos de (c, c + ) no est´n a
en E, y como c ≤ b resulta que c ∈ E y c = b. Entonces
b ∈ E.
As´ [a, b] puede ser cubierto por un n´mero finito de abier-
ı, u
tos de C. Por tanto, queda probada la proposici´n para
o
F = [a, b].

4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
ii. Sean F cerrado y acotado, y C un cubrimiento abierto de
F . As´
ı,
F ⊂ O.
O∈C
F es cerrado entonces Fces abierto.
F es acotado entonces existen a, b ∈ R tales que F ⊂ [a, b].
Sea C ∗ = C ∪{F c }. Entonces C ∗ es una colecci´n de abiertos.
o
Afirmamos que C ∗ es un cubrimiento abierto de [a, b].
[a, b] ⊂ R = F ∪ F c ⊂ O ∪ Fc = O.
O∈C O∈C ∗
Luego, por ( i ), [a, b] puede ser cubierto por una colecci´n
o
finita de abiertos de C ∗ , digamos
n
[a, b] ⊂ {Ok : Ok ∈ C ∗ }.
k=1
Como F ⊂ [a, b], ´ste es tambi´n un cubrimiento de F .
e e
Si F c no pertenece a esta subcolecci´n de C ∗ , es un sub-
o
cubrimiento de C y la proposici´n queda demostrada.
o
Si F c pertenece a esta subcolecci´n de C ∗ , tenemos
o
n−1
F ⊂ {Ok : Ok ∈ C ∗ } ∪ {F c }.
k=1
Como F ∩ Fc = ∅, resulta
n−1
F ⊂ {Ok : Ok ∈ C}
k=1
y este es un subcubrimiento de C. ♦
Bibliograf´
ıa:
Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
Lucca, A. M. T. (2009) Conjuntos abiertos de n´meros reales. Univer-
u
sidad Nacional de la Patagonia. Disponible en l´
ınea en
http://matematics.wordpress.com/2009/09/09/conjuntos-abiertos-de-
numeros-reales/