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Variable Aleatoría y Modelos
probabilísticos
Estadística
Modelos probabilísticos:
Binomial e Hipergeometrica
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Algunos modelos de v.a.
Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las diferentes
disciplinas.
Experimentos dicotómicos.
Bernoulli
Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:
Binomial
Hipergeometrica
Poisson (sucesos raros)
Y en otras muchas ocasiones…
Uniforme
Exponencial, Gamma
Distribución normal (gaussiana, campana,…)
El resto del tema está dedicado a estudiar estas
distribuciones especiales.

2. 2
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Distribución de Bernoulli
Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar
un experimentos sólo son posibles dos resultados:
X=1 (éxito, con probabilidad p)
X=0 (fracaso, con probabilidad q=1-p)
Lanzar una moneda y que salga cara.
p=1/2
Elegir una persona de la población y que esté enfermo.
p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad
Aplicar un tratamiento a un enfermo y que éste se cure.
p=95%, probabilidad de que el individuo se cure
Como se aprecia, en experimentos donde el resultado
es dicotómico, la variable queda perfectamente
determinada conociendo el parámetro p.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de distribución de Bernoulli.
Se ha observado estudiando 2000 accidentes de
tráfico con impacto frontal y cuyos conductores no
tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos
quedaron con secuelas. Describa el experimento
usando conceptos de v.a.
Solución.
La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la
probabilidad de tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15%
X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de
Bernoulli
X=1 tiene probabilidad p 0,15
X=0 tiene probabilidad q 0,85

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Distribución de Bernoulli.
Esperanza de X.
Varianza de X.
=+=µ
=+=
=−=−=−= µσ
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Distribución Binomial
Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de
Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una
distribución binomial de parámetros (n,p).
Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.
Bin(n=10,p=1/2)
Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.
Bin(n=100,p=1/2)
Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más
adecuado.
El número de defectuosos de un lote de 500.000 unidades, Si
el fabricante afirma que hay un defectuoso cada 2000
unidades.
Bin(n=500.000, p=1/2000)
Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson
será más adecuado.

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Distribución binomial
Función de probabilidad
Media: =n p
Varianza: 2 = n p q
≤≤== −
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Suponga que el 4% de todos los chips producidos por una
empresa de hardware están defectuosos. Si compramos 30
de estos chips, calcule la probabilidad de encontrar:
a. Menos de dos chips defectuosos.
Sea X una variable aleatoria discreta, donde X es él número
de chips defectuosos encontrados en una muestra de 30
chips. Entonces, los posibles valores que puede tomar X
son: 0, 1, 2,........., 30.
Ahora tenemos, P(Éxito) = P = 0.04, P(Fracaso) = Q = 0.96,
Donde n = 30.
La función de probabilidad Binomial es de la forma:
−
==

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
a. Menos de dos chips defectuosos.
< = = + =
< == + =
==== −
==== −
R/ La posibilidad de encontrar menos de dos defectuosos en un lote de
30 chips es del 66,11%.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
b. Al menos un chip defectuoso. .
==−==−=≥
R/ La posibilidad de encontrar al menos un defectuoso en un lote de 30
chips es del 70,61%.
R/ La posibilidad de encontrar más de dos pero menos de cinco
defectuosos en un lote de 30 chips es del 11,05%.
c. Más de dos pero menos de cinco chips defectuosos.
=+==<<
==+=<<

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
d. Si al menos un chip está defectuoso, cual es la probabilidad de
encontrar menos de cuatro chips defectuosos?.
≥
<≤
=≥<
=−
=+=+=
=≥<
=
−
++
=≥<
==≥<
R/ Si se encuentra al menos un chip defectuoso en un lote de 30 chips, la
posibilidad de encontrar menos de cuatro defectuosos es del 95,66%.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Variable Aleatoria Hipergeométrica
Al poco tiempo de ser puesto en servicio, algunos autobuses
fabricados por cierta compañía presentan grietas en la parte inferior
del bastidor principal; suponga que una ciudad tiene 20 de estos buses
y que a 8 le han aparecido grietas. Si se escoge al azar una muestra
de 5 autobuses.
Sea X la variable aleatoria el número de buses con grietas en la
muestra.
−
−
= =
X es una variable hipergeométrica con N=20, M=8 y n=3, tiene
la siguiente función de masa

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Variable Aleatoria Hipergeométrica
Un recipiente contiene N artículos, de los cuales M son defectuosos y
los otros N-M están en buenas condiciones . Se va a tomar una
muestra aleatoria (al azar) sin reemplazo de tamaño n.
Si X denota el número de artículos defectuosos en la muestra,
entonces X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros
N (tamaño población), M (Numero de éxitos en la población) y n
(tamaño de muestra) y función de masa:
−
−
==
Si i = 0,1,2,..min(M,n)
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Variable Aleatoria Hipergeométrica
Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, M y n
entonces:
=µ
−
−−
=σ

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo: V.A.Hipergeométrica
Una compañía tiene 5 aspirantes para dos puestos: dos mujeres y tres
hombres. Suponga que los aspirantes tienen la misma
capacitación, y que para escoger no hay preferencia de género.
Sea X la variable aleatoria número de mujeres elegidas para
ocupar las dos posiciones:
a. Encuentre la función de masa para X.
b. ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos una mujer en los dos
puestos?
c. ¿Cual es la Media y la varianza de la distribución?
d. Construya gráficos para la función de masa y de distribución.
e. Identifique la moda y la Mediana de X.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo: V.A.Hipergeométrica
Una compañía tiene 5 aspirantes para dos puestos: dos mujeres y tres
hombres. Suponga que los aspirantes tienen la misma
capacitación, y que para escoger no hay preferencia de género.
Sea X la variable aleatoria número de mujeres elegidas para
ocupar las dos posiciones:
a. Encuentre la función de masa para X.
X es una V.A hipergeométrica con parámetros N=5, M=2 y n=2, por lo
tanto la función de masa esta dada por:
−
−
== Si i=0,1,2

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo: V.A.Hipergeométrica
Una compañía tiene 5 aspirantes para dos puestos: dos mujeres y tres
hombres. Suponga que los aspirantes tienen la misma
capacitación, y que para escoger no hay preferencia de género.
Sea X la variable aleatoria número de mujeres elegidas para
ocupar las dos posiciones:
b. ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos una mujer en los dos
puestos?
=−=<−=≥
−
≥ = −
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo: V.A.Hipergeométrica
c. ¿Cual es la Media y la varianza de la distribución?
Como X es V.A. hipergeometrica con N=5, M=2 y n=2
===µ
==
−
−−
=σ

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo: V.A.Hipergeométrica
Una compañía tiene 5 aspirantes para dos puestos: dos mujeres y tres
hombres. Suponga que los aspirantes tienen la misma
capacitación, y que para escoger no hay preferencia de género.
Sea X la variable aleatoria número de mujeres elegidas para
ocupar las dos posiciones:
a. Construya gráficos para la función de masa y de distribución.
b. Identifique la moda y la Mediana de X.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
V.A.Hipergeométrica: aproximación
Si N y M son valores muy grandes. La Variable aleatoria
Hipergeometrica con parámetros N, M y n se puede
aproximar como una Variable Aleatoria Binomial con
parámetros n y p= M/N
==µ
=
−
−−
=
σ
σ

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Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
V.A.Hipergeométrica: aproximación
En una bodega hay 5,000 botellas de vino, de las cuales hay 1,000 con vino
descompuesto, Si se toma una muestra al azar de 30 botellas:
¿Cual es la probabilidad de hallar máximo 2 botellas descompuestas?
¿Cuál es el numero promedio de botellas descompuestas que se
encuentran en la muestra?
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Tarea
Aprender a Manejar las tablas de
la Función de Distribución
(Acumulada) para la Binomial