El documento describe seis modelos epidemiológicos (SIQS y SIQR) con tres formas de incidencia de enfermedades infecciosas (simple de acción de masas, estándar y ajustada a cuarentena). Analiza los umbrales, equilibrios y estabilidad de los modelos, encontrando que la mayoría tienen equilibrio asintóticamente estable excepto el SIQR con incidencia ajustada a cuarentena, el cual puede tener bifurcación de Hopf e inestabilidad.

1. EFECTOS CUARENTENA EN SEIS MODELOS
ENDEMICOS POR ENFERMEDADES
INFECCIOSAS.
EL MODELO SIQS CON LA INCIDENCIA SIMPLE DE ACCIÓN
DE MASAS.
ANDREY MAURICIO MONTOYA JURADO
ABRIL 2 DEL 2012
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2. RESUMEN
Umbrales, equilibrio y estabilidad se encuentran en los modelos
epidemiológicos SIQS y SIQR con tres formas de incidencia (Simple de
acción de masas, estandar, cuarentena ajustada). Para la mayoría de estos
modelos el equilibrio es asintoticamente estable, pero para el modelo
SIQR con la incidencia ajustada a la cuarentena, el equilibrio endémico es
ajustado a una espiral inestable para algunos valores de los parámetros
donde sus soluciones surgen por la bifurcación de Hopf.
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3. INTRODUCCIÓN
Uno de los procedimientos de intervención para controlar la propagación
de enfermedades infecciosas es aislar algunos infecciosos, con el …n de
reducir las transmisiones de la infección a personas susceptibles.
Durante siglos la cuarentena se ha utilizado para reducir la transmisión de
enfermedades en humanos como la lepra, la peste, el cólera, el tifus, la
…ebre amarilla, la viruela, la difteria, la tuberculosis, el sarampión, las
paperas, el virus de Ébola y la …ebre de Lassa. También se ha utilizado en
animales como la peste bobina, , la …ebre aftosa, psitacosis, enfermedad
de Newcastle y la rabia.
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4. ¿QUE ES UNA EPIDEMIA?
Una epidemia es un brote de una enfermedad durante un corto período de
tiempo, se dice que es endémica si persiste en una población durante un
largo período de tiempo.
Para algunas enfermedades más leves, las personas en cuarentena podrían
ser las personas que deciden quedarse en casa de la escuela o al trabajo
debido a que están enfermos.
Para otras enfermedades más graves, las personas en cuarentena podrían
ser aquellos que se ven obligados a aislamiento.
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5. SUPUESTOS
1 S(t) es el número de personas susceptibles en el tiempo t.
2 I (t) es el número de infecciosos en el tiempo t.
3 Q(t) es el número de personas en cuarentena en el tiempo t.
4 N(t) es el tamaño de la población total en el tiempo t.
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6. EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA SIMPLE DE
ACCION DE MASAS.
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7. Las ecuaciones diferenciales para este modelo son:
S´(t) = A dS bSI + gI + #Q
I´(t) = [bS (d + a + d + g)] I
Q´(t)=dI (# + d + a)Q
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8. ¿QUE NOS INDICAN LAS CONSTANTES?
1 Los parametros A, d, b son constantes positivas, g, d, # y a son
constantes no negativas.
2 la constante A es la tasa de reclutamiento de personas susceptibles
que corresponde al nacimiento y la inmigración.
3 d es la tasa percapita natural de mortalidad.
4 d es la tasa constante de velocidad en la que los individuos pasan de I
a Q.
5 a es la enfermedad relacionada a la tasa de muerte constante en los
compartimientos I y Q.
6 g y # son las tasas con las que los individuos retornan a el
compartimiento S de los compartimientos I y Q.
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9. POBLACIÓN Y REGIÓN DE SOLUCIÓN
El tamaño total de la población N(t) es variable con
N´(t) = A dN a(I + Q). En ausencia de la enfermedad, el tamaño de
la población N se aproxima a la capacidad de carga A/d. La ecuación
diferencial de N implica que las soluciones del sistema comienzan en el
octante positivo de R3 y deben permanecer en el subconjunto de R3
de…nido por:
D = f(S, I ,Q) /S 0, I 0, Q 0, S + I + Q A/dg
como las soluciones permanecen en la region D el intervalo maximal esta
entre [0,¥) . Así, el problema de valor inicial está bien planteado en
términos matemáticos y epidemiológicos.
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10. SOLUCIONES ESTACIONARIAS
Cuando
dS
dt
= 0,
dI
dt
= 0,
dQ
dt
= 0
tenemos que;
I = 0, S =
g + d + d + a
b
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11. SISTEMA LIBRE DE ENFERMEDAD
El sistema siempre tiene un equilibrio libre de enfermedad
P0 = (A/d, 0, 0). De…nimos el numero de reproducción de la cuarentena
Rq =
b (A/d)
g + d + d + a
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12. SISTEMA CON ENFERMEDAD
Evaluando para;
S =
g + d + d + a
b
de donde
Rq =
b (A/d)
g + d + d + a
Así Rq es el número promedio de infecciones secundarias en una población
totalmente susceptible.
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13. RELACIÓN CON EL MODELO SIS Y PUNTO DE
EQUILIBRIO CON INFECCIÓN
El número basico de reproducción seria R0 = b(A/d )
g+d+a para el modelo SIS
fuera de cuarentena (d = 0). Si Rq 1, Entonces D contiene un único
equilibrio endemico positivo P = (S, I ,Q), donde
S =
A/d
Rq
, I =
A (1 1/Rq )
(d + a) [1 + d/(# + d + a)]
, Q =
dI
# + d + a
note que
N = S + I + Q =
A
d
Aa (1 1/Rq )
d(d + a)
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14. Así cuando la enfermedad esta relacionada con la tasa de mortalidad la
constante a es positiva, entonces el total de la población N en el
equilibrio endémico P es menor que la enfermedad libre de capacidad de
carga A/d.
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15. EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA ESTANDAR
S´(t) = A
bSI
S + I + Q dS + gI + #Q
I´(t) =
bS
S + I + Q (g + d + d + a)
I
Q´(t) = dI (# + d + a)Q
El modelo tiene el mismo diagrama que la …gura 1, ecepto que la incidencia
simple de acción de masas bSI es reemplazada por la incidencia estandar
bSI
S + I + Q
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16. EL MODELO SIQS CON INCIDENCIA DE
CUARENTENA AJUSTADA
S´(t) = A
bSI
S + I dS + gI + #Q
I´(t) =
bS
S + I (g + d + d + a)
I
Q´(t) = dI (# + d + a)Q
El modelo tiene el mismo diagrama que la …gura 1, ecepto que la
incidencia simple de acción de masas bSI es reemplazada por:
bSI
S + I
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17. EL MODELO SIQR CON INCIDENCIA SIMPLE DE
ACCIÓN DE MASAS
S´(t) = A bSI dS
I´(t) = [bS (g + d + d + a1)] I
Q´(t) = dI (# + d + a2)Q
R´(t) = gI + #Q dR
R(t) es el número de individuos permanentemente inmunes.
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18. EL MODELO SIQR CON EL ESTANDAR DE
INCIDENCIA
S´(t) = A
bSI
N dS
I´(t) =
bS
N (g + d + d + a1)
I
Q´(t) = dI (# + d + a2)Q
R´(t) = gI + #Q dR
El diagrama es similar al de la …gura 2, ecepto que la incidencia simple de
acción de masas bSI es reemplazado por la incidencia estandar
bSI
N
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19. EL MODELO SIQR CON INCIDENCIA DE
CUARENTENA AJUSTADA
S´(t) = A
bSI
S + I + R dS
I´(t) =
bS
S + I + R (g + d + d + a1)
I
Q´(t) = dI (# + d + a2)Q
R´(t) = gI + #Q dR
La incidencia simple de acción de masas bSI es reemplazado por la
incidencia de cuarentena ajustada
bSI
S + I + R
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