1. Exponentes y
Radicales
Scherzer
Prohibida su copia o reproducción sin permiso del
autor el fisicomatemático
Raúl Scherzer
Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México
33 36 14 68 15
2. En el entorno matemático los
exponentes y radicales
son la quinta y sexta operación
básicas.
¿Cuáles son sus doce reglas y cómo
se aplican en la notación científica y
los logaritmos? ¿cómo se hace una
raíz cuadrada y una cúbica?
3. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
1. XnXm = Xn+m
2. X /X = X
n m n–m
3. (X ) = X
n m nm
4. m
√Xn = Xn/m
5. X0 = 1
6. X–n = 1/Xn
4. Ejemplos de las Leyes de los
exponentes y radicales.
1. XnXm = Xn+m
Ejemplos:
2327 = 23+7 = 210
7 7 =7
–4 7 –4+7
=7 3
X X =X
2/3 4/5
=X
2/3 + 4/5 22/15
5–25–7 = 5–2–7 = 5–9
5. Ejemplos de las Leyes de los
exponentes y radicales.
2. X /X = X
n m n–m
Al exponente de abajo se le cambia de signo.
Ejemplos:
7–3/75 = 7–3–5 = 7–8
58/56 = 58–6 = 52
5 /5 = 5 = 5
8 –6 8+6 14
X /X = X = X
–5 4 –5–4 –9
5 /5 = 5 = 5
–8 –6 –8+6 –2
63/4/61/2 = 61/4
5 /5 = 5 = 5
–8 6 –8–6 –14
6. Ejemplos de las Leyes de los
exponentes y radicales.
3. (X ) = X
n m nm
Ejemplos:
(53)4 = 512 (a ) = a
2 −2 –4
(6–2)3 = 6–6 [(3/4)–4]−2 = (3/4)8
(7–4)−2 = 78
(X–9)5 = X−45 [(X/Y) ] = (X/Y)
5 −3 −15
9. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
6. X = 1/X
–n n
Ejemplos: X−5Y3Z−2 = M4Y3N6
5−3 = 1/53 M−4N−6P8 X5Z2P8
(2/3) = (3/2)
−4 4
7 = 1/7
4 −4 −6 6
X−5 = Y−4 = X5
6
X = 1/X
−5 5
Y−4 X−5 Y4
10. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
exponentes
7. (X ± Y)n≠ Xn ± Yn suma y resta
8. (XY) = X Y
n n n multiplicación
9. (X/Y) = X /Y
n n n división
radicales
10. n
√X ± Y ≠ n√X ± n√Y suma y resta
11. n
√XY = n√X n√Y multiplicación
12. n
√(X/Y) = n√X /n√Y división
11. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
7. (X ± Y)n≠ Xn ± Yn
Ejemplos:
(2 + 5)3 ≠ 23 + 53
(m − n)4 ≠ m4 − n4
(x + y) ≠ x + y
5 5 5
(7 − 3)8 ≠ 78 − 38
12. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
8. (XY) = X Y
n n n
Ejemplos:
(2 x 5)3 = 23 x 53
(mn)4 = m4n4
(xy) = x y
5 5 5
(7 x 3)8 = 78 x 38
13. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
9. (X/Y)n = Xn/Yn
Ejemplos:
(2 ÷ 5)3 = 23 ÷ 53
(m/n)4 = m4/n4
(x ÷ y) = x ÷ y
5 5 5
(7 / 3)8 = 78 / 38
14. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
10. √X ± Y ≠ n√X ± n√Y
n
Ejemplos:
3
√3 + 4 ≠ 3√3 ± 3√4
3
√m − n ≠ 3√m − 3√n
√x + y ≠ √x + √y
5 5 5
6
√7 − 3 ≠ 6√7 − 6√3
15. Leyes de los exponentes y
radicales (complementarias).
11. n
√XY = √X √Y
n n
Ejemplos:
3
√3 x 4 = 3√3 x 3√4
4
√mn = 4√m 4√n
5
√ xy = √x √y
5 5
6
√7 x 3 = 6√7 x 6√3
20. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
Ejemplos:
(X Y /Z ) =X Y /Z
2 7 5 3 6 21 15
( X6 / Y5 Z3 )6 = X36 / Y30 Z18
(X7 Y4 Z5)/(X3 Y3 Z6) = X4 Y/Z
(X3 Y5 Z6)/(X5 Y3 Z6) = Y2/X2
21. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
Ejemplos:
(8a b )/(−2a b) = −4a b
4 5 2 2 4
(−9m5n6)/(−3m5n6) = 3
(−18x2y6)/(−36x4y2) = ½ x−2y4 = y4/(2x2)
(X6Y8)/(−2X4Y2) = (X2Y6)/(−2)
22. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
Ejemplos:
(5a2n−1bm−3)/(−6a2n−2bm−4) =
(−5/6)a2n−1−2n+2bm−3−m+4 = (−5/6)ab
(−7/8)an−3bm+5/(5/2)an−4bm−1 =
(−14/40)an−3−n+4bm+5−m+1 =
(−7/20)ab6
23. Leyes de los exponentes y
radicales (básicas).
Ejemplos:
√2 √162 = √2 √2(81) = (2)(9) = 18
3
√8x y z = 2x y z
6 9 12 2 3 4
√294x3y5z1
= √49x y z = (7y z /x)
−2 4 6 2 3
√6x5yz−5
24. Notación Científica.
Sirve para escribir números muy
grandes (con exponente positivo) o muy
pequeños (con el exponente negativo).
Ejemplo de un número muy grande:
714000000000000000000000000 = 7.14 x 10 26
Ejemplo de un número muy chico:
0.00000000000000000000245 = 2.45 x 10 −21
25. Notación Científica.
Otros ejemplos:
Convertir a notación científica:
0.000 000 123 implica recorrer a la derecha
siete lugares el punto decimal 1.23 x 10 −7
Convertir a notación científica:
1 732 500 000 000 000 implica recorrer a la
izquierda quince lugares el punto decimal
1.7325 x 1015
26. Notación Científica.
Otros ejemplos:
Convertir a notación científica:
0.000 000 000 000 000 000 024 5 =
2.45 x 10−20
Convertir a notación científica:
714 000 000 000 000 000 000 000 000 =
7.14 x 1026
27. Notación Científica.
Otros ejemplos:
Convertir a notación decimal:
37 x 1014 =
3 700 000 000 000 000
Convertir a notación decimal:
17.325 x 1018 =
17 325 000 000 000 000 000
28. Notación Científica.
Otros ejemplos:
Convertir a notación decimal:
19 x 10−11 =
.000 000 000 19 = 0.000 000 000 19
Convertir a notación decimal:
4.51 x 10−24 =
.000 000 000 000 000 000 000 004 51
29. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
suma y resta.
Sólo se puede realizar si el 10 esta elevado
a la misma potencia.
Ejemplos:
(3 x 107) + (8 x 107) = 11 x 107
(24 x 10−3) − (9 x 10−3) = 15 x 10−3
(5.17 x 104) + (3.107 x 104) = 8.277 x 104
(2 x 10−5) − (9 x 10−5) = − 7 x 10−5
30. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
suma y resta.
Si nos piden realizar una suma y resta y no
coinciden los exponentes, hay que hacer
que lo hagan, recorriendo el punto
decimal.
Ejemplos:
2.5176 x 105 = 25.176 x 104 = 251.76 x 103
2.5176 x 10−5 = 25.176 x 10−6 = 251.76 x 10−7
31. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
suma y resta.
Ejemplo:
Restar 724.17 x 10−4 de 27.09 x 10−3
Se puede hacer de tres formas por lo
menos:
27.09 x 10−3 − 72.417 x 10−3 = −45.327 x 10−3
270.9 x 10−4 − 724.17 x 10−4 = −453.27 x 10−4
2709. x 10−5 − 7241.7 x 10−5 = −4532.7 x 10−5
2.709 x 10−2 − 7.2417 x 10−2 = −4.5327 x 10−2
32. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
multiplicación.
Ejemplos:
(2 x 10−7)(3 x 105) = 6 x 10−7+5 = 6 x 10−2
(− 2 x 10−4)(5 x 10−3) = − 10 x 10−7
(5 x 10−2)(7 x 103)(2 x 10−4) = 70 x 10−3
(3 x 107)(8 x 105) = 24 x 1012
(24 x 10−3)(9 x 10−1) = 216 x 10−4
(5.17 x 104)(− 3.2 x 10−5) = − 16.544 x 10−1
(2 x 10−5)(9 x 105) = 18 x 100 = 18 x 1 = 18
33. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
división.
Ejemplos:
(20 x 108) / (4 x 103) = 5 x 108−3 = 5 x 105
(45 x 10−7) ÷ (15 x 10−3) = 3 x 10−7+3 = 3 x 10−4
(7 x 10−2) / (5 x 103)= 1.4 x 10−5
(3 x 107) ÷ (8 x 105) = 0.375 x 102
34. Notación Científica.
Operaciones con notación científica:
potencia y raíz.
Ejemplos:
(5 x 10−6)2 = 25 x 10−12
(4 x 103)2 = 16 x 106
√64 x 108 = 8 x 104
√121 x 106 = 11 x 103
35. Notación Científica.
Nombres especiales a tamaños especiales.
Nombre Símbolo Valor Multiplicativo
EXA E 1018
PETA P 1015
TERA T 1012
GIGA G 109
MEGA M 106
KILO K 103
HECTO H 102
DECA D 101
36. Notación Científica.
Nombres especiales a tamaños especiales.
Nombre Símbolo Valor Multiplicativo
DECI dm 10−1
CENTI cm 10−2
MILI mm 10−3
MICRO m 10−6
NANO n 10−9
PICO p 10−12
FENTO f 10−15
ATO a 10−18
37. Notación Científica.
Algunas longitudes en metros.
6 x1025 Distancia al cuásar más alejado.
2 x1022 Distancia a nebulosa más cercana.
6 x1019 Radio de nuestra galaxia.
4.3 x1016 Distancia a la estrella más cercana.
5.9 x1012 Radio medio de la órbita de Plutón.
6.9 x108 Radio del Sol.
6.4 x106 Radio de la Tierra.
38. Notación Científica.
Algunas longitudes en metros.
4.6 x104 Máxima altura alcanzada por un globo.
1.8 x100 Estatura de un hombre.
4 x10−2 espesor de un libro de 950 hojas.
1 x10−4 Espesor de una página de un libro.
1.2 x10−8 Tamaño del virus de la poliomielitis.
5 x10−11 Radio de un átomo de hidrógeno.
1.2 x10−15 Radio efectivo de un protón.
39. Notación Científica.
Algunos intervalos de tiempo en segundos.
1.3 x1017 Edad de la Tierra.
1.5 x1011 Edad de la pirámide de Keops.
3.16 x107 Un año.
8.6 x104 Un día.
5.1 x103 Periodo del satélite.
7 x102 Vida media del neutrón libre.
8 x10−1 Intervalo entre dos pulsaciones del
corazón.
40. Notación Científica.
Algunos intervalos de tiempo en segundos.
2.3 x10−3 Periodo del diapasón tono La.
2.2 x10−6 Vida media del muón. .
1 x10−10 Oscilación de microondas de 0.03 m.
1 x10−12 Periodo de rotación de una molécula.
2.2 x10−16 Vida media del pión neutro.
4 x10−21 Oscilación de un rayo Gamma de 1
mev.
2 x10−23 Tiempo medio que tarda una partícula
elemental en cruzar un núcleo.
41. Notación Científica.
Algunas masas medidas en kilógramos.
2.2 x1041 Nuestra galaxia.
2 x1030 El Sol.
6 x1024 La Tierra.
7.4 x1022 La Luna.
1.4 x1021 Toda el agua de los océanos.
7.2 x107 Un trasatlántico.
4.5 x103 Un elefante.
7.8 x101 Un hombre.
42. Notación Científica.
Algunas masas medidas en kilógramos.
3 x10−3 Una uva.
6.7 x10−10 El virus del mosaico de tabaco.
2.3 x10−13 Una brizna de polvo.
5 x10−17 Una molécula de penicilina.
4 x10−25 Un átomo de uranio.
1.7 x10−27 Un protón.
9.1 x10−31 Un electrón.
43. Raíz Cuadrada.
Las reglas para realizarla son:
1. Se divide dicho número en grupos de dos
cifras, empezando por la derecha,
pudiendo el último grupo de la izquierda
tener una sola cifra.
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer grupo
de la izquierda, y se obtiene la primera cifra
de la raíz, que se escribe a la derecha del
radicando.
44. Raíz Cuadrada.
Las reglas para realizarla son:
3. Se resta del primer grupo el cuadrado de la
raíz, y al lado de la diferencia se escribe el
siguiente grupo.
4. Del número así formado se separa la
primera cifra de la derecha, y se divide la
parte restante entre el doble de la raíz
hallada; el cociente que resulte es la
segunda cifra de la raíz, o una cifra mayor
que ella.
45. Raíz Cuadrada.
Las reglas para realizarla son:
5. Para comprobarla, se escribe dicho
cociente al lado del doble de la raíz, y el
número así formado se multiplica por rl
mismo cociente: si el producto puede
restarse del dividendo seguido de la cifra
separada, la cifra hallada es la verdadera;
en el caso contrario, se le rebaja una
unidad, hasta poder efectuar la resta.
46. Raíz Cuadrada.
Las reglas para realizarla son:
6. Al lado de la diferencia obtenida, se escribe
el grupo siguiente, y se repiten las mismas
operaciones hasta haber bajado el último
grupo del radicando.
47. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
Paso 1
√ 5 49 85 2 Separa en grupos
de dos al número de
derecha a izquierda.
Paso 2
Se extrae la raíz
cuadrada de 5, y se
obtiene la primera
cifra que es 2.
48. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
Paso 3
√ 5 49 85 2 3 Se eleva al cuadrado
−4 el 2 y se le resta al 5,
se baja el siguiente
1 49 grupo el 49.
Paso 4
Del 149 se quita el 9 y quedan 14, el cual se divide entre
el doble de la raíz hallada, o sea, 14 entre 4 nos da 3.
49. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
Paso 5
√ 5 49 85 2 3 Para comprobar, se
−4 43 duplica el 2 y se baja
el 3, nos queda 43 y
1 49 se multiplica por 3, si
−1 29 no pasa de 149,
vamos bien, si pasa
hay que rebajarle uno
al 3. En este caso, 43
por 3 nos da 129.
50. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
√ 5 49 85 2 3 Paso 6
−4 Al lado de la diferencia
43 20, se escribe el
1 49 siguiente grupo 85, y se
−1 29 repiten las mismas
2085 operaciones.
51. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
√ 5 49 85 2 3 4 Paso 4
−4 Del 2085 se quita el 5 y
43 quedan 208, el cual se
1 49 divide entre el doble de
−1 29 la raíz hallada, o sea,
2085 208 entre 46 nos da 4.
52. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
Paso 5
√ 5 49 85 2 3 4 Para comprobar, se
−4 43 duplica el 23 y se baja
el 4, nos queda 464 y
1 49
−1 29 4 64 se multiplica por 4, si
no pasa de 2085,
2085 vamos bien, si pasa
−1856 hay que rebajarle uno
al 4. En este caso, 464
por 4 nos da 1856.
53. Raíz Cuadrada.
Obtengamos la raíz cuadrada de: 54 985
Paso 6
√ 5 49 85 2 3 4 Al lado de la diferencia
−4 43 229, se debe escribir el
siguiente grupo, y como
1 49
−1 29 4 64 ya no hay, hemos
terminado.
2085 La raíz es 234 y el
−18 56 residuo es 229.
229
54. Raíz Cuadrada.
Las reglas para realizarla son:
7. La raíz cuadrada de los números
decimales se extrae como la de los
enteros, pero la separación en grupos de
dos cifras se efectúa del punto decimal,
hacia la izquierda para los enteros y hacia
la derecha para los decimales. Si el último
decimal tiene una sola cifra se completa
con un cero, y en la raíz se separan tantas
cifras decimales como grupos hayan en la
parte decimal del radicando.
57. Logaritmos.
El proceso de logaritmos es una operación inversa de la
potenciación.
Si con la radicación encontramos la base, con el proceso de
los logaritmos, obtenemos el exponente.
De la expresión bx = n que es de la potenciación, tiene
como componentes:
x = exponente b = base n = resultado o potencia
De la expresión Logbn = x que es de la logaritmación,
tiene como componentes:
x = resultado o logaritmo b = base
n = número real positivo
58. Logaritmos.
En notación exponencial 102 = 100
En notación logarítmica Log10100 = 2
El logaritmo de un número en su misma base es igual a uno:
Logbb = 1
En cualquier base el logaritmo de la unidad es igual a cero:
Logb1 = 0 pues b1 = b
Como la base es un número positivo, no existe el logaritmo de
los números negativos. No se pueden hallar exponentes
para los números positivos que los transformen en
números negativos. Es decir: Logb(−n) = no existe.
59. Logaritmos.
Existen dos tipos de logaritmos que se usan mucho:
Los de base 10 o logaritmos decimales o neperianos.
Log10x = y que en forma abreviada no se le escribe la base
Log x = y
Los de base e o logaritmos naturales.
Logex = y que en forma abreviada no se le escribe la base
Ln x = y
El número e = 2.718281828… se usa mucho en ingeniería.
Característica y la mantisa.
Al obtener un logaritmo su parte entera se llama
característica, su parte decimal mantisa.
60. Logaritmos.
Reglas para los logaritmos.
1. Log AB = Log A + Log B
2. Log A/B = Log A − Log B
3. Log An = n Log A
4. Log n√A = (Log A)/n
5. LogBA = (Log A)/(Log B)
61. Logaritmos.
¿Cómo se usan los logaritmos?
Me ayuda si me imagino que existen dos mundos:
Aquí tenemos Aquí las
un problema Lo enviamos con LOG aael
Lo enviamos con LOG el multiplicaciones
difícil de mundo de los logaritmos.
mundo de los logaritmos. se hacen sumas,
aritmética las divisiones
restas, las
potencias
Nos llega la multiplicaciones
solución, el Se regresa al mundo
Se regresa al mundo y las raíces
problema fue decimal con ANTILOG
decimal con ANTILOG divisiones
resuelto con
Mundo 1 logaritmos. Mundo 2
El de nosotros, El de los
el decimal. logaritmos.
62. Logaritmos.
El problema en el mundo decimal es resolver :
24
√[(13.14)18(9.3)8 / (2.37)16] = 8.165
El problema en el mundo de los logaritmos es resolver :
Log24√[(13.14)18(9.3)8 / (2.37)16] =
Log[(13.14)18(9.3)8/ (2.37)16] / 24 =
{Log[(13.14)18(9.3)8] − Log(2.37)16 }/ 24 =
{Log13.1418+ Log 9.38 − Log2.3716} / 24 =
{18Log 13.14 + 8Log 9.3 − 16Log 2.37} / 24 =
{18(1.11859) + 8(0.96848) − 16(0.37475)} / 24 =
21.88661 / 24 = 0.91194 Antilog 0.91194 = 8.165
63. Logaritmos.
Los logaritmos también sirven para resolver ecuaciones
llamadas exponenciales o logarítmicas.
Por ejemplo:
102x−1 = 1000
En notación logarítmica es:
Log 1000 = 2x − 1
3 = 2x − 1
4 = 2x
2=x
