Logika Matematika

Oleh : Amo Sisdianto, S.Kom
Matematika SMK Kelas X
LOGIKA
MATEMATIKA

SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PENYUSUN
Amo Sisdianto, S.Kom
Guru SMK Bina Karya 2 Karawang
untuk mata pelajaran Matematika kelas X dan XI
asisdi4nto@yahoo.com
aantomatika.blogspot.co
m
@sisdianto
A Sisdianto Sumarna

SK/KD
STANDAR KOMPETENSI
Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan
pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
KOMPETENSI DASAR
1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
2. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan
ingkarannya
3. Mendeskripsikan Invers, Konvers dan Kontraposisi
4. Menerapkan modus panens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik
kesimpulan

BAHASAN LOGIKA MATEMATIKA
NEGASI PERNYATAAN
MAJEMUK
PERNYATAAN
MAJEMUK
OPERASI
LOGIKA
KONVERS, INVERS
& KONTRAPOSISI
PENARIKAN
KESIMPULAN
PERNYATAAN &
BUKAN PERNYATAAN
KALIMAT
BERKUANTOR

Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti
ketepatan penalaran (pemikiran yang masuk akal).
Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai
kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan
aturan-aturan dasar yang berlaku.
PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
Dalam logika Matematika dikenal istilah:
• Kalimat pernyataan
• Kalimat bukan pernyataan
• Kalimat terbuka

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.
Contoh: a : 2 adalah bilangan genap
b : 4 habis dibagi 3
c : Nilai x yang memenuhi 3x + 1 = 7 adalah 2
d : Ibukota Indonesia adalah Jakarta
Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar),
sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S
(salah).
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan (tau).
Contoh:
a : 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, (a)=B
p : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, (p)=S
Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak
bisa sekaligus benar dan salah

Berdasarkan pengertian tadi, pernyataan merupakan suatu kalimat. Akan tetapi,
suatu kalimat belum tentu pernyataan. Berikut ini merupakan contoh kalimat
yang bukan pernyataan karena tidak deklaratif (menerangkan sesuatu) :
a. Dilarang merokok!
b. Awas... ada maling
c. Berapa jumlah siswa SMK Bina Karya 2 ?
d. Jangan melecehkan sesama teman.
Berdasarkan contoh di atas, kalimat-kalimat yang digolongkan sebagai
pernyataan adalah kalimat yang menerangkan sesuatu (deklaratif). Namun tidak
semua kalimat deklaratif juga termasuk pernyataan. Berikut ini contohnya:
a. Gaun itu indah sekali
b. Siti gadis yang cantik
c. Suasana di pantai sangat sejuk sekali
d. Bronis kukus itu enak banget

Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik
dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol yang menunjukkan
anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Kalimat terbuka:
“Orang itu seorang petinju”
Kalimat tertutup
”Mike Tyson seorang petinju”
Yang bernilai benar.
Orang itu merupakan variabel,
sedangkan Mike Tyson merupakan
konstanta.
Kalimat terbuka :
“4x + 10 = 25”
Kalimat tertutup :
“4(5) + 10 = 25”
x merupakan variabel,
sedangkan 5 merupakan
konstanta.
Perhatikan contoh berikut:
Kalimat terbuka yaitu kalimat yang mengandung variabel yang belum pasti benar
atau salah. Jika variabel tersebut diganti konstanta dengan semesta yang sesuai
kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja yang
disebut Kalimat tertutup
KALIMAT TERBUKA

Berikut ini contoh lainnya untuk membedakan pernyataan dan bukan pernyataan
serta kalimat terbuka :
a. Siti gadis yang cantik dan pintar sekali
b. Netherland adalah ibukota Belanda
c. x adalah faktor dari 10
d. Cuaca hari ini sangat panas
e. 21 adalah bilangan prima
f. 24 habis dibagi 6
g. Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik!
h. Pemuda berkemeja panjang itu
terjatuh dari motor
i. Taman bergantung adalah salah satu
keajaiban dunia yang dibangun
kerajaan Babylonia
(bukan pernyataan)
(pernyataan bernilai salah)
(bukan pernyataan/ kalimat terbuka)
(bukan pernyataan)
(pernyataan bernilai benar)
(bukan pernyataan)
(bukan pernyataan)
KALIMAT TERBUKA
TUGAS

TUGAS 1
Dari kalimat-kalimat berikut ini, manakah yang termasuk pernyataan dan
bukan pernyataan? Jika termasuk pernyataan, tentukan nilai kebenarannya!
a : 4 + 5 = 7
b : Semua bilangan prima adalah ganjil
c : Mudah-mudahan cuaca hari ini cerah
d : Kota Madiun ada di pulau Jawa
e : Kota Manokwari tidak jauh
f : 1.250 habis dibagi 7
g : Suku ke-4 dari barisan 2, 6, 10, ... adalah 16
h : Hapus papan tulis itu
i : Pantai Parangtritis indah sekali
j : x2 – 3x + 4 < 0
k : Ibukota Inggris adalah Luxemburg
l : Bigband berada di Amerika Serikat
m : 2x2 -1 = 1
n : Faktor dari 12 adalah 2, 6, 4 dan 8
o : 7 adalah bilangan prima
1.

TUGAS 1
p : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
q : 243 habis dibagi 9 dan 3
r : Mudah-mudahan kita sehat walafiat
s : Ikan paus bernafas dengan paru-paru
t : Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o
u : Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik !
v : 21 adalah bilangan prima
w : x adalah Faktor dari 10
x : Buktikan bahwa 3,14 adalah bilangan irasional
y : 3x + 5x = 35
z : Lawan dari bilangan prima disebut bilangan komposit

OPERASI LOGIKA & PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa
pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dalam
suatu operasi logika. Beberapa operasi logika tersebut adalah :
a. Negasi (ingkaran/ tidak)
b. Disjungsi (atau)
c. Konjungsi (dan)
d. Implikasi (jika... maka...)
e. Biimplikasi (... jika dan hanya jika ...)
NEGASI
BIIMPLIKASI
OPERASI
LOGIKA
DISJUNGSI
KONJUNGSI
IMPLIKASI
TUGAS

NEGASI
p ~p
B
S
S
B
Contoh:
p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima
q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6
Tabel kebenarannya :
Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis
dengan lambang ~p.

NEGASI
1. p : 2 + 5 = 7
~p : 2 + 5 ≠ 7
~p : Tidak benar bahwa 2 + 5 = 7
2. q : Semua pelajar berbaju putih
~q : Tidak semua pelajar berbaju putih
~q : Beberapa pelajar tidak berbaju putih
~q : Ada pelajar yang tidak berbaju putih
Contoh :
Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut!
(benar)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)

DISJUNGSI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
qp
Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan
menggunakan kata hubung atau.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
Disjungsi p ν q bernilai benar jika salah satu p atau q atau keduanya adalah
benar; disjungsi bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah. Tabel kebenaran
disjungsi sebagai berikut:
qp
dibaca p atau q

CONTOH DISJUNGSI
p : Saya rajin belajar
q : Saya lulus UN
pvq : Saya rajin belajar atau saya lulus UN
p : 2 adalah bilangan prima
q : 2 adalah bilangan genap
pvq : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
pvq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 atau 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
pvq : 15 adalah bilangan prima atau faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
pvq : 9 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(benar)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.

p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
KONJUNGSI
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai
dengan kata hubung dan.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
qp Dibaca p dan q
Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar; konjungsi bernilai
salah jika salah satu p atau q (atau keduanya) adalah salah. Tabel
kebenarannya adalah:
qp

CONTOH KONJUNGSI
p : Pagi ini udaranya segar
q : Matahari bersinar terang
p˄q : Pagi ini udaranya segar dan matahari bersinar terang
p˄q : 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
p˄q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 dan 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p˄q : 15 adalah bilangan prima dan faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p˄q : 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.

IMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
qp
Implikasi atau Kondisional adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q.
Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang:
qp
Dibaca jika p maka q atau
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Tabel kebenaran implikasi
adalah sebagai berikut:

CONTOH IMPLIKASI
p : Kamu lulus ujian
q : Kamu diberi hadiah
: Jika kamu lulus ujian maka kamu diberi hadiah
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 + 3 adalah 5
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 5
q : 2 + 3 adalah 7
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 7
p : 2 + 3 adalah 7
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan genap
p : 2 + 3 adalah 7
q : 2 adalah bilangan ganjil
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan ganjil
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
qp
qp
qp
qp
qp

BIIMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
qp
Biimplikasi atau disebut juga Bikondisional adalah hubungan pernyataan-
pernyataan p dan q yang dituliskan sebagai berikut:
qp
dibaca :
p jika dan hanya jika q
Jika p maka q dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup bagi q
q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran

CONTOH BIIMPLIKASI
p : Kucing termasuk karnivora
q : Kucing pemakan daging
: Kucing termasuk karnivora jika dan hanya jika kucing pemakan daging
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
(benar)
(benar)
(benar)qp
qp
qp
qp
qp

TUGAS 2
Hubungkan dua pernyataan berikut sebagai bentuk disjungsi, konjungsi,
implikasi dan biimplikasi !
1.
a. p: 4 bukan bilangan ganjil
q: 4 habis dibagi 2
b. p: Jam Gadang berada di Sumatera Selatan
q: Gedung tertinggi di dunia adalah Burj Khalifa
c. p: dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong
q: dua garis sejajar mempunyai gradient yang sama
d. p: Iwan memakai topi
q: Iwan memakai dasi
e. p: Hari ini mendung
q: Hari ini akan hujan

TUGAS 2
Jika pernyataan p: “ia kaya” dan pernyataan q: “ia bahagia”, maka
terjemahkan lambang-lambang berikut !
a. p ∧ q b. ~p ∨ ~q c. p → q
d. p ∨ q e. ~p ∧ q f. q ↔ ~p
g. p ↔ q h. p ∨ ~q i. ~q → p
j. ~p → q k. ~p → ~q l. ~(p → ~q)
2.
Jika pernyataan p: “hari ini cuaca cerah” dan pernyataan q: “matahari
bersinar”, maka tulislah lambang-lambang dari penyataan-pernyataan
berikut !
a. Hari ini cuaca cerah dan matahari bersinar
b. Hari ini cuaca cerah atau matahari bersinar
c. Jika hari ini cuaca cerah, maka matahari tidak bersinar
d. Hari ini cuaca tidak cerah atau matahari bersinar
e. Hari ini cuaca tidak cerah jika dan hanya jika matahari bersinar
f. Jika matahari tidak bersinar, maka hari ini cuaca cerah
g. Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari ini cuaca cerah
3.

PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen)
yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Contohnya:
qp~
pqp )~(2.
1.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:
pqp )~(
Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran
Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S
Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S
B
S
B
S
B
B
S
S
qp pqp )~(q~ )~( qp
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
1.

PERNYATAAN MAJEMUK
rqp )(~
Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran sebagai
berikut:
2.
p q r ~p (~p ˄q)
B B B S S B
B B S S S B
B S B S S B
B S S S S B
S B B B B B
S B S B B S
S S B B S B
S S S B S B
rqp )(~

PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
qp
Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan
majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran pernyataan komponen-komponennya
Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah
)~(~)(~ qpqp
)~(~)(~ qpqp
)~()(~ qpqp
)~()~()(~ pqqpqp
)(~)( qpqp
Contoh :

p q ~p ~q (p v q) ~(p v
q)
(~p ˄ ~q)
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
p q ~p
B B S B B
B S S S S
S B B B B
S S B B B
)( qp )(~ qp
)~(~)(~ qpqp
bahwaterbukti
)(~)( qpqp
bahwaterbukti

)~(~)(~ qpqp
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
(p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar
~(p V q) : (~p ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar
)~()(~ qpqp
p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah
p q : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah
~(p q) =(p ~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah
Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah

pqqp
pqqp
Sifat Komutatif
)()( rqprqp
)()( rqprqp
Sifat Asosiatif
Distributif konjungsi terhadap disjungsi
Sifat Distributif
)()()( rpqprqp
Distibutif konjungsi terhadap disjungsi
)()()( rpqprqp
Dari ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk didapat sifat-sifat yang
berlaku pada operasi logika yaitu:
TUGAS

TUGAS 3
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:1.
a. ~p ∧ ~q
b. ~ (p ↔ q)
c. p → ~q
d. ~p → q
e. (p ∨ q) ↔ ~p
f. p → (p ∨ q)
g. p → (~p ∨ q)
h. ~p → ~q
i. (p ∧ ~q) → (`~p ∨ q)
j. p → (~q ↔ p)
k. (p ∧ q) ↔ p
l. (p → ~q) ∨ ~p

TUGAS 3
rqpe
rqpd
rqpc
rqpb
rqpa
)(.
)~(~.
~)~(.
)~(~.
)(~~.
2.
Selidiki dengan tabel kebenaran apakah pernyataan berikut ekuivalen:
)()(~.
)()()(.
pqqpqpb
rpqprqpa
3.

NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
OPERASI LAMBANG NEGASI
DISJUNGSI p v q ~p ˄ ~q
KONJUNGSI p ˄ q ~p v ~q
Bandung adalah kota kembang atau ibukota Jawa Barat
Contoh disjungsi :
Bandung bukan kota kembang dan bukan ibukota Jawa Barat
Bentuk negasinya:
Soal ulangan Matematika jumlahnya sedikit dan sulit
Contoh konjungsi :
Soal ulangan Matematika jumlahnya banyak atau mudah
Bentuk negasinya:

NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
Contoh implikasi :
Jika 5 adalah faktor dari 25, maka 5 adalah bilangan prima
5 adalah faktor dari 25 dan 5 bukan bilangan prima
Bentuk negasinya:
Contoh biimplikasi :
2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 = 8
2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 ≠ 8
Bentuk negasinya:
2log 8 ≠ 3 jika dan hanya jika 23 = 8atau:
OPERASI LAMBANG NEGASI
IMPLIKASI
BIIMPLIKASI
qp
qp
qp ~
qpatauqp ~~
TUGAS

TUGAS 4
Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !1.
a. 123 adalah bilangan ganjil dan habis dibagi 3.
b. Ibu sedang memasak sayur atau pergi ke pasar.
c. Jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0.
d. Budi lulus SMPTN jika dan hanya jika ia rajin belajar.
e. Heru ujian nasional dan Budi lulus SMPTN.
f. Tujuh adalah bilangan ganjil atau besi adalah benda cair.
g. Jika hari ini tidak turun hujan, maka ia pergi ke pasar.
h. Jika pak Amir seorang profesor, maka ia seorang dosen.
i. Aku dan kau suka membaca buku cerita
j. Hari ini hujan atau anginnya kencang
k. Emas tenggelam dalam air raksa atau air tawar
l. Segitiga ABC siku-siku dan sama kaki
m. Katak bernafas dengan insang atau paru-paru
n. Harga barang-barang murah dan jumlah barang tidak berkurang

KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI
p q ~p ~q p q ~q ~p q p ~p ~q
pq qp
qp ~~ qp
pq ~~ qp
, disebut konvers dari implikasi
, disebut invers dari implikasi
, disebut kontraposisi dari implikasi
qp
maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu
Jika kita mempunyai sebuah implikasi
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
B
qp pq ~~≡ Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
pq qp ~~≡ Konvers ekuivalen dengan invers

Jika x = 90o maka x adalah sudut dalam persegiKonvers :
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut:
)(~. rqpb
a. Jika x adalah sudut dalam persegi maka x = 90o.
Kontraposisi :
Invers : Jika x bukan sudut dalam persegi maka x ≠ 90o.
Jika x ≠ 90o maka x bukan sudut dalam persegi
a.
b. Konvers :
Kontraposisi :
Invers :
prq ~)(
prq )~(~
)~(~ rqp
KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI
Penyeleseian :
TUGAS

TUGAS 5
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut:
)(~.
)(.
rqpb
rqpa
1.
Buatlah pernyataan konvers, invers, dan kontrapositif dalam bentuk kalimat!
a. Jika engkau rajin belajar, maka engkau dapat naik kelas
b. Jika ABCD persegi panjang, maka AC=BD
c. Jika x bilangan genap, maka x2habis dibagi 4
d. Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan ganjil
e. Jika 3 + 3 = 7 maka 4 + 4 = 8
f. Jika guru tidak datang, maka semua murid senang
g. Jika hari hujan, maka matahari tidak bersinar
2.

KALIMAT BERKUANTOR
CONTOH:
SEMUA SISWA KELAS X SMK 2 BINABAKTI PANDAI.
KATA SEMUA ATAU SETIAP MERUPAKAN KUANTOR UNIVERSAL (UMUM)
LAMBANG DARI KUATOR UNIVERSAL ADALAH:
KUANTOR UMUM (KUANTOR UNIVERSAL)
dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x))(, xpSx
)(, xpx dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau

KALIMAT BERKUANTOR
BxAxx dan,
Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai.
Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus)
Misalkan:
U=himpunan semua siswa SMA di Jakarta
A=himpunan semua siswa SMA Satu
B=himpunan semua siswa kelas X SMA satu yang pandai
Pernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai”, dapat ditulis dengan
lambang berikut:
dibaca: Beberapa siswa SMA Satu pandai, atau
Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA
Satu yang pandai.
KUANTOR KHUSUS (KUANTOR EKSISTENSIAL)

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
)(~,)](,[~ xpxxpx
)(~,)](,[~ xpxxpx
p : Semua siswa Satu rajin belajar
~p : Ada siswa Satu yang tidak rajin belajar
q : Ada siswa Satu yang rumahnya di Kelapa Gading
~q : Semua siswa Satu rumahnya tidak di Kelapa Gading
r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang
Contoh:
KALIMAT BERKUANTOR
TUGAS

TUGAS 6
1. Tulislah ingkaran dari kalimat-kalimat dibawah ini !
a. Semua burung bersayap.
b. Semua orang Indonesia makanan pokoknya nasi.
c. Beberapa guru susah jika ada beberapa murid yang tidak lulus ujian.
d. Di semua sekolah ada murid yang menganggap matematika mudah.
e. Tidak ada seorang pun yang boleh melihat.

Pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis
Kemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru
(kesimpulan/ konklusi). Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut
argumentasi.
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya
juga benar
Contoh:
Jika hari ini hujan, maka jalanan basah premis 1
Jika jalanan basah, maka saya tidak berangkat sekolah premis 2
Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat sekolah
rp kesimpulan/konklusi
qp
rq
premis 1
premis 2
1. Sillogisme
konklusi
PENARIKAN KESIMPULAN

2. Modus ponen
qp
p
q
premis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:
premis 1 Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah
premis 2 Saya punya uang banyak
konklusi Saya akan membeli rumah

3. Modus tollens
qp
q~
p~
premis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:
premis 1 Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu
premis 2 Saya tidak datang ke pestamu
konklusi Hari ini cuaca tidak cerah
Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi
dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
TAUTOLOGI
TAUTOLOGI ADALAH SEBUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG SELALU BENAR UNTUK SEMUA
KEMUNGKINAN NILAI KEBENARAN DARI PERNYATAAN-PERNYATAAN KOMPONENNYA.
p q (pvq)
B
B
S
S
B
S
B
S
)( qppTabel
Contoh:
Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk )( qpp adalah sebuah tautologi
B
B
B
S
B
B
B
B
Jadi pernyataan merupakan tautologi)( qpp
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

KEABSAHAN ARGUMENTASI
Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:1.
rp
rq
qp
~
~
B S
B B
B S
S B
B B
B B
S B
S B
)(~)( rqqp )~()](~)[( rprqqpp q r
B B B
B B S
B S B
B S S
S B B
S B S
S S B
S S S
~q ~r
S S
S B
B S
B B
S S
S B
B S
B B
B B S
B B B
B B S
B S B
B B B
B B B
S B B
S S B
qp rq~ rp ~
Dari tabel tampak bahwa bukan merupakan
tautologi (tidak bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut tidak sah
)~()](~)[( rprqqp

Jika hutan gundul maka terjadi banjir
Tidak terjadi banjir
Hutan tidak gundul
Untuk menguji sah atau tidaknya argumentasi tersebut, digunakan tabel
kebenaran.
Misal : hutan gundul = p
terjadi banjir = q
p
q
qp
~
~

B S B
S S B
B S B
B B B
qp
Sehingga tabel kebenaran yang diuji adalah :
pqqp ~]~)[(qqp ~)(
qpqp ~]~)[(Dari tabel tampak bahwa merupakan tautologi
(bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut sah
p q ~p ~q
B B S S
B S S B
S B B S
S S B B
TUGAS

TUGAS 7
Tentukanlah pola penarikan kesimpulan dari argumentasi berikut!1.
Premis 1: Jika log 10 = 1 maka 2log 8 = 3
Premis 2: log 10 = 1
Konklusi: 2log 8 = 3
b.
Premis 1: Jika Ibu pergi maka adik menangis
Premis 2: Adik tidak menangis
Konklusi: Ibu tidak pergi
a.
Premis 1: Jika semua masyarakat resah maka harga bbm naik
Premis 2: Harga BBM naik atau harga bahan pokok naik
Premis 3: Harga bahan pokok naik
c.
Premis 1: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi memahami flowchart
Premis 2: Jika Aldi memahami flowchart maka Aldi mampu mengoperasikan PC
Konklusi: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi mampu mengoperasikan PC
d.

TUGAS 7
Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksa sah atau tidak argumentasi
berikut!
rp
rq
qpa
~
~
.
3.
Jika hari ini hujan maka pejalan kaki memakai payung
Pejalan kaki memakai payung
Hari ini tidak hujan
rp
rq
qpb
~
~
.

LATIHAN SOAL
Negasi dari: “Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler”
adalah ….
A
B
C
D
E
Semua siswa tidak membuat tugas
kokurikuler
Ada siswa yang tidak membuat tugas
kokurikuler
Beberapa siswa membuat tugas
kokurilkuler
Beberapa siswa tidak membuat tugas
kokurikuler
Tidak ada siswa membuat tugas
kokurikuler
1

LATIHAN SOAL
Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah,
pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ...
A
B
C
D
E
q ↔ ~p
~p ν q
~q Λ p
~p → ~q
~q ↔ p
2

LATIHAN SOAL
Ingkaran dari kalimat "Semua orang berdiri ketika tamu agung
memasuki ruangan" adalah ...
A
B
C
D
E
Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan
Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Semua orang tidak perlu berdiri ketika tamu agung keluar
ruangan
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
BETUL
JAWABAN ANDA
SALAH
3

LATIHAN SOAL
p: Hari ini Jakarta hujan q: Hari ini Jakarta banjir
Bentuk konjungsi dari pernyataan diatas adalah ….
A
B
C
D
E
Hari ini Jakarta hujan tapi tidak banjir
Hari ini Jakarta hujan atau banjir
Hari ini Jakarta hujan dan banjir
Jika hari ini Jakarta hujan, maka hari ini banjir
Jakarta banjir jika dan hanya jika hari ini Jakarta
hujan
4

LATIHAN SOAL
Ditentukan pernyataan : (p ν ~q) → p
Konvers dari pernyataan tersebut adalah ….
A
B
C
D
E
p → (~p ν q)
p → (p ν q)
q → (p ν ~q)
p → ~(p ν ~q)
p → (p ν ~q)
5

Logika Matematika

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Logika Matematika

Similar to Logika Matematika (20)

More from A Sisdianto Sumarna

More from A Sisdianto Sumarna (8)

Logika Matematika