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  1. 1. 変分法 東京理科大学大学院 薬学研究科 薬科学専攻 (博士後期課程3年) 理化学研究所 情報基盤センター バイオインフォマティクス研究開発ユニット (JRA) 露崎弘毅
  2. 2. 汎関数 関数の関数(関数も引数にする関数) 積分で表される事が多い 例: エントロピー : 確率関数を入力とした汎関数 → ある確率関数p(x)に対してエントロピーという量を返す これ、ただの合成関数では? (f(g(x))となっているけど、式変形すれば結局xの関数では?) <- 間違い ∵ xの関数はある一つのxに対して、一つの値を返す(e.g., p(x)) 汎関数は無限個のxによって決められた無限個の値(e.g., p(x))に対して、 一つの値を返す (e.g., H[p]) 入力の関数の”形”に対して値を返す関数と理解した方が良い
  3. 3. 微分と変分 微分 変分 二点を限りなく近づける → xにおける接線の傾きがわかる s s + h 푑푦 푑푥 = lim ℎ→0 푓푠+ℎ−푓(푠) ℎ 微分(導関数)がゼロ → 関数の極値 → そのxが関数を最大・最小にする (ただの変曲点の場合もあるけど) 푑푦 푑푥 =0 b a 二関数を限りなく近づける (両端a,bで固定という条件は無いと解けない) 汎関数微分がゼロ → 汎関数の停留点 → その関数が積分値を最大・最小にする y(x) y0(x) y(x) x x t x 汎関数 I[y(x)] y0(x) y(x) y 푑퐼[푦] 푑휀 =0 ε
  4. 4. オイラー方程式(1/3) I푦= 푓푥,푦,푦`푑푥 푏 푎 ある関数 y0(x) が少し変化した関数 y(x) を考える 푦푥=푦0푥+ 휀휂(푥) 但し二関数は x=a, b で固定されているとする(境界条件) 휂푎=휂(푏) = 0 この時例えば x, y, y’ を使って以下のように汎関数を表現する事ができる 場合、関数 y(x) を解析的に求める事ができる 汎関数が停留点を持つ = y(x)とy0(x)が等しくなる (푦`푥=푦0`푥+ 휀휂`(푥))
  5. 5. イメージ 変分法の入門編より
  6. 6. オイラー方程式(2/3) 汎関数が停留点を持つ → 汎関数の微分が0 푑퐼[푦] 푑휀 = 푑 푑휀 푓푥,푦,푦′푑푥 푏 푎 = 휕푓 휕푦 휕푦 휕휀 + 휕푓 휕푦′ 휕푦′ 휕휀 푑푥 푏 푎 (微分のチェーンルールより) = 휕푓 휕푦 휂(푥)+ 휕푓 휕푦′휂′(푥)푑푥 푏 푎 (εが変数の時、他は全て定数だから) = 휕푓 휕푦′휂(푥) 푎 푏 + 휂푥 휕푓 휕푦 − 푑 푑푥 휕푓 휕푦′푑푥=0 푏 푎 ここは定数 ここは任意 の関数 ここが0
  7. 7. オイラー方程式(3/3) つまり、汎関数Iの微分が0の時、以下の式が成り立つ 휕푓 휕푦 − 푑 푑푥 휕푓 휕푦′=0 これをオイラー方程式という(最初からこれを解くだけで良い)
  8. 8. ある条件を満たす”関数”を求められる場合がある (解けるとわかっているパターンに乗っかる事ができれば) オイラー方程式で何ができるのか? 例1 : 二点を通る最短の関数(直線) 例2 : 坂を転げ落ちる球が最速で目的地に到達する関数 (サイクロイド) 例3 : 長さが一定の周で囲まれた面積を最大にする関数(円) 例4 : 二点をある長さの紐で結んだ時の紐が描く関数(cosh) 例5 : 最もエントロピーが大きい確率密度関数(正規分布)
  9. 9. 解けるパターン 基本形のオイラー法を拡張している(物理のかぎしっぽ) 変分ベイズではこのパターンを使う •f(x, y, y’) : 基本形 •f(x, y) : y’が無い場合 •f(y, y’) : xが無い場合 •f(x, y’) : yが無い場合 •f(x, y, y’, z, z’) : yの他にxの関数zも含む場合 •f(x, y, y’, y’’) : 2階微分を含む場合 •f(x, y, y’, y’’’’’’…{n}) : n階微分を含む場合 •f(x1, x2, u, ux1, ux2) : xが複数ある場合
  10. 10. 変分下界 → 平均場近似で分解した各因子qi(Zi)の汎関数 とみなして式(10.9)を得る事ができる 変分ベイズの定式化から近似事後分布の導出まで(3)
  11. 11. 参考 •物理のかぎしっぽ •変分ベイズの定式化から近似事後分布の導 出まで(1) •変分ベイズの定式化から近似事後分布の導 出まで(2) •変分ベイズの定式化から近似事後分布の導 出まで(3) •変分法の入門編
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