Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPIN
Experimento Stern-Gerlach
Aplica¸˜es
co

SPIN: Conceito e Aplica¸˜es
co

Antonio Carlos da Silva Senra Filho
FFCLRP - USP Ribeir˜o Preto
a

8 de maio de 2011

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplica¸oes
c˜

Conceito de SPIN
Aplica¸˜es
co

1 Conceito de SPIN
Avalia¸õ hist´rica
ca o
Defini¸oes da grandeza
c˜

2 Experimento Stern-Gerlach
Apareto e teoria
Impacto

3 Aplica¸oes
c˜
Computa¸õ Quˆntica
ca a
Imagens por Ressonˆncia Magn´tica Nuclear
a e

c˜

Conceito de SPIN
ca o
Defini¸˜es da grandeza
co
Aplica¸˜es
co

Na mecˆnica quˆntica e f´
a a ısica de part´
ıculas , spin ´ uma
e
caracter´ıstica fundamental da propriedade part´ ıculas
elementares
Todas as part´ ıculas elementares de uma dada espćie tem um
e
dado spin, n´mero quˆntico. Quando combinado com o
u a
teorema spin-estat´ ıstica , o spin de el´trons resulta do
e
princ´ de exclusõ de Pauli.
ıpio a
Spin ´ mais um grau de liberdade de um sistema quˆntico.
e a

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Wolfgang Pauli foi o primeiro a propor o conceito de spin,
mas ele n˜o revelou o nome dele. Em 1925, Ralph Kronig ,
a
George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit sugeriu uma
interpreta¸˜o f´
ca ısica de part´ıculas girando em torno de seu
pr´prio eixo. A teoria matem´tica foi trabalhado em
o a
profundidade por Pauli em 1927. Quando Paul Dirac na
origem do seu mecˆnica quˆntica relativ´
a a ıstica em 1928, o spin
do el´tron era uma parte essencial dela.
e

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Spin ´ um tipo de momento angular.
e
Esta defini¸õ moderna do momento angular ´ nõ o mesmo
ca e a
que o hist´rico mecˆnica cl´ssica, por defini¸õ:
o a a ca

L=r ×p (1)
Escrito como um m´ltiplo da constante reduzida de Planck
u
Em unidades naturais , o ´ omitido, assim as unidades de
e
spin estõ impl´
a ıcitas. (spin 1/2, 3/2, 2, . . .)

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Como o nome sugere, spin foi originalmente concebido como a
rota¸õ de uma part´
ca ıcula em torno de algum eixo.
Por outro lado, tem algumas propriedades peculiares que os
distinguem dos momentos angulares:
n´meros quˆnticos spin podem assumir valores
u a
semi-inteiros ou inteiros (quantiza¸õ);
ca
Embora a dire¸õ de sua rota¸õ pode ser alterado, uma
ca ca
part´
ıcula elementar nõ pode girar mais r´pido ou mais
a a
lento.

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Estudos te´ricos e experimentais tˆm mostrado que o spin
o e
possu´ por tais part´
ıdo ıculas (elementares) n˜o pode ser
a
explicado pela premissa de que elas s˜o constitu´
a ıdas de
pequenas part´ ıculas que ainda giram em torno de um centro
de massa comum (veja raio cl´ssico do el´tron).
a e
O spin de uma part´ ıcula elementar ´ uma propriedade f´
e ısica
intr´
ınseca, na verdade, parecido com a part´ ıcula de carga
el´trica e massa de repouso .[4]
e

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

N´mero quˆntico spin s ´ s = n / 2, onde n pode ser qualquer
u a e
n´mero n˜o negativo inteiro.
u a
O valor de s para uma part´ ıcula elementar depende apenas do
tipo de part´
ıcula, e n˜o pode ser alterado.
a
S de qualquer sistema f´ısico ´ quantizada,
e

S= s(s + 1) (2)

Sz = mz (3)

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

O spin de uma part´ıcula tem conseq¨ˆncias cruciais para suas
ue
propriedades na mecˆnica estat´
a ıstica . Part´
ıculas com spin
meio inteiro obedecem ` estat´
a ıstica de Fermi-Dirac, e s˜oa
conhecidos como f´rmions.
e
Toda a mat´ria conhecida ´ basicamente composta de
e e
part´
ıculas elementares chamadas f´rmions , e todos os
e
f´rmions elementares que s = 1 / 2 . Exemplos de f´rmions
e e
s˜o os el´trons e p´sitrons.[1]
a e o
1
ns = (4)
e( − F )/kT +1

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Eles sõ obrigados a ocupar os estados quˆnticos
a a
antisim´trico. Esta propriedade pro´ f´rmions a certos
e ıbe e
estados quˆnticos - uma restri¸õ conhecida como o princ´
a ca ıpio
de exclusõ de Pauli[1]
a

1
ψA = ψα (1)ψα (2) − ψα (2)ψα (1) (5)
2
ψt = ψe .ψspin = ψn,l,ml .ϕ±1/2 (6)

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

O momento magn´tico intr´
e ınseco µ de uma part´
ıcula
elementar com carga q , massa m e momento angular de spin
S,´e
q
S µ=g (7)
2m
onde a quantidade adimensional g ´ chamado de fator-g.
e

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Na mecˆnica cl´ssica, o momento angular de uma part´
a a ıcula
possui nõ s´ uma magnitude (o quõ r´pido o corpo est´ em
a o a a a
rota¸õ), mas tamb´m uma dire¸õ (para cima ou para baixo
ca e ca
no eixo de rota¸õ da part´
ca ıcula). Spin mecˆnico tamb´m
a e
cont´m informa¸˜es sobre a dire¸õ, mas de uma forma mais
e co ca
sutil

sz = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s (8)

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Intera¸õ Spin-Orbita
ca
Duplica o n´mero de el´trons por orbita (princ´ de
u e ´ ıpio
exclusõ).
a
O campo magn´tico interno ´ consequˆncia do momento
e e e
angular orbital do el´tron. Trata-se de uma intera¸õ fraca
e ca
que d´ origem a estrutura fina dos estados excitados
a

∆E = −µS B (9)
1 gS µb gS µb
∆E = S.B, µS = S (10)
2
1 1 dV (r )
∆E = S.L (11)
2m2 c 2 r dr

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Momento Angular Total
Se nõ existisse intera¸õ spin-orbita, os momentos angulares
a ca
orbital e de spin, L e S de um el´tron atˆmico seriam
e o
independentes um do outro e entõ obedeceriam
a
independentemente a lei de conserva¸õ de momento angular
ca
da mecˆnica quˆntica. Estaria no espa¸o livre -
a a c
movimentariam de forma aleat´ria.
o

J=L+S

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Para um dado estado quˆntico , pode-se pensar em um vetor
a
de spin S as componentes sõ valores esperados ao longo de
a
cada eixo de rota¸õ, ou seja
ca

S = sx , sy , s z (12)
Este vetor, entõ descreveria a ”dire¸õ” em que o spin est´
a ca a
apontando, o que corresponde ao conceito cl´ssico do eixo de
a
rota¸õ
ca
Operadores na mecˆnica quˆntica
a a

Sx = σx , Sy = σy , Sz = σz (13)
2 2 2

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Matrizes de Pauli (spin 1/2)[2]
0 1 0 −i 1 0
σx = , σy = , σz = (14)
1 0 i 0 0 −1
Como um conceito qualitativo, o vetor de spin ´e
frequentemente util porque ´ f´cil para a imagem cl´ssica. Por
´ e a a
exemplo, a mecˆnica quˆntica de spin podem apresentar
a a
fenˆmenos an´logos aos cl´ssicos efeitos girosc´pico. [4]
o a a o

c˜

Conceito de SPIN
ca o
co
Aplica¸˜es
co

Para os autovetores de Sx , Sy e Su denotamos
respectivamente, por |± x , |± y e |± u , na base de Sz com os
autovetores |±

1
|± x = √ |+ ± |− (15)
2
1
|± y = √ |+ ± i.|− (16)
2

θ θ
|+ u = cos e −iϕ/2 |+ + sin e iϕ/2 |− (17)
2 2
θ −iϕ/2 θ
|− u = − sin e |+ + cos e iϕ/2 |− (18)
2 2

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

O experimento de Stern-Gerlach, nomeado em homenagem a
Otto Stern e Walther Gerlach, ´ um experimento que foi
e
realizado em 1922 que mostra a deflexõ de part´
a ıculas
elementares, freqëntemente usado para ilustrar princ´
u ıpios
b´sicos da mecˆnica quˆntica
a a a
Planejaram um experimento para determinar se part´ ıculas tem
algum momento angular intr´ınseco

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

O experimento procurou determinar se part´ ıculas individuais
como el´trons tem algum momento angular de spin.
e
O experimento de Stern-Gerlach pode ser conduzido usando
part´ıculas neutras e a mesma conclus˜o ´ obtida, uma vez que
a e
foi designado para testar momento angular, e n˜o fenˆmenos
a o
eletrost´ticos.
a

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

∆E = −µs B = −µsz B (19)
∆E = gs µb ms B (20)
∆E = ±gs µb B/2 (21)

∂Bz
Fz = − µb gs ms (22)
∂z
c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

Se a part´
ıcula viaja atrav´s de um campo nõ homogˆneo,
e a e
entõ a for¸a em um dipolo ser´ ligeiramente maior que a
a c a
for¸a oposta no outro extremo.
c
O ato de observa¸õ na mecˆnica quˆntica ´ equivalente `
ca a a e a
medi¸õ.
ca
Nosso dispositivo de observa¸õ ´ um detector e neste caso
ca e
n´s podemos observar um dos dois valores poss´
o ıveis,spin-up
ou spin-down
Eles sõ descritos pelo n´mero j, e a medi¸õ corresponde ao
a u ca
operador Jz . Em termos matem´ticos [1, 2]
a

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

|ψ = c1 |ψj=+ + c2 |ψj=− (23)
2 2

As constantes c1 e c2 s˜o n´meros complexos. A raiz quadrada
a u
de seus valores absolutos determina a probabilidade do estado
|ψ ser encontrado com um dos dois valores poss´ ıveis para j.

ψ|ψ = 1 (24)
Probabilidade de encontrar a part´
ıcula em cada estado ´ 0,5
e
1 1
c1 = √ c2 = √ (25)
2 2

c˜

Conceito de SPIN
Apareto e teoria
Impacto
Aplica¸˜es
co

A experiˆncia de Stern-Gerlach teve um dos maiores impactos
e
na f´
ısica moderna:
usando tćnicas similares, o nćleo de alguns ´tomos tem
e u a
tamb´m o momentum angular quantizado. Isto ´, a
e e
intera¸õ com o spin do el´tron que ´ respons´vel pela
ca e e a
estrutura hiperfina das linhas espectrosc´picas.
o
A observa¸õ direta do spin ´ a prova mais direta da
ca e
quantiza¸õ na mecˆnica quˆntica.
ca a a
Artigo cient´
ıfico: Improving students’ understanding of
quantum mechanics via the Stern-Gerlach experiment:
Guangtian Zhu, Chandralekha Singh

c˜

Conceito de SPIN
ca a
a e
Aplica¸˜es
co

Um computador quˆntico ´ um dispositivo que executa
a e
c´lculos fazendo uso direto de propriedades da mecˆnica
a a
quˆntica.
a
Uma part´ ıcula pode estar em dois ou mais estados ao mesmo
tempo. Uma famosa met´fora denominada o gato de
a
Schr¨dinger
o
Um qubit pode conter um ”1”, um ”0” ou uma sobreposi¸˜o ca
destes
Armazena informa¸ao bin´ria a partir de estados de spin.
c a

c˜

Conceito de SPIN
ca a
a e
Aplica¸˜es
co

c˜

Conceito de SPIN
ca a
a e
Aplica¸˜es
co

Sinal de ressonˆncia magn´tica nuclear:
a e

∗ −→
s ∝ ω0 d 3 re −t/T2 ( r ) M⊥ (→, 0)B⊥ (→) sin(ω0 t +θB −φ0 (→))
−
r −
r −
r
(26)
Leva magnetiza¸˜o de uma amostra (M⊥ ( r
ca →, t)) sobre um
−
campo B0 externo invariante no tempo.
Os spins da amostra tendem a se alinhar com o campo nos
n´
ıveis de energia gerados pelo efeito Zeeman. Dire¸˜o
ca
paralela e antiparalela.

c˜

Conceito de SPIN
ca a
a e
Aplica¸˜es
co

Condi¸oes b´sicas para MRI: [3]
c˜ a
Existˆncia de nćleos com spin nuclear (S = 0). Por
e u
exemplo: 1−3 H, 7 Li, 13 C , 31 P, . . .
Intera¸õ com campos magn´ticos:
ca e
Estacion´rio (B0 )
a De radiofrequˆncia (B1 )
e
Condi¸õ de ressonˆncia de B1 (ω1 ≈ ω0 = γB0 ) Rela¸õ
ca a ca
de Larmor

V
ρ0 γ 2 2 1 q
M⊥ (→, 0) =
−
r B0 M⊥ = µ γ=
4kT V 2m
(27)

c˜

Conceito de SPIN
ca a
a e
Aplica¸˜es
co

Eisberg, R.; Resnick, R. ”F´ ´
ısica Quˆntica - Atomos,
a
e o u ıculas”, 24a tiragem, ed.
Mol´culas, S´lidos, N´cleos e Part´
CAMPUS, Cap. 8, 9.
Cohen-Tannoudji, C.; Diu B.; Laloe F. ”Quantum
Mechanics”. vol. 1, ed. Wiley-VCH.
Haacke E. M.; Brown R. W.; Thompson M. R. ”Magnetic
Resonance Imaging - Physical Principles and Sequence
Design”, ed. Wiley-LISS. Cap. 1, 7
en.wikipedia.org /wiki/Spin% 28physics%29
pt.wikipedia.org /wiki/Computadorq u%C 3%A2ntico
pt.wikipedia.org /wiki/Experimentod eS tern − Gerlach
en.wikipedia.org /wiki/Magneticr esonancei maging

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