www.touscours.net, Groupes,Permutations,Anneaux,Arithmétique dans Z,Corps commutatif,Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K,Fonctions polynomiales,racines,Espaces vectoriels,K-algèbres,Espaces vectoriels de type fini,Matrices,Déterminants,Fractions rationnelles,Produit scalaire sur un R-ev,Espace vectoriel euclidien,R-ev euclidien orienté de dimension 2,R-ev euclidien orienté de dimension 3,Espaces affines,Géométrie dans un espace affine euclidien

1. = ! "
# $ %≥ $
ϕ " ∈$ $
⋅ &$'ϕ ' ( )() &
%
&$'ϕ
&$'ϕ ' $ ϕ $
! &
⊥ *&$' =ϕ
+ ,
, "
- , . $
! $ "
& /
# $
' & =
, 0 '
"
1 '. &
. &$"""$' % , , "
+ , &$"""$' % ,
[ ]
[ ] *$$
&$"""$'2&$"""$'2$$ %%
>⋅∈∀•
=∈∀•
3 , &$"""$' % ! (
&$"""$' % ! . "
' , &
touscours.net

2. %
#
3 , $ [ ]$∈ $ 4
5"
6 , ! ( 7 ,
&'2&'2 =• ' , λ= $ *≠λ *$* ≠≠ &
=• ' , =λ $ λ±= &
*>⋅• $ λ+= "
$ = " - , $
. [ ]$ −∈ " . &$"""$' % "
8 , ! ( + ,
&'&$"""$'2&$"""$'2 %% ++ =•
+• + &%'$ ≤≤
&9'=• +
&'*>⋅• ++
' & , + $ +≤≤
≤≤
+ ≤≤+=
$
$λ
*≠λ &$"""$'2&$"""$'2&$"""$'2 %%% ++ ==
+ ≤≤$ "
# +=
=
++ αλ "
$ +=
=
++ αλ $ ' &"
'%& , [ ] *$$ =⋅∈ + "
3 $ [ ] &"'$$ αλαλ +=⋅+⋅=⋅∈ +
=
++
*=⋅ ≠ $ $ ( "
$ [ ] ⋅−=∈∀ +$$ α
6 $ $ '%&"
'9& , =+ $ : ; ,
=
+ += αλ "
#
=
+ +
±=
α
λ
' *≠+
=
+ α &$"""$'2&$"""$'2 %% =∈+ &
6 $ λ $ '9&"
touscours.net

3. 9
' & + <$ ⋅+⋅=⋅
=
+++++ αλ "
3 $ *=⋅
=
+α + + ≤≤$ "
#
*>
++
=
++ ⋅=⋅ λ *>λ "
6 $ *>λ $ ' &"
, "
,
' & # $ +
'%& 1 = "
. &$"""$' % " $
&$"""$$"""$' % + " !
. $ &:$""":$:' % " 8 $ !
. , &$"""$'2 %= $ &:$""":'&$"""' = "
>&
. &$"""$' %= "
. ∈ $ &$"""$' % $ = %
"
. ∈ $ &$"""$' % $ = %
"
3 &'$
[ ]
&'' %
% &
$$
=×==⋅=⋅=⋅
=∈==
$ &'==⋅
=
"
$ &'%%
==⋅=
=
$ !
=
→
% &$"""$'
φ $ , $
?$
, " '? : ; , ⋅=⋅∈ &'&'$$ φφ $
&"
touscours.net

4. - ,
6 $ $ &$"""$' %= "
+ ,
"
$ ! ! ϕ
∈$ $ &$"""$' % &$"""$' % $
=
=&$'ϕ "
+
%
$ @&$'$&%$'A
%
" 3 &$' , %
"
. %
% &$' ∈= "
%%%%%%% &%'&'&'&%' −+−=−+−=+= "
$ &$' $
&$' % ! B $ !
%%%%
%%%%%%
%
99%
&%&'%'&&''&&$'&$$''
−−+
−−+−−==
→ϕ "
! "
#
& 3 ! ' &
. "
3 { }*$$ =⋅∈∀∈=⊥
"
⊥
$ ⊥
⊕= "
#
# C;$ ! ' &"
• . { }*= $ =⊥
$ ⊥
⊕= "
• . { }*≠ " 3 B $ ≤≤ "
. &$"""$' % "
3 &$"""$' %= " . ∈ $
&$"""$' % "
3 ,
[ ] [ ] *$$*$$
*$$"""$
*$
%
=∈∀⇔=⋅∈∀⇔
=⋅∈∀⇔
=⋅∈∀⇔∈
=
==
=
⊥
touscours.net

5. D! , C $ [ ]$∈
= [ ] { } *$E$ =∈∀ $ ! +
"
# &$"""$'2 %++
⊥
= $ ⊥
"
,
# $ =⊥⊥
&' "
$ C; , ⊥⊥
⊂ &' " # $ = $
−=⊥
&' $ &'&&'' ==−−=⊥⊥
" #!F ! "
>& C
#
. "
D C = C ⊥
"
∈ $ C $ &' C
"
⊥
$ &' ! , , !
+= &' $ F ⊥
∈ " ' ⊥
⊕= $ ∈∈ &'$ &
$ &' ! , , ⊥
∈− &' " $
∈ $
∈−
∈
⇔= ⊥
&' "
& # ! ;
#
. ∈ " ; $
&$' $ &$'&$'
∈
= "
D + $ { }∈&$$' '
&$ ' *&"
'# 0 ! $ ! &
1
. $ C "
. ∈* "
&' * ! , , &'&$' *** −= "
$ * $ $ , ! , &' * "
touscours.net

6. G
#
. ∈ "
%
***
%
* &'&' −+−=− "
3 $ ∈− &' * ∈∈ &'$ * B ⊥
∈− ** &' "
# *** &'&' −⊥− " $ ! (
%
**
%
*
%
***
%
* &'&'&'&' −+−=−+−=−
#!F *** &' −≥− $ !( , &' *= '
*&'&'
%
*
%
**
%
* ≠−=−−− &
#& .(
( ; $ ⊥
"
D ( ; = !
:::::: −+=
→⊕= ⊥
"
⊥
- , −= &'%&' $ F C "
. ( " 3 !,
( =∈∀⇔ &' "
.( , ,
#
. ( ; " ' F , ⊕= &"
. ∈ "
∈∈
+= $ −=&' "
#
%%%
% +⋅+=
%%%
%&' +⋅−= "
• . ⊥
= $ ⋅ C *" # =∈∀ &'
• . ⊥
≠ $ ∈∈ ::$: , *::: ≠⋅ " $
&'::: ∈+= $ , ≠&' " #!F !, "
touscours.net

7. H
$ % "
& I
1
D + (
⋅
→ $ F
∈ "
' & D ( ⋅ $
'%& . ?∈ $ + ,
⋅=∈∀ &'$ " ' , &'?&' = &
#
D ;
" +
. &$"""$' %= "
. ?∈ "
6 + ∈$"""$ % , $ ∈
&$"""$' % $ ⋅=+++= """&' %% $
=
= '
&"""' % $ ' &&" #!F !+ "
. + ∈:$ , ⋅=∈∀ &'$ ⋅= :&' $
*&:'$ =⋅−∈∀ ' ; &"
# { }*: =∈− ⊥
$ !F := "
>& J(
. ( " ( ! $ $
' $ !( K&"
3 $ + ∈ , ⋅=∈∀ &'$ "
$ { } { } [ ]⊥
==⋅∈==∈== &'2*$*&'$L "
# ⊥
= " 3 , ;
⊥
= $ =⊥
$ , ; "
- ,
. &$"""$' %= $
. , *"""%% =+++ $
%
; " $ !, M M *=⋅⇔∈ "
touscours.net

8. N
& C (
3 ( $ ; C
"
. ∈ "
⊥
∈∈
+= ::: $
∈=
=
λλ F$::
&':
"
# "&' λ+=
$
%
&'*
&' λ+⋅=⋅
∈=
#!F %
⋅
=λ $ $ ,
"::&' λ−=−=
. "&' %
⋅
−=
,
∈ $
⋅
=
⋅
=−= %
&'&$' "
#& - +
+ = ( ; ( "
+ $ ! $ = $ +
+ , "
#
+
. !( , ! :− $ +
!( " 3 C "
:&:'
&:'
:%%
:
%
&:'
::%
:
%
&:'
:
&:'
%&'%&'
%
%
%%
%
%
=−−−=
−−
⋅−
⋅−
−=
−−
+⋅−
⋅−
−=
−−
−
−⋅
−=−=
$ = $ =&:' "
. , ! + + + $ !( $ ,
==== &:'B:&'B&:'B:&'
touscours.net

9. O
3
# C;$ :− ; "
∈ $ C;
−=−=
−=−
:&'&'
&'
#!F −=− : "
# $ ∈
( ) ( )
−=−==
−−+−−−+=⋅−⋅=⋅−
::*
:::&:'
%%%
%
%%%
%
"
# &:'2 −=⊥
"
# = $ &:'2 −=⊥
# ⊥⊥
= $ !F = "
$ & #
& # $
. &'∈ "
&&'&$"""'&$'',
&$"""$'+6
' &MM
&&'&$"""'&$''
&$"""$'
'9&MM
&'$
'%&MM
&'&'$$
' &MM
%
%
%
%
⇔
⇔
=∈∀
⇔
⋅=⋅∈∀
⇔
#
&%'&' B ' &$ %%
&' =
&'&%' '%&"
. ∈$ "
( )
( )
( )
⋅=
−−+=
−−+=
−−+=⋅
%%%
%%%
%%%
%
&'&'&'
%
&'&'&'&'
%
&'&'
touscours.net

10. *
&9'&' ' &"
. &$"""$' % "
$ [ ] B&'&'$$$ δ=⋅=⋅∈
&'&9' + , ! ! "
&'&' ' &"
. &$"""$' %= , &&'&$"""'&$'': %=
"
. ∈$ $ &$"""$' % &$"""$' % "
=
=⋅ "
=
=⋅ &'&' ! $
&' &' ! &$"""$' % &$"""$' % , '
$
==
== &'&' &
- ,
. $ !
"
$
***&'*&' ==== " # { }*L = " # C $
C ' , &
# $
3 &' ! + " &'
( )&$' " 3 !
" D &'
"
#
&'6 ∈•
• . &'$ ∈ $ &'∈ &'∈−
=== &'&&''&&'' $ === −−−
&'&&''&' "
+
D ( &'
>& 8
1
. " . &'∈ $ &$'&' $ ==
≤≤
≤≤ "
⇔∈ &' &'$
⇔=⇔ =−
touscours.net

11. #
[ ]
[ ]
&"""'
$$$
&'&'$$$
&&'&$"""'&$''&'
$
$$$
$
%
⇔
=∈∀⇔
=⋅∈∀⇔
⇔∈
=
δ
δ
[ ]
=⇔
=⇔
=⇔=∈∀
−
=
$$$$$$ δ
#!F "
# $
. &'∈
⇔=⇔ =−
D! $ ' &' $ &' &$
&&$'' ×
. $ $
&$'= $ ∈⇔∈ &'
$ !
&$'
&' →φ
&&$'' &$' ×
# C;$ φ $ , &'∈ $ &$'
"
=•
×=×==•
&6'
&'&'&$'&$'&$'&'
φ
φφφ
• ! C ! ∈ $ &'∈ "
• ! C { }6L =φ
+
∈
−
− %
%
$
%
%
& # !
. &'∈ $ ±=
. ∈ $ ±=
touscours.net

12. %
#
. ∈ $
= $ &' = $ &'&' =× $ !F &' %
=
. &'∈ &$'= $ F "
±== "
# $
3 &' ! &'∈ , =
3 ! ∈ , &' = "
&' &&$'' $ !
" &$' × $ !
! ' $ ! K&
+ B $
$ !
&$'
&' → $ $
&' "
'- , &'E&' ! $ , −=
−= $ = K&
+
. ( ; , ,
" ' &"
&'∈ ' , &
3 ' M M $ M M
⊥
&
−
−
**
*
*
**
$ −
−= &'
2
&' P
" ' ' & &'E&' &
• D + C ' =− &
• D ( ; '
& %$ 9"
D &' ! "
touscours.net

13. 9
$ '
& 3 ! "
3 $ ! $ , ! $
, ! !
! *:>⇔
! *:<⇔
$ + ! !! $ ! !! = ' :
; + ' & & *::: >
::&:':::: :: ×=×= −
$ ,
+ = "
+
• %
. &$' $ &$' $ &$'− $ &$' −− "
'D 4 5 , ! + &
• 9
. &$$' $ &$$' $ &$$' $
&$$' − "
3 "
. &$"""$' % $ < $
"
#
3 &$"""$' % " $ &$"""$' % $
&$"""$' % − "
>&
. &$"""$' %= "
. &:$""":$:': %= $ ; !"
! ⇔ "
! = , ∈⇔
! ; E∈⇔ "
#
! $ , "
# $ [ ] ⋅=⋅∈ ::$$$ '
&$ !
&'$ " ' $ := $ !F Q &
touscours.net

14. $ ! $
; !$ !
∈
& +
. &'∈ $ &$"""$' %= "
3 C; , &&'&$"""'&$''&' %⇔∈ "
3 $
&&'&$"""''&' ⇔∈ = , "
&&'&$"""'&$''&'E&' %⇔∈
; "
#
. &&'&$"""'&$'': %= $ &:' = "
#& #
$
. "
. &$"""$' % "
&$"""$' % + $
! + $"""$ % $ , ! &$"""$' % [ ]$"""$ % "
#
. $ ! +
&$"""$'&$"""$' %
=
+
:$
:%: ×=
=
touscours.net