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Apostila geometria descritiva
Universidade Federal de Alagoas – UFAL
        Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – FAU




                           Realizadores
Orientadoras
       Patricia Hecktheuer
       Suzann Flávia Cordeiro de Lima
Monitor
       Daniel Aubert de Araujo Barros
Ilustrações
       Daniel Aubert de Araujo Barros
Sumário
Apresentação.................................................................................................................01
Introdução......................................................................................................................01
Instrumentos..................................................................................................................02
       1. Compasso........................................................................................................02
       2. Esquadros.......................................................................................................03
       3. Lapiseira.........................................................................................................04
Capítulo 1: Desenho Geométrico...................................................................................05
       1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta......................................05
       2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado........................06
       3. Triangulação...................................................................................................08
       4. Retas paralelas...............................................................................................09
       5. Como achar o centro de uma circunferência................................................10
       6/7. Dividindo um segmento de reta/circunferência em x partes.....................11
       8. Estrela regular.................................................................................................13
       9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.............................14
       10. Concordância de arcos..................................................................................15
       11. Concordância de segmentos de retas por um arco......................................17
       12. Triângulos: exercícios resolvidos..................................................................19
       Exercícios.............................................................................................................21
Capítulo 2: Vistas Ortográficas......................................................................................25
       Exercícios............................................................................................................27
Capítulo 3: Geometria Descritiva (Projeção Mongeana).............................................30
       1. Ponto na projeção mongeana........................................................................30
       2. Reta e segmento de reta em épura...............................................................32
               2.1 Tipos de reta......................................................................................33
       3. Planos em épura.............................................................................................36
               3.1 Tipos de plano...................................................................................37
       4. Objetos tridimensionais em épura................................................................39
       5. Planificação.....................................................................................................42
       Exercícios...........................................................................................................46
Respostas dos exercícios..............................................................................................50
       Capítulo 1............................................................................................................50
       Capítulo 2............................................................................................................54
       Capítulo 3............................................................................................................58
Apresentação
      Esta apostila tem o objetivo de agregar todos os assuntos
abordados pela disciplina de Geometria Descritiva da FAU – UFAL, de
uma maneira didática, com passo a passos e exercícios. Atividades e
tutoriais feitos pelos professores e monitores já existiam à disposição
dos alunos, porém separados, e às vezes não eram arquivados. Com
esta publicação, todo o conteúdo da disciplina poderá ser acessado
pelos estudantes mais facilmente.


            Introdução
      Este documento está dividido em três capítulos: o primeiro
apresenta como utilizar os instrumentos (compasso, esquadros,
escalímetro, etc.) para representações e soluções geométricas; o
segundo trata-se das vistas ortográficas, como obtê-las de um sólido
geométrico e como representá-las; e o terceiro introduz o conceito e
aplicação das projeções mongeanas, por meio da épura.




                                                                          1
Instrumentos


       Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deve
estar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumas
dicas:
       1. Compasso
a) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostar
nas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência.




b) Quando for gerar a circunferência,
deite o compasso um pouco na direção
da rotação, como mostra a figura ao lado.



c) Se possível, use minas um pouco duras,
como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, pois
são mais precisas do que as macias (B, 2B...), e
a geometria requer precisão.




                                                                        2
2. Esquadros
a) O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas...




b) ... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos.




O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para o
desenho técnico. Porém, o capítulo 1 (Desenho Geométrico), mostrará
como desenhar retas paralelas, perpendiculares, dentre outras, sem o
posicionamento dos esquadros, e sim com o compasso; um método
com menos chances de erros de instrumento.




                                                                           3
3. Lapiseira
a) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao ponto
de sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidade
da linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha.

b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha,
incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, ou
mantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário do
percurso do traço, pois pode quebrar a mina.




       Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiver
inclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme.




c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5
ou 0.3.




                                                                            4
Capítulo 1
               Desenho Geométrico

      Este capítulo consiste de passo a passos de como solucionar
diversos problemas geométricos, por exemplo como achar a mediatriz
de um segmento de reta, ou como encontrar o centro de uma
circunferência. São métodos necessários para os demais assuntos dessa
matéria e até convenientes em qualquer desenho técnico.

     1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta.


                                       Dado o segmento AB, coloque a ponta seca
                                       do compasso em A ou B. Abra um raio maior
                                       que a metade do segmento e trace um arco
                                       acima e abaixo deste.

                                       Obs.: Faça o arco com um linha fina, pois,
                                       além de ser apenas uma linha de
                                       construção, permite maior precisão no
                                       desenho.




  Faça o mesmo no outro ponto (com o mesmo raio de abertura do compasso). Ligue
  as intersecções dos arcos com um esquadro e marque o ponto médio ou trace a
  mediatriz.




                                                                               5
2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado.
2.1 Ponto contido no segmento (duas maneiras)

                                          a. Dado o segmento, prolongue-o a
                                          partir do ponto escolhido (nesse caso
                                          foi a extremidade B) para passar a
                                          perpendicular.

                                          b. Coloque a ponta seca do compasso
                                          no ponto, abra qualquer raio e faça
                                          um arco de cada lado, passando pelo
                                          segmento.




                                          c. Ponta seca nas intersecções dos
                                          raios com o segmento, então, como
                                          na mediatriz, abra um raio maior que
                                          a metade do segmento (o segmento
                                          de um arco ao outro) e marque um
                                          arco acima e abaixo da reta.




                                          d. Ligue as intersecções desses raios
                                          por uma reta. Esta será a
                                          perpendicular.




                                                                        6
Também pode ser feito da seguinte maneira:
      Com um raio qualquer de abertura do compasso, faça os
seguintes arcos (mantendo sempre o mesmo raio).




                                     e. Então é só ligar a última
                                     intersecção de raios com a
                                     extremidade do segmento de reta.




2.2 Ponto não contido no segmento.
                                                  b. Com a ponta seca em
                                                  C, abra o compasso até
                                                  a extremidade mais
                                                  próxima (B) e faça um
                                                  arco passando pelo
                                                  segmento. Se
                                                  necessário prolongue o
                                                  segmento.

                                           c. Então faça como na
                                           mediatriz: ponta seca
                                           nas extremidades; raio
                                           maior que a metade;
                                           arcos abaixo.

                                                                        7
Perceba que o processo de achar
                                      uma perpendicular a uma reta
                                      sempre precisará do método que
                                      acha a mediatriz, ou seja, é criado
                                      um novo segmento cuja mediatriz
                                      já será essa perpendicular.




        3. Triangulação.
  Necessária para redesenhar um mesmo triângulo em outra posição
  (figura abaixo), ou outra figura plana se dividida em triângulos; o que
  ajudará na Planificação (no capítulo 3).




                                                      b. Agora meça BC com o
                                                      compasso e passe o arco
a. Tendo o triângulo ABC, comece                      como na figura.
desenhando uma reta qualquer e
marcando um ponto (B). Então abra
um raio igual a um segmento que
contenha esse ponto (AB) e faça o
arco.
                                                         d. Termine o triângulo
                                                         ABC, que tem as
                                                         mesmas dimensões
                                                         daquele primeiro, porém
                                                         em outra posição.
                       c. Raio AC.



                                                                            8
4. Retas paralelas
Para desenhar uma reta paralela a outra dada deve-se tentar imaginar
um retângulo, quadrado ou um paralelogramo (o último é mais usado)
entre elas, numa posição que dois lados opostos estejam contidos nas
retas como mostram as figuras abaixo. Assim o processo ficará mais
fácil de se entender.




                                                b. Dado um segmento de
                                                reta, ou uma reta,
                                                coloque a ponta seca em
                                                qualquer ponto do
                                                segmento e faça um arco
                                                qualquer (essa será a
                                                medida de um lado do
                                                paralelogramo).




                                                     c. Faça o mesmo em
                                                     outro ponto (nesse caso
                                                     foram escolhidas as
                                                     extremidades) com o
                                                     mesmo raio.




                                                     d. O raio desse arco
                                                     equivale à diagonal do
                                                     paralelogramo. O ponto
                                                     onde os arcos se
                                                     encontram corresponde
                                                     a um vértice do
                                                     paralelogramo


                                                                       9
e. Abra o compasso com
                                                       um raio igual ao
                                                       segmento AB. Coloque a
                                                       ponta seca no vértice do
                                                       paralelogramo e marque
                                                       um arco como mostrado.




                                                       f. Ligue as intersecções
                                                       dos arcos. As retas
                                                       estarão paralelas.




      5. Como achar o centro de uma circunferência
Apenas trace duas cordas quaisquer, não paralelas, e suas mediatrizes; a
intersecção destas será o centro da circunferência.




                                                                        10
6. Dividindo um segmento de reta em x partes.
  O processo a seguir pode ser usado para dividi-lo em qualquer número
  de partes.




a. Trace uma reta adjacente ao segmento, de    b. Divida essa adjacente no número desejado
preferência com um ângulo agudo.               de partes. A unidade não importa; pode ser
                                               usado o escalímetro ou mesmo o compasso.




c. Ligue a última marcação com a               d. Usando o jogo de esquadros, faça as
extremidade do segmento.                       marcações em AB de maneira que sejam
                                               paralelas a essa última reta que liga a B,
                                               partindo das marcações da adjacente (não é
                                               necessário desenhar o tracejado).

        7. Dividindo uma circunferência em x partes.
  O processo a seguir pode ser usado para dividi-la em qualquer número
  de partes.




a. Trace o diâmetro na circunferência.   b. Como no item 6, divida o diâmetro no número de
                                         partes requerido; nesse caso seis partes.

                                                                                 11
c. Com a ponta seca do compasso nessas        d. Escolha as marcações ímpares ou pares
posições, abra um raio igual ao diâmetro e    do diâmetro e transfira-as para a
marque os arcos.                              circunferência partindo das intersecções
                                              dos arcos. (Não é necessário o tracejado).




e. Faça o mesmo partindo da outra             f. Se as marcações forem ligadas, terá um
intersecção de arcos. A circunferência está   polígono regular com o número de lados
dividida em seis partes iguais.               igual ao de partes da circunferência, inscrito
                                              nesta.




                                                                                    12
8. Estrela regular.
    O processo a seguir pode ser usado para criar estrelas com qualquer
    número de pontas, a partir de quatro.




a. A estrela deverá partir de uma         b. Partindo de uma marcação, faça
circunferência dividida igualmente. O     duas retas ligando a outros dois
número de pontas é equivalente ao         pontos que não estejam ao lado desta.
número de partes desta.                   Esses segmentos devem ser
                                          simétricos.




 e. Ambas as estrelas acima têm 12 pontas, porém os lados foram feitos pulando
 diferentes números de marcação. Na primeira, as marcações ligadas pularam
 apenas uma; já na segunda foram pulados três pontos para ligar as pontas. Tanto
 faz qual maneira será escolhida; o importante é manter a simetria.
                                                                                   13
9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.




a. Divida uma circunferência    b. Faça uma perpendicular ao    c. Trace pequenos segmentos
pelo número de lados do         diâmetro passando em uma        partindo das marcações até
polígono requerido.             das extremidades. *             encontrarem a perpendicular
                                                                (a reta deve passar pelo
                                                                centro). (Não é necessário
                                                                desenhar o tracejado).




d. Com o compasso, abra um        e. Faça os mesmos pequenos
raio do centro até essa nova      segmentos nas outras
intersecção com a                 marcações.
perpendicular e faça uma
circunferência.                                                 f. Ligue as intersecções dos
                                                                segmentos com a
                                                                circunferência maior.


                                      g. Por fim, escureça a
                                      circunferência de dentro para
                                      enaltecer que o polígono está
                                      circunscrito a ela.




    * Para fazer desta maneira, que é mais fácil, divida a circunferência de modo que as
    divisões dela não estejam na extremidade do diâmetro. Deixe pelo menos uma dessas
    extremidades sem ser uma divisória da circunferência.
                                                                                    14
10. Concordância de arcos.




 Dado o arco, deve-se desenhar uma reta passando pelo centro e por uma
 extremidade do arco. Nesta reta deve estar contido o centro do outro arco,
 senão não estarão concordando, ou seja, se tangenciando.




 Posicione a ponta seca em qualquer ponto da reta, sendo que depois da
 extremidade, abra o raio até encontrar com B e faça o arco. Se for pedido um
 raio específico para a circunferência deste arco, a distância de B até o novo
 centro deve ter a medida do raio.

10.1 Concordar dois arcos passando por um ponto dado.




a. Dados o arco e o ponto, faça como no item anterior: trace uma reta
partindo de O e passando em B.

                                                                                 15
b. O segmento BC é uma corda da circunferência do novo arco...




c. ... Portanto a intersecção de sua mediatriz com a reta prolongada consiste no
novo centro (ver item 5).




d. Com a ponta seca nessa intersecção, abra o raio até B e faça o arco.




                                                                                   16
11 Concordância de segmentos de retas por um arco.
11.1 Segmentos paralelos.

                                          a. Dados dois segmentos de reta,
                                          desenhe uma perpendicular
                                          passando pelas extremidades
                                          (estas devem estar na mesma
                                          vertical senão o arco não
                                          concordará).



                                          b. Com a ponta seca no ponto médio
                                          da perpendicular (ver item 1), abra o
                                          raio até uma das extremidades (B ou
                                          D) e faça o arco



11.2 Segmentos oblíquos ou ortogonais, sem raio dado.




                                      b. Prolongue os segmentos até se
                                      intersectarem.




c. Com a ponta seca na intersecção,   d. Os segmentos deverão terminar
abra um raio qualquer e marque os     nesses arcos.
dois arcos.
                                                                             17
e. Passe perpendiculares a cada        f. Abra o raio do centro até B ou D e
segmento a partir de B e D. A          faça o arco.
intersecção destas será o centro da
circunferência do arco.


  11.3 Segmentos oblíquos ou ortogonais, com raio dado.




                                         b. Prolongue os segmentos até se
                                         intersectarem.




  c. Faça uma perpendicular em cada    d. Desenhe paralelas às semi-retas A
  segmento, em qualquer posição e      e C partindo das extremidades dessas
  com a dimensão do raio pedido para   perpendiculares.
  a circunferência do arco.



                                                                               18
e. Se passadas duas perpendiculares       f. Com a ponta seca nessa posição
 às semi-retas a partir desta              faça o arco, concordando os
 intersecção (centro da                    segmentos.
 circunferência), encontraremos os
 pontos B e D, que definem os
 segmentos AB e CD.


       12 Triângulos: exercícios resolvidos.
12.1 Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura 3cm, AB 5cm e o
ângulo  45°.




a. Comece aplicando os dados da          b. Desenhe uma perpendicular a AB
questão.                                 passando em A com 3 cm de altura.




             c. Na extremidade dessa perpendicular, trace
             uma paralela a AB até encontrar a reta
             inclinada a 45°. Este é o ponto C. Feche o
             triângulo.

                                                                               19
12.2 Desenhe um triângulo isósceles com altura 2 cm e com um ângulo
   de 120°.




a. Faça uma reta de 2 cm.        b. Já que o triângulo é isósceles e tem um ângulo de
                                 120°, sabemos que o vértice desse ângulo está numa
                                 das extremidades da altura, pois os outro dois ângulos
                                 serão equivalentes entre si e não pertencerão a essa
                                 altura. Então posicione o esquadro de 60° fazendo duas
                                 retas de 60° com a altura, uma pra cada lado, somando
                                 os 120°.




                                                 d. Faça uma perpendicular à altura a
                                                 partir de sua outra extremidade,
                                                 fechando o triângulo.

   12.3 Dados apenas os ângulos  60° e B 75° de um triângulo e AB igual a
   3cm, construa-o.




a. Desenhe o segmento AB
com 3 cm.
                            b. Com o esquadro de 60°
                            transfira esse ângulo para
                            A, fazendo uma reta.         c. Portanto use o esquadro
                            Nesta estará contido o       de 45° para achar o último
                            ponto C. Já que a soma       ponto (C), deslizando-o
                            dos ângulos internos de      pela semi-reta A até que se
                            um triângulo é 180°, o       posicione como mostra a
                            outro ângulo é 45°.          imagem. Isso chama-se
                                                         enquadramento.
                                                                                       20
Exercícios
1. Faça uma reta perpendicular ao segmento AB passando por B




2. Faça uma reta perpendicular ao segmento XY passando pelo centro
do triângulo. Lembrando: o centro do triângulo é achado com a
intersecção de suas bissetrizes (reta que divide o ângulo em duas partes
iguais).




3. Desenhe o triângulo ABC em outra posição.




                                                                      21
4. Desenhe uma reta paralela ao segmento AB passando por C.




5. Faça uma reta paralela ao segmento XY passando pelo centro da
circunferência dada.




6. Divida o segmento abaixo em 13 partes.




7. Divida a circunferência abaixo em 10 partes.




                                                                   22
8. Faça uma estrela de 14 lados.

9. Faça um polígono de 7 lados circunscrito a uma circunferência de raio
3 cm.

10. Faça uma estrela de 5 pontas circunscrita a uma circunferência de
raio 2 cm

11. Concorde o arco OAB com outro que contenha o ponto C.




12. Concorde 2 segmentos, cada um pertencendo a uma reta abaixo, por
um arco de circunferência .




13 Faça o mesmo que a questão anterior, porém usando uma
circunferência de raio 2 cm.




                                                                        23
14. Concorde o segmento abaixo com um arco de circunferência que
contenha o ponto C.




15. Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura (perpendicular a
AB) 4cm, AB 2cm e o ângulo  75°.

16. Desenhe um triângulo isósceles com altura 4 cm e com apenas um
ângulo de 45°.

17. Dados apenas os ângulos  30° e B 105° de um triângulo e AB igual a
3cm, construa-o.




                                                                        24
Capítulo 2
               Vistas Ortográficas

      Trata-se da representação bidimensional de um objeto projetada
ortogonalmente em seis planos. Estes são posicionados ao redor do
objeto, formando um cubo, para assim serem obtidas as projeções.




      Porém, esta imagem é apenas didática. A maneira correta de
representar as vistas é planificando esse cubo. Portanto as vistas dessa
pirâmide devem ficar assim:


                                                  As linhas tracejadas
                                                  compreendem as arestas
                                                  do cubo que envolve o
                                                  objeto. Porém, estas linhas
                                                  NÃO DEVEM ser
                                                  representadas, pois
                                                  qualquer reta em vistas
                                                  ortográficas representa
                                                  uma aresta ou um plano
                                                  ortogonal ao de projeção.

                                                                         25
As distâncias entre as vistas
                                                                   devem ser iguais, facilitando
                                                                   a transferência de medidas;
                                                                   como mostra a imagem: da
                                                                   vista lateral direita para a
                                                                   vista superior.


                                            Note também que as linhas tracejadas
                                            representam arestas. Porém estas
                                            estão por trás de um plano do próprio
                                            objeto, ou seja, são arestas
                                            escondidas e devem ser
                                            representadas tracejadas.


             Exemplos de objetos com planos curvos:

                                                   Na vista lateral esquerda não aparecem
                                                   arestas ligando os planos porque estes
                                                   estão concordando, ou seja, estão se
                                                   tangenciando.



                                        Já na vista superior aparece uma reta
                                        que não está no sólido. Esta não é uma
                                        aresta, mas sim o plano em S quando
                                        está perpendicular à vista.


Para escolher a vista frontal (seja um objeto
com plano curvo ou não) sempre use os
seguintes requisitos: a que identifica mais
aquele objeto; a maior; e com menos arestas
escondidas.


         Note que na posição em que o plano
         curvo fica ortogonal a vista, surge uma
         aresta; como a tracejada da VLE.




                                                                                                   26
Exercícios
1. Dadas as duas vistas ortográficas abaixo de um sólido, faça a vista
superior e a inferior do mesmo.




                   VF               VLE
2. Dos seguintes sólidos, represente:
(Lembre-se de manter a proporção nas vistas)


a) todas as vistas.                       b) VF,VS, VLD.




c) VF, VS, VLD.                         d) VF, VS, VLE.




Obs.: Mesmo que alguns sólidos não venham com as medidas ao lado,
tente percebê-las para ajudar a manter a proporção.




                                                                         27
e) VF, VS, VLD.                    f) VF, VS, VLE.




g) VF, VS, VLE.                    h) VF, VS, VLD.




i) apenas as vistas necessárias.   j) VF, VS, VLE.




k) VF, VS, VLD.                    l) VF, VI, VLE.




                                                     28
m) VF, VS, VLD.




                                                    Dois pontos de vista do
                                                    mesmo sólido.




n) todas as vistas.                  o) VF, VS, VLD.




3. Identifique erros nas vistas ortográficas do sólido abaixo. Refaça as
vistas da maneira correta. Escala e unidade livres.




4. Faça todas as vistas do sólido abaixo.




                                                                           29
Capítulo 3
               Geometria Descritiva (Projeção Mongeana)

      Este assunto assemelha-se ao anterior, porém usaremos apenas
dois planos de projeção (às vezes será necessário um plano auxiliar) e
serão usadas coordenadas para os pontos projetados. Os planos de
projeção correspondem a um diedro. Existem quatro, mas a ABNT
adota apenas o primeiro (imagem abaixo), portanto usaremos apenas
este.




       1 Ponto na projeção mongeana.
Já que os objetos estão no espaço, pertencem a um sistema
tridimensional, portanto serão usadas três coordenadas. São a Abscissa
(distância do ponto para π0), o Afastamento (distância do ponto para
π2), e a Cota (distância do ponto para π1). π0 é o plano auxiliar que
posiciona-se perpendicular ao vertical e ao horizontal, passando pela
origem (como mostra a imagem a seguir).




                                                                         30
Mas como nas vistas ortográficas, a representação deve ser feita
em duas dimensões. Portanto o resultado é a planificação desse diedro,
e chama-se Épura.




                                                As linha finas são apenas de
                                                construção, mas mostram
                                                como deve haver uma
                                                correspondência entre as
                                                projeções.




                                                                        31
O resultado, sem todas
                                                  aquelas informações, deve
                                                  ficar assim. Porém quando
                                                  você fizer linhas de
                                                  construção não apague-as,
                                                  pois mostra quais os passos
                                                  usados para chegar naquele
                                                  resultado. E lembre-se que
                                                  devem ser linhas claras, pois
                                                  também usaremos retas em
                                                  épura, e elas não devem ser
                                                  confundidas.




      2 Reta e segmento de reta em épura.
Segmento de reta é a simples ligação de dois pontos. Já a reta deve ser
representada como se fosse infinita, ou seja, não deve ter pontos
limitando-a.
      Segmento de reta:                     Reta:




     Perceba que a reta deve ser representada apenas por uma letra
minúscula.



                                                                         32
2.1 Tipos de reta.
   Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela
   receberá denominações diferentes. Existem sete tipos.

       Reta frontal



                                                 A reta é paralela a π2,
                                                 oblíqua a π1 e π0.
                                                 Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                                 em π2, e em Projeção Reduzida em π1
                                                 e π0.




Obs.:
Verdadeira Grandeza (VG) – Quando a projeção tem a mesma dimensão do objeto real.
Ocorre quando o objeto está paralelo àquele plano de projeção.
Projeção Reduzida (PR) – Quando a projeção é menor que o objeto real, porém não chega a
ser o mínimo, como um ponto. Ocorre quando o objeto está oblíquo àquele plano de
projeção.
Projeção Acumulada (PA) – Quando uma dimensão do objeto do objeto está resumida a um
ponto na projeção, ou seja, quando o objeto está ortogonal ao plano de projeção

       Reta horizontal



                                               A reta é paralela a π1,
                                               oblíqua a π2 e π0.
                                               Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                               em π1, e em Projeção Reduzida em π2
                                               e π0.




                                                                                 33
Reta fronto-horizontal



                         A reta é paralela a π1 e π2,
                         e ortogonal a π0.
                         Portanto está em Verdadeira Grandeza
                         em π1 e π2, e em Projeção Acumulada
                         em π0.

                           Este símbolo é usado para mostrar que
                           dois ou mais pontos estão acumulados
                           no mesmo ponto de projeção.


Reta vertical




                         A reta é paralela a π0 e π2,
                         e ortogonal a π1.
                         Portanto está em Verdadeira Grandeza
                         em π0 e π2, e em Projeção Acumulada
                         em π1.




Reta de perfil




                         A reta é paralela a π0,
                         e oblíqua a π1 e π2.
                         Portanto está em Verdadeira Grandeza
                         em π0, e em Projeção Reduzida em π1
                         e π2.




                                                          34
Reta de topo




                                       A reta é paralela a π1 e π0,
                                       e ortogonal a π2.
                                       Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                       em π1 e π0, e em Projeção Acumulada
                                       em π2.




   Reta oblíqua




                                        A reta é oblíqua a π1, π0 e π2.
                                        Portanto está em Projeção Reduzida
                                        em π1, π0 e π2.




      Tabela de posicionamento dos tipos de reta
 Tipos de reta           π1               π2                   π0
     Frontal               PR               VG                   PR
   Horizontal              VG               PR                   PR
Fronto-Horizontal          VG               VG                   PA
     Vertical              PA               VG                   VG
      Perfil               PR               PR                   VG
      Topo                 VG               PA                   VG
     Oblíqua               PR               PR                   PR

Legenda:
   : oblíqua;     : ortogonal;   : paralela.

                                                                        35
3 Planos em épura
Um plano pode ser representado ou subentendido de diversas formas
em épura, não apenas por uma figura plana. Como:

   Por três pontos não colineares         Uma reta e um ponto




   Uma figura plana                       Pelos traços do plano




Obs.: Traço de um plano é a reta gerada quando o plano intersecta os
planos de projeção

Este seria o plano desses
últimos traços:




                                                                       36
3.1 Tipos de planos. Como as retas, também existem sete.
    Frontal



                                        O plano é paralelo a π2,
                                        e ortogonal a π0 e π1.
                                        Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                        em π2, e em Projeção Acumulada em
                                        π0 e π1.




   Horizontal




                                        O plano é paralelo a π1,
                                        e ortogonal a π0 e π2.
                                        Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                        em π1, e em Projeção Acumulada em
                                        π0 e π2.




   Perfil



                                       O plano é paralelo a π0,
                                       e ortogonal a π1 e π2.
                                       Portanto está em Verdadeira Grandeza
                                       em π0, e em Projeção Acumulada em
                                       π1 e π2.




                                                                       37
Vertical



            O plano é ortogonal a π1,
            e oblíquo a π0 e π2.
            Portanto está em Projeção Acumulada
            em π1, e em Projeção Reduzida em π0
            e π2.




Rampa



            O plano é ortogonal a π0,
            e oblíquo a π1 e π2.
            Portanto está em Projeção Acumulada
            em π0, e em Projeção Reduzida em π1
            e π2.




Topo




           O plano é ortogonal a π2,
           e oblíquo a π1 e π0.
           Portanto está em Projeção Acumulada
           em π2, e em Projeção Reduzida em π1
           e π0.




                                           38
Oblíquo



                                             O plano é oblíquo a π1, π0 e π2.
                                             Portanto está em Projeção Reduzida
                                             em π1, π0 e π2.




Tabela de posicionamento dos tipos de plano
 Tipos de plano        π1                 π2                          π0
     Frontal              PA                VG                          PA
    Horizontal            VG                PA                          PA
      Perfil              PA                PA                          VG
     Vertical             PA                PR                          PR
     Rampa               PR                 PR                          PA
      Topo                PR                PA                          PR
     Oblíquo              PR                PR                          PR

     4 Objetos tridimensionais em épura
   Superfícies planas – Cubos, paralelepípedos, pirâmides.




 Obs.: Perceba que, como nas vistas ortográficas, linhas tracejadas representam
 segmentos de reta escondidos (atrás de um plano).

                                                                                  39
Superfícies de revolução – Cones, cilindros, esferas e troncos.
       São aquelas formadas pela rotação de um plano ao longo de um
eixo, como mostram as figuras:
Cone



                                                  O cone é obtido pela rotação
                                                  de uma triângulo.




                         Quando o vértice pode ser definido,
                         como no cone, o objeto possui vértice
                         próprio.

Cilindro



                                                  O cilindro é obtido pela rotação
                                                  de uma retângulo/quadrado.




                        Quando o vértice está no infinito,
                        como no cilindro, o objeto possui
                        vértice impróprio.

Esfera



                                                 A esfera é obtida pela rotação
                                                 de um semi-círculo.




                                                                            40
As retas finas nas épuras dessas superfícies representam as
geratrizes dos volumes (não é obrigatória sua representação nos
exercícios). Estas são as retas que ligam a diretriz ao vértice, formando
a superfície lateral do objeto. A diretriz por sua vez é a circunferência
que direciona as geratrizes, por isso possui esse nome (normalmente
corresponde à base do objeto).
      O eixo da superfície é a reta que liga o centro de sua base ao
vértice. Percebe-se que nos últimos exemplos o eixo forma 90° com a
base, portanto são considerados de eixo reto.




                                 Exemplo de superfície de eixo oblíquo.




Troncos - São superfícies de vértice próprio, porém chanfradas entre a
base e o vértice, de maneira que este último não se encoste à superfície.

        Tronco de pirâmide.                 Tronco de cone.




                                                                          41
5 Planificação
 Seu objetivo é posicionar todas as faces de uma superfície sobre um
 mesmo plano, resultando numa figura inteiramente em verdadeira
 grandeza. Portanto, dada a superfície, o primeiro passo é achar a
 verdadeira grandeza de todas suas arestas, caso já não estejam em VG.

 Para perceber se uma reta está
 em VG em tal plano, digamos
 π1, é necessário verificar em
 um dos outros planos,
 usaremos π2, se ela está
 paralela a tal plano. No caso ao
 lado perceba que em π2 a reta
 está paralela a linha de terra,
 portanto está paralela a π1 e
 em VG no mesmo.
                                           Ou então se ela estiver em PA
                                           no outro plano (π2), e nesse
                                           (π1) estiver representada como
                                           um reta, com certeza esta
                                           estará em VG.]
                                           Obs.: o mesmo pode ser feito
                                           para π0, porém ao invés de se
                                           basear pela linha de terra deve-
                                           se usar a reta perpendicular a
                                           esta que passa pela origem,
                                           sempre usada quando
                                           necessário esse plano auxiliar.

Para facilitar: o único tipo de reta que
não possui VG em nenhum dos três
planos de projeção é a oblíqua.


   Usaremos esse tronco de
   pirâmide como exemplo de
   planificação.




                                                                              42
1° Passo:


     Como já foi dito, deve-se saber
     quais segmentos de reta não
     estão em VG. Portanto AD e CF.
     Porém, nesse processo de
     planificação, é usada a
     triangulação para desenhar
     cada face da superfície, como
     veremos a frente, e este objeto
     possui faces quadriláteras,
     portanto deve-se usar a
     diagonal de cada face
     quadrilátera (formando
     triângulos). O que significa que
     se estas não estiverem em VG,
     suas verdadeiras grandezas
     também terão de ser achadas.



     Por sorte, AD é igual a CF, e a diagonal BD é igual a EF. Assim só teremos de
     achar a VG de uma de cada par.


   2° Passo:

      Deve-se achar a VG de cada segmento de reta oblíquo. A seqüência de imagens
mostra como fazê-lo.




                                             AD foi escolhido. Passa-se uma reta
                                             horizontal em um dos pontos, no caso
                                             D (em π1 ou em π2).




                                                                                     43
Essa horizontal deve sair do ponto que   A distância dessa intersecção ao ponto
foi rotacionado, nesse caso: A.          D1 é a VG de AD.

3° Passo:
      Depois de achadas todas as VGs, deve-se começar a fazer a planificação fora
da épura, de preferência em uma folha avulsa. A seqüência de imagens mostra
como montar, por triangulação, a superfície planificada.




            Comece desenhando uma das faces. E continue face por face.




                                                                                  44
Continuando com a triangulação para achar cada face, obtém-se a
planificação completa.




     Obs.: A posição das faces poderia ser diferente, se mantido o mesmo
método de triangulação usando somente as verdadeiras grandezas. Como assim:




      A planificação continua correta, porém com outra configuração.

                                                                              45
Exercícios
            Para todas questões: Escala 1:1 / Un.: mm

1. Desenhe em épura uma superfície cuja diretriz é uma circunferência
de centro O (50;50;00), raio 20mm, contida no plano horizontal de
projeção. Sabe-se que uma de suas geratrizes é o segmento de reta
frontal definido por Z (30;50;00) e Y (30;50;25).

2. Planifique as seguintes superfícies desenhadas em épura.
a)Prisma de base hexagonal. b)Prisma de base triangular.

3. Represente, em épura, uma pirâmide de base quadrangular, sabe-se
que esta base pertence a um plano horizontal de cota 20mm.

4. Represente uma superfície com eixo oblíquo e de vértice impróprio
em épura. Sua diretriz deve ser uma circunferência.

5. Represente em épura uma superfície de vértice próprio cuja diretriz é
a circunferência de centro O (40;50;30).

6. Desenhe e planifique a superfície cúbica cujos vértices são:
A (60;60;10) B (60;20;10) C (20;20;10) D (20;60;10) E (60;60;50)
F (20;60;50) G (60;20;50) H (20;20;50)

7. Desenhe e planifique a superfície de base ABC e vértice V.
A (20;10;30) B (30;10;10) C (10;10;10) V (20;30;20)

8. Represente em épura um plano horizontal por 2 retas concorrentes.

9. Represente em épura um plano vertical por um segmento de reta e
um ponto não pertencente a este.




                                                                        46
10. Represente em épura um plano de perfil por segmentos de reta nele
contidos.

11. Represente em épura um plano frontal por três pontos não
colineares.

12. Planifique os seguintes poliedros:
a)




A (60;25;00) B (60;40;00) C (30;40;00) D (30;25;00) E (15;40;40) F (00;40;40)
G (00;10;40) H (15;10;40)




                                                                                47
b)          A (60;15;00) B (60;30;00)
            C (30;15;00) D (30;30;00)
            E (28;??;24) F (28;??;24)
            G (??;??;20) H (??;??;20)
            V (00;56;45)




c)




     A (10,20,00) B (10,20,20)
     C (18,12,00) D (18,12,20)
     E (30,24,32) F (22,32,32)
     G (40,34,22) H (32,42,22)




                                   48
d)




                                           A (30,05,20) B (30,05,00)
                                           C (25,21,20) D (25,21,00)
                                           E (40,15,00) F (35,7.5,20)
                                           G (15,10,20) H (20,18,00)
                                           I (20,??,00) J (15,15,20)
                                           K (40,10,00) L (35,17,20)




13) QUAL dos seguintes segmentos de reta não pertence ao plano que
contém os demais segmentos?
AB: A(40;10;30) B(40;40;30)
CD: C(00;00;30) D(30;50;30)
EF: E(60;30;30) F(60;50;60)
GH: G(70;25;30) H(10;25;30)

14) Desenhe o resultado de um cubo cortado por um plano vertical, de
maneira que a parte que sobrar deste cubo seja a mais distante da
origem. O cubo tem abscissa 10mm, afastamento 20mm e cota 20mm,
suas faces tem 30mm x 30mm e são paralelas aos planos de projeção; o
plano vertical faz 45º com π2 e π0 e corta o cubo exatamente ao meio.

15) Desenhe um cone cuja base pertença a um plano de topo. O plano
faz 30º com π1e seu traço neste plano de projeção tem abscissa 60mm;
o cone tem altura 45mm, eixo reto, e sua base tem raio 15mm, e centro
com afastamento 30mm e cota sendo metade da cota do traço em π0.




                                                                        49
Respostas dos exercícios
          Capítulo 1

1.




2.                              3.




4.                              5.




6.




                                     50
7.




8.

     Obs.: Apesar que a
     estrela deva ter 14
     pontas, estas podem ser
     mais apontadas do que
     nesta resposta.




9.




                               51
10.




11.




12.   13.




            52
14.




15.




16.




17.




      53
Capítulo 2

1.




2. a)                b)




c)                   d)




                          54
e)        f)




g)         h)




i)   j)




                55
k)   l)




m)




n)




o)




          56
3.




4.




     57
Capítulo 3
1.




2. a)                    Planificação:




                     0




b)                       Planificação:




              0




                                         58
3.




4.




5.




     59
6.




Obs.: desenho em reduzido.



                             60
7.




     Planificação:




8.




                     61
9.




10.




11.




      62
12. a)




         63
b)




c)




d)




     64
13. O segmento EF.

14.




                     65
15.




      66

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Apostila geometria descritiva

  • 2. Universidade Federal de Alagoas – UFAL Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – FAU Realizadores Orientadoras Patricia Hecktheuer Suzann Flávia Cordeiro de Lima Monitor Daniel Aubert de Araujo Barros Ilustrações Daniel Aubert de Araujo Barros
  • 3. Sumário Apresentação.................................................................................................................01 Introdução......................................................................................................................01 Instrumentos..................................................................................................................02 1. Compasso........................................................................................................02 2. Esquadros.......................................................................................................03 3. Lapiseira.........................................................................................................04 Capítulo 1: Desenho Geométrico...................................................................................05 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta......................................05 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado........................06 3. Triangulação...................................................................................................08 4. Retas paralelas...............................................................................................09 5. Como achar o centro de uma circunferência................................................10 6/7. Dividindo um segmento de reta/circunferência em x partes.....................11 8. Estrela regular.................................................................................................13 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.............................14 10. Concordância de arcos..................................................................................15 11. Concordância de segmentos de retas por um arco......................................17 12. Triângulos: exercícios resolvidos..................................................................19 Exercícios.............................................................................................................21 Capítulo 2: Vistas Ortográficas......................................................................................25 Exercícios............................................................................................................27 Capítulo 3: Geometria Descritiva (Projeção Mongeana).............................................30 1. Ponto na projeção mongeana........................................................................30 2. Reta e segmento de reta em épura...............................................................32 2.1 Tipos de reta......................................................................................33 3. Planos em épura.............................................................................................36 3.1 Tipos de plano...................................................................................37 4. Objetos tridimensionais em épura................................................................39 5. Planificação.....................................................................................................42 Exercícios...........................................................................................................46 Respostas dos exercícios..............................................................................................50 Capítulo 1............................................................................................................50 Capítulo 2............................................................................................................54 Capítulo 3............................................................................................................58
  • 4. Apresentação Esta apostila tem o objetivo de agregar todos os assuntos abordados pela disciplina de Geometria Descritiva da FAU – UFAL, de uma maneira didática, com passo a passos e exercícios. Atividades e tutoriais feitos pelos professores e monitores já existiam à disposição dos alunos, porém separados, e às vezes não eram arquivados. Com esta publicação, todo o conteúdo da disciplina poderá ser acessado pelos estudantes mais facilmente. Introdução Este documento está dividido em três capítulos: o primeiro apresenta como utilizar os instrumentos (compasso, esquadros, escalímetro, etc.) para representações e soluções geométricas; o segundo trata-se das vistas ortográficas, como obtê-las de um sólido geométrico e como representá-las; e o terceiro introduz o conceito e aplicação das projeções mongeanas, por meio da épura. 1
  • 5. Instrumentos Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deve estar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumas dicas: 1. Compasso a) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostar nas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência. b) Quando for gerar a circunferência, deite o compasso um pouco na direção da rotação, como mostra a figura ao lado. c) Se possível, use minas um pouco duras, como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, pois são mais precisas do que as macias (B, 2B...), e a geometria requer precisão. 2
  • 6. 2. Esquadros a) O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas... b) ... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos. O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para o desenho técnico. Porém, o capítulo 1 (Desenho Geométrico), mostrará como desenhar retas paralelas, perpendiculares, dentre outras, sem o posicionamento dos esquadros, e sim com o compasso; um método com menos chances de erros de instrumento. 3
  • 7. 3. Lapiseira a) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao ponto de sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidade da linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha. b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha, incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, ou mantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário do percurso do traço, pois pode quebrar a mina. Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiver inclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme. c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5 ou 0.3. 4
  • 8. Capítulo 1 Desenho Geométrico Este capítulo consiste de passo a passos de como solucionar diversos problemas geométricos, por exemplo como achar a mediatriz de um segmento de reta, ou como encontrar o centro de uma circunferência. São métodos necessários para os demais assuntos dessa matéria e até convenientes em qualquer desenho técnico. 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta. Dado o segmento AB, coloque a ponta seca do compasso em A ou B. Abra um raio maior que a metade do segmento e trace um arco acima e abaixo deste. Obs.: Faça o arco com um linha fina, pois, além de ser apenas uma linha de construção, permite maior precisão no desenho. Faça o mesmo no outro ponto (com o mesmo raio de abertura do compasso). Ligue as intersecções dos arcos com um esquadro e marque o ponto médio ou trace a mediatriz. 5
  • 9. 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado. 2.1 Ponto contido no segmento (duas maneiras) a. Dado o segmento, prolongue-o a partir do ponto escolhido (nesse caso foi a extremidade B) para passar a perpendicular. b. Coloque a ponta seca do compasso no ponto, abra qualquer raio e faça um arco de cada lado, passando pelo segmento. c. Ponta seca nas intersecções dos raios com o segmento, então, como na mediatriz, abra um raio maior que a metade do segmento (o segmento de um arco ao outro) e marque um arco acima e abaixo da reta. d. Ligue as intersecções desses raios por uma reta. Esta será a perpendicular. 6
  • 10. Também pode ser feito da seguinte maneira: Com um raio qualquer de abertura do compasso, faça os seguintes arcos (mantendo sempre o mesmo raio). e. Então é só ligar a última intersecção de raios com a extremidade do segmento de reta. 2.2 Ponto não contido no segmento. b. Com a ponta seca em C, abra o compasso até a extremidade mais próxima (B) e faça um arco passando pelo segmento. Se necessário prolongue o segmento. c. Então faça como na mediatriz: ponta seca nas extremidades; raio maior que a metade; arcos abaixo. 7
  • 11. Perceba que o processo de achar uma perpendicular a uma reta sempre precisará do método que acha a mediatriz, ou seja, é criado um novo segmento cuja mediatriz já será essa perpendicular. 3. Triangulação. Necessária para redesenhar um mesmo triângulo em outra posição (figura abaixo), ou outra figura plana se dividida em triângulos; o que ajudará na Planificação (no capítulo 3). b. Agora meça BC com o compasso e passe o arco a. Tendo o triângulo ABC, comece como na figura. desenhando uma reta qualquer e marcando um ponto (B). Então abra um raio igual a um segmento que contenha esse ponto (AB) e faça o arco. d. Termine o triângulo ABC, que tem as mesmas dimensões daquele primeiro, porém em outra posição. c. Raio AC. 8
  • 12. 4. Retas paralelas Para desenhar uma reta paralela a outra dada deve-se tentar imaginar um retângulo, quadrado ou um paralelogramo (o último é mais usado) entre elas, numa posição que dois lados opostos estejam contidos nas retas como mostram as figuras abaixo. Assim o processo ficará mais fácil de se entender. b. Dado um segmento de reta, ou uma reta, coloque a ponta seca em qualquer ponto do segmento e faça um arco qualquer (essa será a medida de um lado do paralelogramo). c. Faça o mesmo em outro ponto (nesse caso foram escolhidas as extremidades) com o mesmo raio. d. O raio desse arco equivale à diagonal do paralelogramo. O ponto onde os arcos se encontram corresponde a um vértice do paralelogramo 9
  • 13. e. Abra o compasso com um raio igual ao segmento AB. Coloque a ponta seca no vértice do paralelogramo e marque um arco como mostrado. f. Ligue as intersecções dos arcos. As retas estarão paralelas. 5. Como achar o centro de uma circunferência Apenas trace duas cordas quaisquer, não paralelas, e suas mediatrizes; a intersecção destas será o centro da circunferência. 10
  • 14. 6. Dividindo um segmento de reta em x partes. O processo a seguir pode ser usado para dividi-lo em qualquer número de partes. a. Trace uma reta adjacente ao segmento, de b. Divida essa adjacente no número desejado preferência com um ângulo agudo. de partes. A unidade não importa; pode ser usado o escalímetro ou mesmo o compasso. c. Ligue a última marcação com a d. Usando o jogo de esquadros, faça as extremidade do segmento. marcações em AB de maneira que sejam paralelas a essa última reta que liga a B, partindo das marcações da adjacente (não é necessário desenhar o tracejado). 7. Dividindo uma circunferência em x partes. O processo a seguir pode ser usado para dividi-la em qualquer número de partes. a. Trace o diâmetro na circunferência. b. Como no item 6, divida o diâmetro no número de partes requerido; nesse caso seis partes. 11
  • 15. c. Com a ponta seca do compasso nessas d. Escolha as marcações ímpares ou pares posições, abra um raio igual ao diâmetro e do diâmetro e transfira-as para a marque os arcos. circunferência partindo das intersecções dos arcos. (Não é necessário o tracejado). e. Faça o mesmo partindo da outra f. Se as marcações forem ligadas, terá um intersecção de arcos. A circunferência está polígono regular com o número de lados dividida em seis partes iguais. igual ao de partes da circunferência, inscrito nesta. 12
  • 16. 8. Estrela regular. O processo a seguir pode ser usado para criar estrelas com qualquer número de pontas, a partir de quatro. a. A estrela deverá partir de uma b. Partindo de uma marcação, faça circunferência dividida igualmente. O duas retas ligando a outros dois número de pontas é equivalente ao pontos que não estejam ao lado desta. número de partes desta. Esses segmentos devem ser simétricos. e. Ambas as estrelas acima têm 12 pontas, porém os lados foram feitos pulando diferentes números de marcação. Na primeira, as marcações ligadas pularam apenas uma; já na segunda foram pulados três pontos para ligar as pontas. Tanto faz qual maneira será escolhida; o importante é manter a simetria. 13
  • 17. 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada. a. Divida uma circunferência b. Faça uma perpendicular ao c. Trace pequenos segmentos pelo número de lados do diâmetro passando em uma partindo das marcações até polígono requerido. das extremidades. * encontrarem a perpendicular (a reta deve passar pelo centro). (Não é necessário desenhar o tracejado). d. Com o compasso, abra um e. Faça os mesmos pequenos raio do centro até essa nova segmentos nas outras intersecção com a marcações. perpendicular e faça uma circunferência. f. Ligue as intersecções dos segmentos com a circunferência maior. g. Por fim, escureça a circunferência de dentro para enaltecer que o polígono está circunscrito a ela. * Para fazer desta maneira, que é mais fácil, divida a circunferência de modo que as divisões dela não estejam na extremidade do diâmetro. Deixe pelo menos uma dessas extremidades sem ser uma divisória da circunferência. 14
  • 18. 10. Concordância de arcos. Dado o arco, deve-se desenhar uma reta passando pelo centro e por uma extremidade do arco. Nesta reta deve estar contido o centro do outro arco, senão não estarão concordando, ou seja, se tangenciando. Posicione a ponta seca em qualquer ponto da reta, sendo que depois da extremidade, abra o raio até encontrar com B e faça o arco. Se for pedido um raio específico para a circunferência deste arco, a distância de B até o novo centro deve ter a medida do raio. 10.1 Concordar dois arcos passando por um ponto dado. a. Dados o arco e o ponto, faça como no item anterior: trace uma reta partindo de O e passando em B. 15
  • 19. b. O segmento BC é uma corda da circunferência do novo arco... c. ... Portanto a intersecção de sua mediatriz com a reta prolongada consiste no novo centro (ver item 5). d. Com a ponta seca nessa intersecção, abra o raio até B e faça o arco. 16
  • 20. 11 Concordância de segmentos de retas por um arco. 11.1 Segmentos paralelos. a. Dados dois segmentos de reta, desenhe uma perpendicular passando pelas extremidades (estas devem estar na mesma vertical senão o arco não concordará). b. Com a ponta seca no ponto médio da perpendicular (ver item 1), abra o raio até uma das extremidades (B ou D) e faça o arco 11.2 Segmentos oblíquos ou ortogonais, sem raio dado. b. Prolongue os segmentos até se intersectarem. c. Com a ponta seca na intersecção, d. Os segmentos deverão terminar abra um raio qualquer e marque os nesses arcos. dois arcos. 17
  • 21. e. Passe perpendiculares a cada f. Abra o raio do centro até B ou D e segmento a partir de B e D. A faça o arco. intersecção destas será o centro da circunferência do arco. 11.3 Segmentos oblíquos ou ortogonais, com raio dado. b. Prolongue os segmentos até se intersectarem. c. Faça uma perpendicular em cada d. Desenhe paralelas às semi-retas A segmento, em qualquer posição e e C partindo das extremidades dessas com a dimensão do raio pedido para perpendiculares. a circunferência do arco. 18
  • 22. e. Se passadas duas perpendiculares f. Com a ponta seca nessa posição às semi-retas a partir desta faça o arco, concordando os intersecção (centro da segmentos. circunferência), encontraremos os pontos B e D, que definem os segmentos AB e CD. 12 Triângulos: exercícios resolvidos. 12.1 Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura 3cm, AB 5cm e o ângulo  45°. a. Comece aplicando os dados da b. Desenhe uma perpendicular a AB questão. passando em A com 3 cm de altura. c. Na extremidade dessa perpendicular, trace uma paralela a AB até encontrar a reta inclinada a 45°. Este é o ponto C. Feche o triângulo. 19
  • 23. 12.2 Desenhe um triângulo isósceles com altura 2 cm e com um ângulo de 120°. a. Faça uma reta de 2 cm. b. Já que o triângulo é isósceles e tem um ângulo de 120°, sabemos que o vértice desse ângulo está numa das extremidades da altura, pois os outro dois ângulos serão equivalentes entre si e não pertencerão a essa altura. Então posicione o esquadro de 60° fazendo duas retas de 60° com a altura, uma pra cada lado, somando os 120°. d. Faça uma perpendicular à altura a partir de sua outra extremidade, fechando o triângulo. 12.3 Dados apenas os ângulos  60° e B 75° de um triângulo e AB igual a 3cm, construa-o. a. Desenhe o segmento AB com 3 cm. b. Com o esquadro de 60° transfira esse ângulo para A, fazendo uma reta. c. Portanto use o esquadro Nesta estará contido o de 45° para achar o último ponto C. Já que a soma ponto (C), deslizando-o dos ângulos internos de pela semi-reta A até que se um triângulo é 180°, o posicione como mostra a outro ângulo é 45°. imagem. Isso chama-se enquadramento. 20
  • 24. Exercícios 1. Faça uma reta perpendicular ao segmento AB passando por B 2. Faça uma reta perpendicular ao segmento XY passando pelo centro do triângulo. Lembrando: o centro do triângulo é achado com a intersecção de suas bissetrizes (reta que divide o ângulo em duas partes iguais). 3. Desenhe o triângulo ABC em outra posição. 21
  • 25. 4. Desenhe uma reta paralela ao segmento AB passando por C. 5. Faça uma reta paralela ao segmento XY passando pelo centro da circunferência dada. 6. Divida o segmento abaixo em 13 partes. 7. Divida a circunferência abaixo em 10 partes. 22
  • 26. 8. Faça uma estrela de 14 lados. 9. Faça um polígono de 7 lados circunscrito a uma circunferência de raio 3 cm. 10. Faça uma estrela de 5 pontas circunscrita a uma circunferência de raio 2 cm 11. Concorde o arco OAB com outro que contenha o ponto C. 12. Concorde 2 segmentos, cada um pertencendo a uma reta abaixo, por um arco de circunferência . 13 Faça o mesmo que a questão anterior, porém usando uma circunferência de raio 2 cm. 23
  • 27. 14. Concorde o segmento abaixo com um arco de circunferência que contenha o ponto C. 15. Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura (perpendicular a AB) 4cm, AB 2cm e o ângulo  75°. 16. Desenhe um triângulo isósceles com altura 4 cm e com apenas um ângulo de 45°. 17. Dados apenas os ângulos  30° e B 105° de um triângulo e AB igual a 3cm, construa-o. 24
  • 28. Capítulo 2 Vistas Ortográficas Trata-se da representação bidimensional de um objeto projetada ortogonalmente em seis planos. Estes são posicionados ao redor do objeto, formando um cubo, para assim serem obtidas as projeções. Porém, esta imagem é apenas didática. A maneira correta de representar as vistas é planificando esse cubo. Portanto as vistas dessa pirâmide devem ficar assim: As linhas tracejadas compreendem as arestas do cubo que envolve o objeto. Porém, estas linhas NÃO DEVEM ser representadas, pois qualquer reta em vistas ortográficas representa uma aresta ou um plano ortogonal ao de projeção. 25
  • 29. As distâncias entre as vistas devem ser iguais, facilitando a transferência de medidas; como mostra a imagem: da vista lateral direita para a vista superior. Note também que as linhas tracejadas representam arestas. Porém estas estão por trás de um plano do próprio objeto, ou seja, são arestas escondidas e devem ser representadas tracejadas. Exemplos de objetos com planos curvos: Na vista lateral esquerda não aparecem arestas ligando os planos porque estes estão concordando, ou seja, estão se tangenciando. Já na vista superior aparece uma reta que não está no sólido. Esta não é uma aresta, mas sim o plano em S quando está perpendicular à vista. Para escolher a vista frontal (seja um objeto com plano curvo ou não) sempre use os seguintes requisitos: a que identifica mais aquele objeto; a maior; e com menos arestas escondidas. Note que na posição em que o plano curvo fica ortogonal a vista, surge uma aresta; como a tracejada da VLE. 26
  • 30. Exercícios 1. Dadas as duas vistas ortográficas abaixo de um sólido, faça a vista superior e a inferior do mesmo. VF VLE 2. Dos seguintes sólidos, represente: (Lembre-se de manter a proporção nas vistas) a) todas as vistas. b) VF,VS, VLD. c) VF, VS, VLD. d) VF, VS, VLE. Obs.: Mesmo que alguns sólidos não venham com as medidas ao lado, tente percebê-las para ajudar a manter a proporção. 27
  • 31. e) VF, VS, VLD. f) VF, VS, VLE. g) VF, VS, VLE. h) VF, VS, VLD. i) apenas as vistas necessárias. j) VF, VS, VLE. k) VF, VS, VLD. l) VF, VI, VLE. 28
  • 32. m) VF, VS, VLD. Dois pontos de vista do mesmo sólido. n) todas as vistas. o) VF, VS, VLD. 3. Identifique erros nas vistas ortográficas do sólido abaixo. Refaça as vistas da maneira correta. Escala e unidade livres. 4. Faça todas as vistas do sólido abaixo. 29
  • 33. Capítulo 3 Geometria Descritiva (Projeção Mongeana) Este assunto assemelha-se ao anterior, porém usaremos apenas dois planos de projeção (às vezes será necessário um plano auxiliar) e serão usadas coordenadas para os pontos projetados. Os planos de projeção correspondem a um diedro. Existem quatro, mas a ABNT adota apenas o primeiro (imagem abaixo), portanto usaremos apenas este. 1 Ponto na projeção mongeana. Já que os objetos estão no espaço, pertencem a um sistema tridimensional, portanto serão usadas três coordenadas. São a Abscissa (distância do ponto para π0), o Afastamento (distância do ponto para π2), e a Cota (distância do ponto para π1). π0 é o plano auxiliar que posiciona-se perpendicular ao vertical e ao horizontal, passando pela origem (como mostra a imagem a seguir). 30
  • 34. Mas como nas vistas ortográficas, a representação deve ser feita em duas dimensões. Portanto o resultado é a planificação desse diedro, e chama-se Épura. As linha finas são apenas de construção, mas mostram como deve haver uma correspondência entre as projeções. 31
  • 35. O resultado, sem todas aquelas informações, deve ficar assim. Porém quando você fizer linhas de construção não apague-as, pois mostra quais os passos usados para chegar naquele resultado. E lembre-se que devem ser linhas claras, pois também usaremos retas em épura, e elas não devem ser confundidas. 2 Reta e segmento de reta em épura. Segmento de reta é a simples ligação de dois pontos. Já a reta deve ser representada como se fosse infinita, ou seja, não deve ter pontos limitando-a. Segmento de reta: Reta: Perceba que a reta deve ser representada apenas por uma letra minúscula. 32
  • 36. 2.1 Tipos de reta. Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela receberá denominações diferentes. Existem sete tipos. Reta frontal A reta é paralela a π2, oblíqua a π1 e π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π2, e em Projeção Reduzida em π1 e π0. Obs.: Verdadeira Grandeza (VG) – Quando a projeção tem a mesma dimensão do objeto real. Ocorre quando o objeto está paralelo àquele plano de projeção. Projeção Reduzida (PR) – Quando a projeção é menor que o objeto real, porém não chega a ser o mínimo, como um ponto. Ocorre quando o objeto está oblíquo àquele plano de projeção. Projeção Acumulada (PA) – Quando uma dimensão do objeto do objeto está resumida a um ponto na projeção, ou seja, quando o objeto está ortogonal ao plano de projeção Reta horizontal A reta é paralela a π1, oblíqua a π2 e π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1, e em Projeção Reduzida em π2 e π0. 33
  • 37. Reta fronto-horizontal A reta é paralela a π1 e π2, e ortogonal a π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1 e π2, e em Projeção Acumulada em π0. Este símbolo é usado para mostrar que dois ou mais pontos estão acumulados no mesmo ponto de projeção. Reta vertical A reta é paralela a π0 e π2, e ortogonal a π1. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0 e π2, e em Projeção Acumulada em π1. Reta de perfil A reta é paralela a π0, e oblíqua a π1 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0, e em Projeção Reduzida em π1 e π2. 34
  • 38. Reta de topo A reta é paralela a π1 e π0, e ortogonal a π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1 e π0, e em Projeção Acumulada em π2. Reta oblíqua A reta é oblíqua a π1, π0 e π2. Portanto está em Projeção Reduzida em π1, π0 e π2. Tabela de posicionamento dos tipos de reta Tipos de reta π1 π2 π0 Frontal PR VG PR Horizontal VG PR PR Fronto-Horizontal VG VG PA Vertical PA VG VG Perfil PR PR VG Topo VG PA VG Oblíqua PR PR PR Legenda: : oblíqua; : ortogonal; : paralela. 35
  • 39. 3 Planos em épura Um plano pode ser representado ou subentendido de diversas formas em épura, não apenas por uma figura plana. Como: Por três pontos não colineares Uma reta e um ponto Uma figura plana Pelos traços do plano Obs.: Traço de um plano é a reta gerada quando o plano intersecta os planos de projeção Este seria o plano desses últimos traços: 36
  • 40. 3.1 Tipos de planos. Como as retas, também existem sete. Frontal O plano é paralelo a π2, e ortogonal a π0 e π1. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π2, e em Projeção Acumulada em π0 e π1. Horizontal O plano é paralelo a π1, e ortogonal a π0 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1, e em Projeção Acumulada em π0 e π2. Perfil O plano é paralelo a π0, e ortogonal a π1 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0, e em Projeção Acumulada em π1 e π2. 37
  • 41. Vertical O plano é ortogonal a π1, e oblíquo a π0 e π2. Portanto está em Projeção Acumulada em π1, e em Projeção Reduzida em π0 e π2. Rampa O plano é ortogonal a π0, e oblíquo a π1 e π2. Portanto está em Projeção Acumulada em π0, e em Projeção Reduzida em π1 e π2. Topo O plano é ortogonal a π2, e oblíquo a π1 e π0. Portanto está em Projeção Acumulada em π2, e em Projeção Reduzida em π1 e π0. 38
  • 42. Oblíquo O plano é oblíquo a π1, π0 e π2. Portanto está em Projeção Reduzida em π1, π0 e π2. Tabela de posicionamento dos tipos de plano Tipos de plano π1 π2 π0 Frontal PA VG PA Horizontal VG PA PA Perfil PA PA VG Vertical PA PR PR Rampa PR PR PA Topo PR PA PR Oblíquo PR PR PR 4 Objetos tridimensionais em épura Superfícies planas – Cubos, paralelepípedos, pirâmides. Obs.: Perceba que, como nas vistas ortográficas, linhas tracejadas representam segmentos de reta escondidos (atrás de um plano). 39
  • 43. Superfícies de revolução – Cones, cilindros, esferas e troncos. São aquelas formadas pela rotação de um plano ao longo de um eixo, como mostram as figuras: Cone O cone é obtido pela rotação de uma triângulo. Quando o vértice pode ser definido, como no cone, o objeto possui vértice próprio. Cilindro O cilindro é obtido pela rotação de uma retângulo/quadrado. Quando o vértice está no infinito, como no cilindro, o objeto possui vértice impróprio. Esfera A esfera é obtida pela rotação de um semi-círculo. 40
  • 44. As retas finas nas épuras dessas superfícies representam as geratrizes dos volumes (não é obrigatória sua representação nos exercícios). Estas são as retas que ligam a diretriz ao vértice, formando a superfície lateral do objeto. A diretriz por sua vez é a circunferência que direciona as geratrizes, por isso possui esse nome (normalmente corresponde à base do objeto). O eixo da superfície é a reta que liga o centro de sua base ao vértice. Percebe-se que nos últimos exemplos o eixo forma 90° com a base, portanto são considerados de eixo reto. Exemplo de superfície de eixo oblíquo. Troncos - São superfícies de vértice próprio, porém chanfradas entre a base e o vértice, de maneira que este último não se encoste à superfície. Tronco de pirâmide. Tronco de cone. 41
  • 45. 5 Planificação Seu objetivo é posicionar todas as faces de uma superfície sobre um mesmo plano, resultando numa figura inteiramente em verdadeira grandeza. Portanto, dada a superfície, o primeiro passo é achar a verdadeira grandeza de todas suas arestas, caso já não estejam em VG. Para perceber se uma reta está em VG em tal plano, digamos π1, é necessário verificar em um dos outros planos, usaremos π2, se ela está paralela a tal plano. No caso ao lado perceba que em π2 a reta está paralela a linha de terra, portanto está paralela a π1 e em VG no mesmo. Ou então se ela estiver em PA no outro plano (π2), e nesse (π1) estiver representada como um reta, com certeza esta estará em VG.] Obs.: o mesmo pode ser feito para π0, porém ao invés de se basear pela linha de terra deve- se usar a reta perpendicular a esta que passa pela origem, sempre usada quando necessário esse plano auxiliar. Para facilitar: o único tipo de reta que não possui VG em nenhum dos três planos de projeção é a oblíqua. Usaremos esse tronco de pirâmide como exemplo de planificação. 42
  • 46. 1° Passo: Como já foi dito, deve-se saber quais segmentos de reta não estão em VG. Portanto AD e CF. Porém, nesse processo de planificação, é usada a triangulação para desenhar cada face da superfície, como veremos a frente, e este objeto possui faces quadriláteras, portanto deve-se usar a diagonal de cada face quadrilátera (formando triângulos). O que significa que se estas não estiverem em VG, suas verdadeiras grandezas também terão de ser achadas. Por sorte, AD é igual a CF, e a diagonal BD é igual a EF. Assim só teremos de achar a VG de uma de cada par. 2° Passo: Deve-se achar a VG de cada segmento de reta oblíquo. A seqüência de imagens mostra como fazê-lo. AD foi escolhido. Passa-se uma reta horizontal em um dos pontos, no caso D (em π1 ou em π2). 43
  • 47. Essa horizontal deve sair do ponto que A distância dessa intersecção ao ponto foi rotacionado, nesse caso: A. D1 é a VG de AD. 3° Passo: Depois de achadas todas as VGs, deve-se começar a fazer a planificação fora da épura, de preferência em uma folha avulsa. A seqüência de imagens mostra como montar, por triangulação, a superfície planificada. Comece desenhando uma das faces. E continue face por face. 44
  • 48. Continuando com a triangulação para achar cada face, obtém-se a planificação completa. Obs.: A posição das faces poderia ser diferente, se mantido o mesmo método de triangulação usando somente as verdadeiras grandezas. Como assim: A planificação continua correta, porém com outra configuração. 45
  • 49. Exercícios Para todas questões: Escala 1:1 / Un.: mm 1. Desenhe em épura uma superfície cuja diretriz é uma circunferência de centro O (50;50;00), raio 20mm, contida no plano horizontal de projeção. Sabe-se que uma de suas geratrizes é o segmento de reta frontal definido por Z (30;50;00) e Y (30;50;25). 2. Planifique as seguintes superfícies desenhadas em épura. a)Prisma de base hexagonal. b)Prisma de base triangular. 3. Represente, em épura, uma pirâmide de base quadrangular, sabe-se que esta base pertence a um plano horizontal de cota 20mm. 4. Represente uma superfície com eixo oblíquo e de vértice impróprio em épura. Sua diretriz deve ser uma circunferência. 5. Represente em épura uma superfície de vértice próprio cuja diretriz é a circunferência de centro O (40;50;30). 6. Desenhe e planifique a superfície cúbica cujos vértices são: A (60;60;10) B (60;20;10) C (20;20;10) D (20;60;10) E (60;60;50) F (20;60;50) G (60;20;50) H (20;20;50) 7. Desenhe e planifique a superfície de base ABC e vértice V. A (20;10;30) B (30;10;10) C (10;10;10) V (20;30;20) 8. Represente em épura um plano horizontal por 2 retas concorrentes. 9. Represente em épura um plano vertical por um segmento de reta e um ponto não pertencente a este. 46
  • 50. 10. Represente em épura um plano de perfil por segmentos de reta nele contidos. 11. Represente em épura um plano frontal por três pontos não colineares. 12. Planifique os seguintes poliedros: a) A (60;25;00) B (60;40;00) C (30;40;00) D (30;25;00) E (15;40;40) F (00;40;40) G (00;10;40) H (15;10;40) 47
  • 51. b) A (60;15;00) B (60;30;00) C (30;15;00) D (30;30;00) E (28;??;24) F (28;??;24) G (??;??;20) H (??;??;20) V (00;56;45) c) A (10,20,00) B (10,20,20) C (18,12,00) D (18,12,20) E (30,24,32) F (22,32,32) G (40,34,22) H (32,42,22) 48
  • 52. d) A (30,05,20) B (30,05,00) C (25,21,20) D (25,21,00) E (40,15,00) F (35,7.5,20) G (15,10,20) H (20,18,00) I (20,??,00) J (15,15,20) K (40,10,00) L (35,17,20) 13) QUAL dos seguintes segmentos de reta não pertence ao plano que contém os demais segmentos? AB: A(40;10;30) B(40;40;30) CD: C(00;00;30) D(30;50;30) EF: E(60;30;30) F(60;50;60) GH: G(70;25;30) H(10;25;30) 14) Desenhe o resultado de um cubo cortado por um plano vertical, de maneira que a parte que sobrar deste cubo seja a mais distante da origem. O cubo tem abscissa 10mm, afastamento 20mm e cota 20mm, suas faces tem 30mm x 30mm e são paralelas aos planos de projeção; o plano vertical faz 45º com π2 e π0 e corta o cubo exatamente ao meio. 15) Desenhe um cone cuja base pertença a um plano de topo. O plano faz 30º com π1e seu traço neste plano de projeção tem abscissa 60mm; o cone tem altura 45mm, eixo reto, e sua base tem raio 15mm, e centro com afastamento 30mm e cota sendo metade da cota do traço em π0. 49
  • 53. Respostas dos exercícios Capítulo 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 50
  • 54. 7. 8. Obs.: Apesar que a estrela deva ter 14 pontas, estas podem ser mais apontadas do que nesta resposta. 9. 51
  • 55. 10. 11. 12. 13. 52
  • 57. Capítulo 2 1. 2. a) b) c) d) 54
  • 58. e) f) g) h) i) j) 55
  • 59. k) l) m) n) o) 56
  • 60. 3. 4. 57
  • 61. Capítulo 3 1. 2. a) Planificação: 0 b) Planificação: 0 58
  • 62. 3. 4. 5. 59
  • 63. 6. Obs.: desenho em reduzido. 60
  • 64. 7. Planificação: 8. 61
  • 66. 12. a) 63
  • 67. b) c) d) 64
  • 68. 13. O segmento EF. 14. 65
  • 69. 15. 66