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Método Newton Raphson

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Este método para localizar raíces es la mas ampliamente utilizada.

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Método Newton Raphson

  1. 1. Método de Newton- Raphson
  2. 2.  Este método para localizar raíces es la mas ampliamente utilizada.  Punto (𝑥𝑖, 𝑓 𝑥𝑖 ) es el punto donde la tangente cruza en el eje X, representando una aproximación mejorada de la raíz. 𝑓(𝑥) 0 NOTA: Se define como derivada de una función en un punto dado, como la pendiente de la recta tangente de dicho punto. Por lo tanto: 𝑚 = 𝑓´(𝑥)
  3. 3. 𝑚 = 𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Veamos que: 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0 Podemos sustituir: 𝑚 = 0 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Y despejamos: 𝑚(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = −𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = −𝑓(𝑥𝑖) 𝑚 Deducimos la formula a utilizar a partir de la pendiente de la recta. 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑚 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓´(𝑥𝑖)
  4. 4. Ejemplo  Dado 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 2 aproximar la raíz de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 , con tres iteraciones, comenzando con 𝑥0 = 1.5 𝑓′ 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 u=x v=𝑒 𝑥 u’v+v’u 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ∙ 𝑥 1era Iteración 𝑥1 = 1.5 − 𝑓(1.5) 𝑓′(1.5) 𝑥1 = 1.5 − 1.5 𝑒1.5−2 2.5 𝑒1.5 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟖 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑒 𝑥 − 2 (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 3
  5. 5. 2da Iteración 𝑥2 = 1.078 − 𝑓(1.078) 𝑓′(1.078) 𝑥1 = 1.078 − 1.078 𝑒1.078−2 2.078 𝑒1.078 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟕 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 0.887 21.53% 3 3ra Iteración 𝑥2 = 0.887 − 𝑓(0.887) 𝑓′(0.887) 𝑥1 = 0.887 − 0.887 𝑒0.887−2 1.887 𝑒0.887 = 𝟎. 𝟖𝟓𝟒 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 0.887 21.53% 3 0.854 3.86%
  6. 6. Ejemplo 2  Calcule la raíz de 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 empleando como valor inicial 𝑥0 = 0 , con 6 cifras significativas 𝜺 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓%  Encontrando la primera derivada 𝑓′ 𝑥 = −𝑒−𝑥 − 1 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑒−𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖 −𝑒−𝑥 𝑖 − 1 Empezando con el valor inicial 𝑥0= 0, se hacen las iteraciones correspondientes. Iteracion Xi 𝜺 𝜶 0 0 100% 1 0.50000 11.8% 2 0.566311 0.147% 3 0.567143165 0.0000220% 4 0.567143290 10−8 % 𝑥0 = 0 − 𝑒−0 − 0 −𝑒−0 − 1 = 0
  7. 7. Ventajas  No es necesario graficar.  No trabaja con intervalos, solo es necesario conocer la derivada de la función.  El método converge con una rapidez impresionante  Proporciona una muy buena precisión en los resultados
  8. 8. Desventajas  Aunque en general el método Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones, donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo:  En el caso de raíces múltiples  Raíces simples. Determine la raíz positiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1 usando el método de Newton-Raphson y un valor inicial x=0.5 Respuesta-> La formula en este caso es: 𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 10 − 1 10𝑥𝑖 9 Se utiliza para calcular:
  9. 9. Iteración X 0 0.5 1 51.65 2 46.485 3 41.8365 4 37.65285 5 33.887565 . … . … . …  1.0000000 De esta forma después de la primera predicción deficiente, la técnica converge a la raíz verdadera 1, pero muy lentamente. 𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 10 − 1 10𝑥𝑖 9
  10. 10. Puede dares convergencia lenta debido a la naturaleza de la función. La tendencia de las aproximaciones oscilan entre el mínimo o máximo local. Valor inicial esta cercano a una raíz salta a una posición mas lejos. 𝑓′ 𝑥 = 0, pendiente cero. Causa una división entre cero. La solución se dispara horizontalmente y jamás toca el eje x.
  11. 11.  No hay un criterio general de convergencia; su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial.  Necesario saber derivar funciones.

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