8. Είναι η g συνεχής στο xo;
Ενώ υπάρχει το όριο και είναι ίσο με
9. Είναι η g συνεχής στο xo;
Ενώ υπάρχει το όριο και είναι ίσο με λ
10. Είναι η g συνεχής στο xo;
Ενώ υπάρχει το όριο και είναι ίσο με λ
η g(xo) ≠ λ
11. Είναι η h συνεχής στο xo;
Όχι δεν είναι
συνεχής γιατί ούτε
καν το όριο της
h(x) δεν υπάρχει
στο xo.
12. Άρα πότε δεν είναι συνεχής στο xo ;
α) Αν δεν υπάρχει το όριό της στο xo
ή
β) Aν υπάρχει το όριό της στο xo, αλλά
είναι διαφορετικό από την τιμή της f ,
στο σημείο xo .
13. Παράδειγμα
Από ποιον τύπο;
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) =
14. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Τι γίνεται με το όριο της f στο
0;
15. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε
16. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε πλευρικά όρια
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0
17. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε πλευρικά όρια
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0
18. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε πλευρικά όρια
lim+ f ( x ) = lim(5 − x ) = 5
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0 x →0
x →0
19. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε πλευρικά όρια
lim+ f ( x ) = lim(5 − x ) = 5
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0 x →0
x →0
20. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Πρέπει να πάρουμε πλευρικά όρια
lim+ f ( x ) = lim(5 − x ) = 5
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0 x →0
x →0
21. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Επειδή τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι
ίσα δεν υπάρχει το όριο στο 0.
lim+ f ( x ) = lim(5 − x ) = 5
lim− f ( x ) = lim( x 3 + 6) = 6
x →0
x →0 x →0
x →0
22. Παράδειγμα
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0;
x 3 + 6, αν x ≤ 0
f (x) =
5 − x , αν x > 0
Η f ορίζεται στο 0 με f(0) = 6
Επειδή τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι
ίσα δεν υπάρχει το όριο στο 0.
Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 0.
25. Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς;
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς
σε όλο το .
R
Στις ασκήσεις, όπου χρειάζεται, λέμε ότι:
«Η f είναι συνεχής στο
26. Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς;
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς
σε όλο το .
R
Στις ασκήσεις, όπου χρειάζεται, λέμε ότι:
«Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική»
R
27. Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς;
Οι ρητές συναρτήσεις είναι συνεχείς σε όλο
το πεδίο ορισμού τους.
Δηλαδή, είναι συνεχείς σε όλους τους
αριθμούς που δεν μηδενίζουν τον
παρονομαστή.
28. Παράδειγμα
Σε ποια x η παρακάτω συνάρτηση είναι
ασυνεχής;
x2 – 3x + 2
f(x) =
x2 – 4
Εξετάζουμε για ποια x μηδενίζεται ο
παρονομαστής.
29. Παράδειγμα
Σε ποια x η παρακάτω συνάρτηση είναι
ασυνεχής;
x2 – 3x + 2
f(x) =
x2 – 4
x=2
ή
x2 – 4 = 0 ⇔
x=–2
Άρα η f δεν είναι συνεχής στα 2 και – 2
30. Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς;
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx και
συνx είναι συνεχείς σε όλο το .
R
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εφx και σφx
είναι συνεχείς στα πεδία ορισμού τους.
31. Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς;
Οι εκθετικές συναρτήσεις της μορφής αx
είναι συνεχείς σε όλο το .
R
Οι λογαριθμικές συναρτήσεις logx και lnx
είναι συνεχείς στο (0, +∞).
32. Η συνέχεια επεκτείνεται:
Στο άθροισμα και στη διαφορά συναρτήσεων:
f + g και f – g
Στο γινόμενο και στο πηλίκο συναρτήσεων:
f ⋅ g και f
g
33. Η συνέχεια επεκτείνεται:
Στο άθροισμα και στη διαφορά συναρτήσεων:
f + g και f – g
Στο γινόμενο και στο πηλίκο συναρτήσεων:
f ⋅ g και f
g
Με f και g συνεχείς συναρτήσεις
36. Η συνέχεια επεκτείνεται:
Αν η f και η g είναι συνεχείς τότε και οι
f g και g f
θα είναι συνεχείς, όπου ορίζονται.
37. Θεώρημα Bolzano
y
f (β) B(β, f (β))
ξ2 ξ3
a
ξ1 x
O β
f (a) Α(α, f (α))
Είναι συνεχής στο [α, β];
38. Θεώρημα Bolzano
y
f (β) B(β, f (β))
ξ2 ξ3
a
ξ1 x
O β
f (a) Α(α, f (α))
Είναι θετικό ή αρνητικό το f(α);
39. Θεώρημα Bolzano
y
f (β) B(β, f (β))
ξ2 ξ3
a
ξ1 x
O β
f (a) Α(α, f (α))
Είναι θετικό ή αρνητικό το f(β);
40. Θεώρημα Bolzano
y
f (β) B(β, f (β))
ξ2 ξ3
a
ξ1 x
O β
f (a) Α(α, f (α))
Μηδενίζεται η f;
41. Θεώρημα Bolzano
Αν μία συνάρτηση f ορίζεται και είναι
συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και
f(α) ⋅ f(β) < 0
Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β)
τέτοιο ώστε f(ξ) = 0
42. Γιατί να είναι συνεχής στο [α, β];
Για να αναγκαστεί η γραφική παράσταση να
ενώσει με μία συνεχή καμπύλη τα (α, f(α))
και (β, f(β)).
43. Γιατί να είναι συνεχής στο [α, β];
Παρατηρούμε ότι f(α)⋅f(β)<0 αλλά η f δε μηδενίζεται.
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η f δεν είναι συνεχής στο α.
44. Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano;
Όταν στην εκφώνηση της άσκησης γράφει:
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία
τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, β)
να αποδείξετε ότι η f(x) έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β)
45. Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano;
Όταν στην εκφώνηση της άσκησης γράφει:
να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f(x) και
g(x) είναι ίσες για κάποιο x0 που ανήκει στο
διάστημα (α, β)
να αποδείξετε ότι οι Cf και Cg τέμνονται στο
διάστημα (α, β)
46. Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano;
Όταν στην εκφώνηση της άσκησης γράφει:
να αποδείξετε ότι ισχύει μία σχέση για
κάποιο ξ που ανήκει στο διάστημα (α, β)
να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό
πρόσημο σε ένα διάστημα [α, β].
48. Μεθοδολογία
Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος.
Αν πρόκειται για σχέση με κλάσματα εκτελούμε τις πράξεις
και καταλήγουμε σε ένα μεγάλο κλάσμα.
Αν μας δίνει σχέση με ξ ή x0 τα αντικαθιστούμε με x.
Θέτουμε το πρώτο μέλος αυτό ίσο με μία συνάρτηση.
Μόνο τον αριθμητή του κλάσματος, αν έχουμε κλάσματα.
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα.
Καταλήγουμε στη ζητούμενη από την εκφώνηση σχέση.
50. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2 4 2
Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος.
51. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2
4 2
Θέτουμε το πρώτο μέλος αυτό ίσο με μία συνάρτηση.
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
52. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα
53. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) =
54. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 =
55. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0
4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3
56. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0 4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3 < 0
f(2) =
57. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0 4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3 < 0
f(2) = 24 – 3 ⋅ 22 + 2 – 2
58. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0 4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3 < 0
f(2) = 24 – 3 ⋅ 22 + 2 – 2 = 16 – 12 + 2 – 2
59. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0 4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3 < 0
f(2) = 24 – 3 ⋅ 22 + 2 – 2 = 16 – 12 + 2 – 2 = 4
60. Παράδειγμα
x − 3x + x = 2 ⇔ x − 3x + x − 2 = 0 4 2
4 2
f ( x ) = x − 3x + x − 2
4 2
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος
f(1) = 1 – 3 + 1 – 2 = – 3 < 0 f(1) ⋅ f(2) < 0
f(2) = 24 – 3 ⋅ 22 + 2 – 2 = 16 – 12 + 2 – 2 = 4 > 0
Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano και θα
υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ∈ (1, 2) : f(ξ) = 0
Το ξ αυτό θα είναι και λύση της εξίσωσης στο (1, 2)
62. Παράδειγμα
x x
e ln x e ln x
= ⇔ − =0⇔
x −1 2 − x x −1 2 − x
Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος.
63. Παράδειγμα
x x
e ln x e ln x
= ⇔ − =0⇔
x −1 2 − x x −1 2 − x
( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x = 0
x
⇔
( x − 1)( 2 − x )
Αν πρόκειται για σχέση με κλάσματα εκτελούμε τις
πράξεις και καταλήγουμε σε ένα μεγάλο κλάσμα.
64. Παράδειγμα
x x
e ln x e ln x
= ⇔ − =0⇔
x −1 2 − x x −1 2 − x
( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x = 0
x
⇔
( x − 1)( 2 − x )
Η εξίσωση είναι ισοδύναμη της αρχικής και η λύση
της εξίσωσης θα μηδενίζει τον αριθμητή.
65. Παράδειγμα
x x
e ln x e ln x
= ⇔ − =0⇔
x −1 2 − x x −1 2 − x
( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x = 0
x
⇔
( x − 1)( 2 − x )
Θέτουμε τον αριθμητή του κλάσματος ίσο με μία
συνάρτηση.
66. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα
67. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) =
68. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 =
69. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 =
70. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e
71. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0
72. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0
f(2) =
73. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0
f(2) = (2 – 2) e2 – (2 – 1)ln2 =
74. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0
f(2) = (2 – 2) e2 – (2 – 1)ln2 = 0 – ln2 =
75. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0
f(2) = (2 – 2) e2 – (2 – 1)ln2 = 0 – ln2 = - ln2
76. Παράδειγμα
f ( x ) = ( 2 − x ) e − ( x − 1) ln x
x
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα [1, 2]
Υπολογίζουμε την τιμή της f στα άκρα του διαστήματος:
f(1) = (2 – 1) e1 – (1 – 1)ln1 = e – 0 = e >0 f(1) ⋅ f(2) < 0
f(2) = (2 – 2) e – (2 – 1)ln2 = 0 – ln2 = - ln2 < 0
2
Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano και θα
υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ∈ (1, 2) : f(ξ) = 0
Το ξ αυτό θα είναι και λύση της εξίσωσης στο (1, 2)
77. Άσκηση
Να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει
τουλάχιστον μία λύση στο (1, 2)
x +1 x +1
4 6
+ =0
x −1 x − 2
