F02 Analogies

Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες Ζουρνά Άννας

[object Object],Λόγος δύο αριθμών Α και Β Α = λ Β 

[object Object],Λόγος δύο αριθμών Α και Β

[object Object],Αναλογία Θα πρέπει και Β  0 και Δ  0

[object Object],Αναλογία - όροι οι αριθμητές Α και Γ ονομάζονται ηγούμενοι , οι παρονομαστές Β και Δ ονομάζονται επόμενοι , οι Α και Δ άκροι όροι και οι Β και Γ μέσοι όροι.

[object Object],Συνεχής Αναλογία Ο Β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των Α και Γ.

[object Object],Παράδειγμα Άκροι όροι Μέσοι όροι Ηγούμενοι Επόμενοι 5 και 9 3 και 15 5 και 15 3 και 9 34 και 7 14 και 17 34 και 17 14 και 7

[object Object],[object Object],Ιδιότητες Αναλογιών Ι

[object Object],[object Object],[object Object],Ιδιότητες Αναλογιών ΙΙ

[object Object],[object Object],[object Object],Παράδειγμα

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Συμμεταβλητά ποσά

[object Object],[object Object],Ευθέως ανάλογα ποσά

[object Object],Παράδειγμα ... 6,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Αν το 1 κιλό μήλα κοστίζει 1,5€ τότε για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 2 kg θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 1,5. ... 6,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 3 kg μήλα θα κάνουμε πάλι πολλαπλασιασμό του 3 με το 1,5. ... 6,00 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Εδώ πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με το 1,5 για να βρούμε πόσα kg μήλα μπορούμε να αγοράσουμε με 6€. ... 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα ... 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Αν θέλουμε να αγοράσουμε x κιλά μήλα τότε πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσουμε; ... 7,50 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],[object Object],Παράδειγμα O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 1,5. 1,50  x ... 7,50 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

[object Object],Παράδειγμα Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το 1 με το 4. 20 12 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου με πλευρά 2, θα πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 4. 20 12 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 12, πρέπει να διαιρέσουμε το 12 με το 4. 20 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα 20 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 20, πρέπει να διαιρέσουμε το 20 με το 4. 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Αν η πλευρά είναι ίση με α τότε η περίμετρος είναι 4  α 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],Παράδειγμα O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 4. 4 α … 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Επίλυση προβλημάτων

[object Object],[object Object],[object Object],Απλή μέθοδος των τριών

[object Object],[object Object],Απλή μέθοδος των τριών

[object Object],[object Object],Παράδειγμα Ι ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],Παράδειγμα ΙΙ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Πρέπει στην κατάστρωση να προσέξετε πολύ… ,[object Object],[object Object]

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Εργασία για το Σπίτι Δεν τελείωσε το μάθημα, είμαστε μόλις στην αρχή …

[object Object],Και τώρα ας δούμε τις αναλογίες

[object Object],Έχετε ποτέ αναρωτηθεί τι κρύβεται

[object Object],Στην αναζήτηση αυτή θα μας βοηθήσει α β σταθερός

Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών Αφροδίτη της Μήλου Μουσείο του Λούβρου

[object Object],[object Object],Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών

Στα μουσικά όργανα

[object Object],Για να δούμε και στα ψάρια... Όμορφο ξε όμορφο εμένα, δε θα με φάτε…

Ακόμη και στα οστά…

Και στα πρόσωπα …

[object Object],Και στα πρόσωπα …

Η χρυσή τομή 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317 931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497587012203408058879 544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562494075890697 040002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891 109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715 993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122 248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727 775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239494994658457887303 962309037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417009395440 962795589867872320951242689355730970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231889131929468962200230144 377026992300780308526118075451928877050210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355 620902979864247275977256550861548754357482647181414512700060238901620777322449943530889990950168032811219432048196438767586331479857191139781 539780747615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368358358138113116899385557697548414914453415091295 407005019477548616307542264172939468036731980586183391832859913039607201445595044977921207612478564591616083705949878600697018940988640076443 617093341727091914336501371576601148038143062623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588092875703450507808145458819906336129 827981411745339273120809289727922213298064294687824274874017450554067787570832373109759151177629784432847479081765180977872684161176325038612 112914368343767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045982 309255287212413704361491020547185549611808764265765110605458814756044317847985845397312863016254487611485202170644041116607669505977578325703 951108782308271064789390211156910392768384538633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375843395367959312322134373209957498894 699565647360072959998391288103197426312517971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910009086218029775637892 599916499464281930222935523466747593269516542140210913630181947227078901220872873617073486499981562554728113734798716569527489008144384053274 837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822619546861533120953357923801460927351021011919021836067509730895752895774681422 954339438549315533963038072916917584610146099505506480367930414723657203986007355076090231731250161320484358364817704848181099160244252327167 219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940283076687674363865132710628032317406931733448234356453185058135310854 973335075996677871244905836367541328908624063245639535721252426117027802865604323494283730172557440583727826799603173936401328762770124367983 114464369476705312724924104716700138247831286565064934341803900410178053395058772458665575522939158239708417729833728231152569260929959422400 005606266786743579239724540848176519734362652689448885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499809360246178442675727767900 191919070380522046123248239132610432719168451230602362789354543246176997575368904176365025478513824631465833638337602357789926729886321618583 959036399818384582764491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634828178128862536460842033946538194419457142666823718394918323 709085748502665680398974406621053603064002608171126659954199368731609457228881092077882277203636684481532561728411769097926666552238468831137 185299192163190520156863122282071559987646842355205928537175780765605036773130975191223973887224682580571597445740484298780735221598426676 …

Χρυσή τομή και ο Πυθαγόρας ,[object Object],[object Object]

[object Object],[object Object],Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση

Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση ,[object Object],Μήκος του κορμού του δέντρου = α Μήκος μεγάλου κλαδιού = β Μήκος μικρού κλαδιού = γ Παρατήρησε διαιρώντας τα μήκη ότι: 1,62 γ β β α

Χρυσή τομή = Θεϊκή αναλογία ,[object Object],[object Object]

Εύρεση της Χρυσής Τομής ,[object Object],[object Object],[object Object]

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις ΑΒ και ΒΓ, όπου ΑΒ = 2ΒΓ

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το Γ και με ακτίνα r = ΒΓ .

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Ο κύκλος τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ . Δ

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Με κέντρο το Α και με ακτίνα R = ΑΔ φέρνουμε κύκλο που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Δ Ε

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Βρήκαμε το σημείο Ε που χωρίζει το ΑΒ σε δύο μέρη με λόγο: Δ Ε ΑΕ ΒΕ φ 1,618

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. ,[object Object],Α Β Γ Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσο με (ΑΕ) 2 . Δηλαδή: ΑΒ  ΕΒ = (ΑΕ) 2 Δ Ε Ίσο με την ΕΒ ΑΕ ΒΕ φ 1,618

Χρυσή τομή και χρυσά τρίγωνα ,[object Object],Το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο Το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο 36 ο 1 φ

[object Object],[object Object],[object Object],Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο Γ Β Α Δ Ι Ζ Η Ε

[object Object],[object Object],Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο μήκος πλάτος φ 1,618 Site στα Αγγλικά για το Φ Το φ Γ Β Α Δ Ι Ζ Η Ε Γ

Τα χρυσά ορθογώνια στη φύση

Χρυσή τομή και γλυπτική ,[object Object],Πληροφορίες για τον Φειδία.

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα ,[object Object]

Τα χρυσά τρίγωνα στην Πυραμίδα του Χέοπα 146,6 m 237,2 m α β

Η χρυσή τομή στην τέχνη ,[object Object]

Η χρυσή τομή στην τέχνη ,[object Object],Πληροφορίες για τον Βιτρούβιο

Η χρυσή τομή και στην αρχιτεκτονική K ölner Dom Notre – Dame

και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική ,[object Object]

Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα

Αρμονία και μουσική ,[object Object],[object Object]

Χρυσή τομή και μουσική ,[object Object],Ο Beethoven (1770 – 1827) στην πέμπτη συμφωνία του χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή

Οι αριθμοί Fibonacci Ο Leonardo Pisano Fibonacci γεννήθηκε στην Πίζα της Ιταλίας το 1175 μ.Χ. και πέθανε περίπου το 1240μ.Χ. Ταξιδεύοντας, γνώρισε το Αραβικό σύστημα αρίθμησης , το οποίο και μετέφερε στην Ευρώπη. Έως τότε χρησιμοποιούνταν το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης. I, II, III, IV, V,... Έχουν σωθεί 4 βιβλία του και ένα γράμμα.

Οι αριθμοί Fibonacci Το 1202 γράφει στο βιβλίο του Liber Abaci για μια σειρά αριθμών : Η σειρά αρχίζει με το 0 και το 1 Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών . Η σειρά έχει άπειρους όρους. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Σε αυτούς τους αριθμούς κατέληξε μελετώντας ένα ζευγάρι κουνέλια και τους απογόνους αυτών, αφού θεώρησε ότι κάθε μήνα γεννούσαν από ένα ζευγάρι και για να αρχίσει το ζευγάρι να παράγει απογόνους θα έπρεπε να έχει περάσει ένας μήνας από την ημερομηνία γέννησης αυτού. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Σα πολλοί θα γίνουμε μετά από ένα χρόνο… Πλήθος ζευγαριών

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Το πλήθος των κλαδιών, των φύλλων και των λουλουδιών στα δέντρα

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση ,[object Object],[object Object],[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση Αυτά τα ηλιοτρόπια έχουν 55 δεξιόστροφες και 34 αριστερόστροφες σπείρες. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Φτιάχνοντας μία σπείρα

Ο ναυτίλος και οι σπείρες

Οι γαλαξίες και οι σπείρες

Οι κυκλώνες και οι σπείρες

Οι ρουφήχτρες και οι σπείρες Αυτό είναι ένα καράβι…

Και το φ πως συνδέεται με τους αριθμούς Fibonacci ;

Αν πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci, τότε το πηλίκο τους είναι τόσο κοντά στον αριθμό φ όσο πιο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτοί. Δηλαδή;

[object Object],1,619 Αριθμοί Fibonacci και φ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … 2 1,5 5 3 1,67 8 5 1,6 13 8 1,625 21 13 1,615 34 21 55 34 1,6179 Και όσο προχωράμε τα πηλίκα θα προσεγγίζουν ακόμη περισσότερο τον αριθμό φ y x φ 1,618

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Είναι πολύ κοντά στην ευθεία

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Είναι σχεδόν πάνω στην ευθεία y x φ 1,618

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618 Είναι σημείο της ευθείας

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Blaise Pascal Αναλυτική βιογραφία στα αγγλικά Ένα περιεκτικό site για τους αριθμούς που μπορούμε να βρούμε στο τρίγωνο του Pascal.

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci ,[object Object],0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … 1 2 3 5 8 1 13 21 34 55 89 Το τρίγωνο συνεχώς μεγαλώνει και τα αθροίσματα συνεχίζονται.

Και το συμπέρασμα ποιο είναι;

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί… Αλλά αυτή η φράση μας παραπέμπει σε έναν άλλο σπουδαίο αριθμό για τον οποίο θα μιλήσουμε λίγο πιο μετά…

Γεωμετρία των φυτών

F02 Analogies

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to F02 Analogies

Similar to F02 Analogies (20)

More from A Z

More from A Z (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (14)

F02 Analogies