Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Loading in …3
×
1 of 43

G B02 Trigonometry

6

Share

Εισαγωγή στην Τριγωνομετρία

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

G B02 Trigonometry

  1. 1. Εισαγωγή στη Τριγωνομετρία Ζουρνά Άννας
  2. 2. <ul><li>Υπάρχουν πολλά προβλήματα της Γεωμετρίας, που δε μπορούν να λυθούν μόνο με γεωμετρικές γνώσεις και μεθόδους. </li></ul><ul><li>Με την Τριγωνομετρία και ειδικότερα με τη χρήση των τριγωνομετρικών αριθμών, που θα ασχοληθούμε εκτενώς, τα </li></ul><ul><li>προβλήματα αυτά είναι </li></ul><ul><li>δυνατόν να λυθούν. </li></ul>Η Τριγωνομετρία σε σχέση με την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία
  3. 3. Η Τριγωνομετρία σε σχέση με την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία <ul><li>Οι σχέσεις που βρίσκουμε μεταξύ των μηκών των πλευρών των τριγώνων, των μέτρων των γωνιών κλπ είναι αλγεβρικές σχέσεις. </li></ul><ul><li>Έτσι στην Τριγωνομετρία χρησιμοποιούμε όλες τις αλγεβρικές μας γνώσεις. </li></ul>
  4. 4. Η Τριγωνομετρία σε σχέση με την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία <ul><li>Άρα η Τριγωνομετρία μπορεί να θεωρηθεί: </li></ul><ul><li>εφαρμογή της Άλγεβρας και </li></ul><ul><li>επέκταση της Γεωμετρίας. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Είναι σχετικά λίγες οι περιπτώσεις όπου με καθαρά γεωμετρικές μεθόδους μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο των γωνιών ενός τριγώνου με δεδομένες πλευρές. </li></ul>Ο Σκοπός της Τριγωνομετρίας
  6. 6. <ul><li>Η γεωμετρική κατασκευή των σχημάτων και στη συνέχεια η μέτρηση των στοιχείων αυτών δε μας δίνει ακριβή στοιχεία. Η προσέγγιση εξαρτάται από το είδος των οργάνων που θα χρησιμοποιήσουμε. </li></ul>Ο Σκοπός της Τριγωνομετρίας Λέμε ότι η γωνία αυτή είναι περίπου 30 ο .
  7. 7. <ul><li>Για να αποφύγουν οι Μαθηματικοί τα σφάλματα και για να συμπληρώσουν το έργο της Γεωμετρίας, δημιούργησαν την Τριγωνομετρία. </li></ul>Ο Σκοπός της Τριγωνομετρίας Τέρμα τα προσεγγιστικά λάθη! Ήρθε η Τριγωνομετρία!!
  8. 8. <ul><li>Σκοπός της Τριγωνομετρίας είναι ο υπολογισμός με καθαρά λογιστικούς κανόνες, των αγνώστων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του. </li></ul>Ο Σκοπός της Τριγωνομετρίας
  9. 9. <ul><li>Αν σκεφτούμε ακόμη ότι κάθε ευθύγραμμο σχήμα αναλύεται σε τρίγωνα, η χρήση της Τριγωνομετρίας επεκτείνεται σε όλα τα ευθύγραμμα σχήματα. </li></ul>Ο Σκοπός της Τριγωνομετρίας
  10. 10. Τριγωνομετρικοί αριθμοί <ul><li>Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι έξι. </li></ul><ul><li>Το ημίτονο ημφ, το συνημίτονο συνφ, </li></ul><ul><li>η εφαπτομένη εφφ, η συνεφαπτομένη σφφ, </li></ul><ul><li>η τέμνουσα τεμφ και η συντέμνουσα στεμφ. </li></ul><ul><li>Όπου φ μία οποιαδήποτε γωνία. </li></ul><ul><li>Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με </li></ul><ul><li>τους πρώτους τέσσερις. </li></ul>Προσοχή! Είναι συμβολισμοί! Δεν επιτρέπεται να αφήνουμε κενό μεταξύ των γραμμάτων δηλαδή όχι ημ φ. Δεν επιτρέπεται να βάζουμε τελείες: συν.φ Δεν εφαρμόζονται οι ιδιότητες των πράξεων στους τριγωνομετρικούς αριθμούς! Δηλαδή ημ2φ ≠ 2ημφ και ημ(ω+φ) ≠ ημω + ημφ Κάπως έτσι νιώθετε;
  11. 11. Αναλυτικά <ul><li>Θα δούμε πρώτα πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών ενός τυχαίου ορθογωνίου τριγώνου. </li></ul>
  12. 12. Ορθογώνιο τρίγωνο <ul><li>Για να θυμηθούμε πως ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα
  13. 13. Οξείες γωνίες και πλευρές ορθογωνίου τριγώνου <ul><li>Ποιες είναι οι οξείες γωνίες στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο; </li></ul><ul><li>Σωστά η Β και η Γ. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ Β Γ
  14. 14. Οξείες γωνίες και πλευρές ορθογωνίου τριγώνου <ul><li>Ποια κάθετη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη Γ; </li></ul><ul><li>Σωστά! Η ΑΒ. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ
  15. 15. Οξείες γωνίες και πλευρές ορθογωνίου τριγώνου <ul><li>Ποια κάθετη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη Β; </li></ul><ul><li>Σωστά! Η ΑΓ. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ
  16. 16. Οξείες γωνίες και πλευρές ορθογωνίου τριγώνου <ul><li>Ποια κάθετη πλευρά είναι προσκείμενη της Γ (δηλαδή ποια κάθετη πλευρά βρίσκεται δίπλα στη Γ); </li></ul><ul><li>Σωστά! Η ΑΓ. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ
  17. 17. Οξείες γωνίες και πλευρές ορθογωνίου τριγώνου <ul><li>Ποια κάθετη πλευρά είναι προσκείμενη της Β (δηλαδή ποια κάθετη πλευρά βρίσκεται δίπλα στη Β); </li></ul><ul><li>Σωστά! Η ΑΒ. </li></ul>κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ Δε τα θυμάμαι. Θέλω να τα ξαναδώ.
  18. 18. <ul><li>Νομίζω ότι τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε! </li></ul>
  19. 19. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - ημίτονο απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ ημΒ = = ΑΓ ΒΓ Όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι λόγοι πλευρών. Δηλαδή είναι κλάσματα.
  20. 20. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - ημίτονο απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ ημΓ = = ΑΒ ΒΓ Εργαζόμαστε αντίστοιχα τώρα για το ημίτονο της γωνίας Γ
  21. 21. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - συνημίτονο προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ συνΒ = = ΑΒ ΒΓ
  22. 22. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - συνημίτονο προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ συνΓ = = ΑΓ ΒΓ
  23. 23. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - εφαπτομένη προσκείμενη κάθετη πλευρά απέναντι κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ εφΒ = = ΑΓ ΑΒ
  24. 24. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - εφαπτομένη προσκείμενη κάθετη πλευρά απέναντι κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ εφΓ = = ΑΒ ΑΓ
  25. 25. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - συνεφαπτομένη απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ σφΒ = = ΑΒ ΑΓ
  26. 26. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών - συνεφαπτομένη απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά κάθετη πλευρά υποτείνουσα Β Α Γ σφΓ = = ΑΓ ΑΒ
  27. 27. Παράδειγμα 1 <ul><li>Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β. </li></ul>Β Α Γ 13 5 12 Αν μας δίνουν μόνο τις δύο πλευρές πως θα βρούμε την τρίτη πλευρά; Σωστά! Θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα
  28. 28. Παράδειγμα 1 <ul><li>Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β. </li></ul>Β Α Γ 13 5 12 απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα ημΒ = = ΑΓ ΒΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα συνΒ = = ΑΒ ΒΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά απέναντι κάθετη πλευρά εφΒ = = ΑΓ ΑΒ απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά σφΒ = = ΑΒ ΑΓ = 5 13 = 12 13 = 5 12 = 12 5 Κάνουμε απλή αντικατάσταση! Άρα το κλειδί είναι να μάθουμε απ’ έξω τους τύπους!
  29. 29. Παράδειγμα 2 <ul><li>Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ. </li></ul>Β Α Γ 5 3 4 απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα ημΓ = = ΑΒ ΒΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα συνΓ = = ΑΓ ΒΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά απέναντι κάθετη πλευρά εφΓ = = ΑΒ ΑΓ απέναντι κάθετη πλευρά προσκείμενη κάθετη πλευρά σφΓ = = ΑΓ ΑΒ = 4 5 = 3 5 = 4 3 = 3 4 Για την άλλη φορά απ’ έξω και οι τέσσερις τύποι! Και εσείς στο τετράδιο!
  30. 30. <ul><li>Και τώρα ας δούμε </li></ul><ul><li>πως ξεκίνησαν </li></ul><ul><li>όλα αυτά… </li></ul>
  31. 31. Ιστορία της Τριγωνομετρίας <ul><li>Η πρώτη ιστορικά εμφανιζόμενη τριγωνομετρική </li></ul><ul><li>έννοια βρίσκεται στο πρόβλημα 56 του παπύρου </li></ul><ul><li>του Rhind (2000 – 1800π.Χ.) και είναι η έννοια της </li></ul><ul><li>κλίσης μίας γωνίας, αυτό που σήμερα θα ονομάζαμε εφαπτομένη. Στο πρόβλημα, ζητείται η διατήρηση της ίδιας κλίσης στις έδρες μιας πυραμίδας, κατά την κατασκευή της. </li></ul>Τα προβλήματα του παπύρου Rhind
  32. 32. Ιστορία της Τριγωνομετρίας <ul><li>Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί Εύδοξος </li></ul><ul><li>(404 – 335 π.Χ.) και Αρίσταρχος (310 – 240 π.Χ.) </li></ul><ul><li>στις αστρονομικές τους εργασίες ασχολήθηκαν </li></ul><ul><li>με θέματα κυρίως της σφαιρικής Τριγωνομετρίας. </li></ul>Οι ομόκεντρες σφαίρες του Ευδόξου Θυμόσαστε τον Εύδοξο από τους άρρητους αριθμούς;
  33. 33. Ίππαρχος (190 – 120 π.Χ.) <ul><li>Γεννήθηκε στη Νίκαια της Βιθυνίας. </li></ul><ul><li>Έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στη Ρόδο. </li></ul>
  34. 34. Ίππαρχος (190 – 120 π.Χ.) <ul><li>Διαίρεσε τον κύκλο σε 360 ο . </li></ul><ul><li>Έκανε εκπληκτικούς αστρονομικούς υπολογισμούς. </li></ul><ul><li>Στα 12 βιβλία που αποτελούν τη «Περί της πραγματείας των εν κύκλω ευθειών» χρησιμοποιεί τριγωνομετρικούς αριθμούς. </li></ul><ul><li>Ο Ίππαρχος ήταν ο πρώτος που συνέταξε έναν τριγωνομετρικό πίνακα που του επέτρεπε να επιλύει οποιοδήποτε τρίγωνο (δηλαδή με δεδομένα τις τιμές τριών από τα έξι κύρια στοιχεία του τριγώνου να υπολογίζει τα άλλα τρία). </li></ul>
  35. 35. Ίππαρχος (190 – 120 π.Χ.) <ul><li>Είναι ο εφευρέτης του αστρολάβου. </li></ul><ul><li>Ο αστρολάβος ένα ιστορικό αστρονομικό όργανο το οποίο χρησιμοποιούσαν οι ναυτικοί και οι αστρονόμοι για την ναυσιπλοΐα, την παρατήρηση του Ήλιου και των αστεριών από τον 2ο αιώνα π.Χ. μέχρι τον 18ο αιώνα μ.Χ., όπου αντικαταστάθηκε </li></ul><ul><li>από τον εξάντα. </li></ul>
  36. 36. Ίππαρχος (190 – 120 π.Χ.) <ul><li>Το 2006, ανακοινώθηκε από την Ομάδα Έρευνας του Μηχανισμού των Αντικυθήρων ότι ένα σύμπλεγμα οδοντωτών τροχών στο εσωτερικό του μηχανισμού αναπαριστούσε τη μεταβλητή γωνιακή ταχύτητα της Σελήνης, σύμφωνα με τη θεωρία του Ιππάρχου. </li></ul>
  37. 37. <ul><li>Το μόνο βιβλίο του Ίππαρχου που διεσώθη. </li></ul><ul><li>Τα υπόλοιπα χάθηκαν στη μεγάλη φωτιά της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. </li></ul><ul><li>Οι γνώσεις μας για το «Περί της πραγματείας των εν κύκλω ευθειών» προκύπτουν από τον Πτολεμαίο που διέσωσε αλλά και συμπλήρωσε πολλές εργασίες του Ίππαρχου στα δικά του βιβλία. </li></ul>Σε έκδοση του 1567
  38. 38. Πτολεμαίος Κλαύδιος (83 – 168 π.Χ.) <ul><li>Γεννήθηκε στην Πτολεμαΐδα Ερμίου της Αιγύπτου </li></ul><ul><li>Έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Αλεξάνδρεια. </li></ul>
  39. 39. Πτολεμαίος Κλαύδιος (83 – 168 π.Χ.) <ul><li>Έγραψε πολλά έργα με πιο σημαντική τη «Μαθηματική Σύνταξη» (η Μεγίστη ή Al- Magest των Αράβων) </li></ul><ul><li>που αποτελείται από 13 βιβλία και που </li></ul><ul><li>διεσώθη ολόκληρη από τους Άραβες. </li></ul>Τριγωνομετρικοί πίνακες από την Μεγίστη στα Αραβικά.
  40. 40. Ίππαρχος Πτολεμαίος Έκδοση του 1559
  41. 41. Από εκεί και πέρα αρκετά αργότερα … <ul><li>O Γερμανοαυστριακός Georg von Peuerbach ( Georg Purbach) (1423 – 1461) συνέταξε τον πρώτο τριγωνομετρικό πίνακα, τον οποίο τελειοποίησε ο Γερμανός Johannes Müller von Königsberg ( 1436 – 1476) . </li></ul><ul><li>Ο François Viète ( 1540 – 1603 ) το 1579 δημοσίευσε τον «Μαθηματικό Κανόνα» όπου δίνει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ανά λεπτό. </li></ul><ul><li>Και άλλοι πολλοί μαθηματικοί ανά τους </li></ul><ul><li>αιώνες συμπλήρωναν τις γνώσεις για την </li></ul><ul><li>Τριγωνομετρία, όπως οι Patiscus (17 ο αιώνα ) </li></ul><ul><li>και Snellius (17 ο αιώνα). </li></ul>
  42. 42. Εφαρμογές της Τριγωνομετρίας <ul><li>Η Τριγωνομετρία έχει πολλές εφαρμογές στην καθημερινή μας ζωή, με τις οποίες θα ασχοληθούμε αργότερα και αφού μάθετε τέλεια τους τύπους που εφαρμόζουμε. </li></ul>Άλλος για βουτιές; Πω πω βόλτα! Ευχαριστώ Τριγωνομετρία!
  43. 43. Εργασία για το Σπίτι <ul><li>Θεωρία </li></ul><ul><li>Σελ. 61 – 66 </li></ul><ul><li>(από την έκδοση) </li></ul><ul><li>Άσκηση </li></ul><ul><li>16 σελ. 70 – 71 </li></ul><ul><li>και τα σχήματα </li></ul><ul><li>(από την έκδοση) </li></ul>Και σε μένα τώρα χρειάζεται η Τριγωνομετρία! Μη σας φαίνεται καθόλου περίεργο…

×