Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

More Related Content

You Might Also Like

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Praxeis - dianysmata

  1. 1. Πράξεις και διανύσματα Ζουρνά Άννας
  2. 2. <ul><li>Ας θυμηθούμε τι είναι τα διανύσματα και ποια είναι τα χαρακτηριστικά ενός διανύσματος … </li></ul>
  3. 3. Διάνυσμα ΑΒ <ul><li>Τα διανύσματα ορίζονται ως προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα. </li></ul>Α Β (ε) Το σημείο Α λέγεται αρχή του διανύσματος ΑΒ ενώ το Β είναι το πέρας αυτού.
  4. 4. <ul><li>Τα χαρακτηριστικά ενός διανύσματος είναι: </li></ul><ul><li>το μέτρο </li></ul><ul><li>η φορά και </li></ul><ul><li>η διεύθυνση, ο φορέας, δηλαδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. </li></ul>Διάνυσμα ΑΒ Α Β (ε)
  5. 5. Ίσα διανύσματα <ul><li>Ίσα λέγονται δύο ή και περισσότερα </li></ul><ul><li>διανύσματα όταν έχουν: </li></ul><ul><li>ίδιο μέτρο </li></ul><ul><li>ίδια φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>α β γ
  6. 6. Αντίθετα διανύσματα <ul><li>Αντίθετα λέγονται δύο διανύσματα όταν έχουν: </li></ul><ul><li>ίδιο μέτρο, </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς και </li></ul><ul><li>ΑΝΤΙΘΕΤΗ φορά. </li></ul>α β = – α β = – α β
  7. 7. Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα <ul><li>Παράλληλα ή συγγραμμικά λέγονται δύο ή και περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>α β γ
  8. 8. Ομόρροπα διανύσματα <ul><li>Ομόρροπα λέγονται δύο ή και περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>έχουν την ίδια φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>Δηλαδή αν έχουν την ίδια κατεύθυνση α β γ δ
  9. 9. Αντίρροπα διανύσματα <ul><li>Αντίρροπα λέγονται δύο μη μηδενικά </li></ul><ul><li>διανύσματα όταν: </li></ul><ul><li>έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΗ φορά και </li></ul><ul><li>βρίσκονται στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς. </li></ul>Δηλαδή αν έχουν αντίθετη κατεύθυνση α β
  10. 10. Πρόσθεση ομόρροπων διανυσμάτων <ul><li>Το άθροισμα δύο ή και περισσοτέρων ομόρροπων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα ομόρροπο προς αυτά που έχει μέτρο το άθροισμα των μέτρων τους. </li></ul>Παράδειγμα Να βρείτε το μέτρο της ολικής δύναμης F ολ που ασκείται σε ένα σώμα αν επιδρούν πάνω του οι δυνάμεις: F 1 = 7N F 2 = 4N F ολ = F 1 + F 2 = 7N + 4N = 11N α β α β
  11. 11. Πρόσθεση αντίρροπων διανυσμάτων <ul><li>Το άθροισμα δύο αντίρροπων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα ομόρροπο προς το διάνυσμα με το μεγαλύτερο μέτρο και έχει μέτρο τη διαφορά των μέτρων τους. </li></ul>Παράδειγμα Να βρείτε το μέτρο της ολικής δύναμης F ολ που ασκείται σε ένα σώμα αν επιδρούν πάνω του οι δυνάμεις: F 1 = 5 N F 2 = 3 N F ολ = F 1 – F 2 = 5 N – 3 N = 2 N Οι κανόνες αυτοί θυμίζουν το άθροισμα ομόσημων και το άθροισμα ετερόσημων αριθμών. Προς τα πού θα κινηθεί το σώμα; Ποια δύναμη θα υπερισχύσει της άλλης; α β α β
  12. 12. Πρόσθεση μη συγγραμμικών διανυσμάτων <ul><li>Για να προσθέσουμε διανύσματα που δεν είναι συγγραμμικά χρησιμοποιούμε δύο μεθόδους: </li></ul><ul><li>τον κανόνα του πολυγώνου και </li></ul><ul><li>τον κανόνα του παραλληλογράμμου </li></ul>
  13. 13. Ο κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Μεταφέρουμε τα διανύσματα το ένα μετά το άλλο σχηματίζοντας ένα πολύγωνο. </li></ul><ul><li>Το άθροισμά τους είναι το διάνυσμα που ενώνει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το πέρας του τελευταίου διανύσματος. </li></ul>
  14. 14. Ο κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Παράδειγμα </li></ul><ul><li>Να προσθέσετε τα παρακάτω διανύσματα: </li></ul>Μεταφέρουμε τα διανύσματα το ένα μετά το άλλο σχηματίζοντας ένα πολύγωνο. Αρχή Πέρας α β γ δ α + β + γ + δ
  15. 15. Κανόνας του πολυγώνου <ul><li>Όταν προσθέτουμε διαδοχικά διανύσματα η διαδικασία απλουστεύεται κατά πολύ. </li></ul><ul><li>ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ + ΕΖ + ΖΗ = ΑΗ </li></ul>Α Β Γ Δ Ε Ζ Η
  16. 16. Ο κανόνας του παραλληλογράμμου <ul><li>Ο κανόνας του παραλληλογράμμου εφαρμόζεται όταν θέλουμε να προσθέσουμε δύο διανύσματα </li></ul><ul><li>με κοινή αρχή. </li></ul><ul><li>Τότε σχηματίζουμε ένα παραλληλόγραμμο </li></ul><ul><li>που έχει πλευρές τα διανύσματα. </li></ul><ul><li>Ως άθροισμα των δύο διανυσμάτων ορίζουμε το διάνυσμα της διαγωνίου του παραλληλογράμμου που έχει αρχή το κοινό σημείο εφαρμογής των δύο διανυσμάτων. </li></ul>
  17. 17. Ο κανόνας του παραλληλογράμμου <ul><li>Παράδειγμα </li></ul><ul><li>Να προσθέσετε τα παρακάτω διανύσματα: </li></ul>Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο και παίρνουμε τη διαγώνιο. α β α + β
  18. 18. Παράδειγμα <ul><li>Να βρείτε το διάνυσμα της συνισταμένης ώθησης που ασκείται στην ιστιοσανίδα: </li></ul>Διάνυσμα ώθησης ανέμου Διάνυσμα ώθησης θαλασσίων ρευμάτων Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο και παίρνουμε τη διαγώνιο.
  19. 19. Διαφορά διανυσμάτων <ul><li>Για να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα αρκεί να προσθέσουμε στο πρώτο το αντίθετο του δευτέρου. </li></ul>ΑΒ – ΓΒ = ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ Το αντίθετο του ΓΒ είναι το ΒΓ. ΒΓ = – ΓΒ
  20. 20. <ul><li>Ας δούμε και λίγα ιστορικά στοιχεία </li></ul><ul><li>της θεωρίας των διανυσμάτων… </li></ul>
  21. 21. Ήρων ο Αλεξανδρινός <ul><li>Έζησε στην Αλεξάνδρεια (10 – 70μ. X .) </li></ul><ul><li>Ήταν μηχανικός και γεωμέτρης. </li></ul><ul><li>Η πιο διάσημη εφεύρεσή του είναι η αιολόσφαιρα ή ατμοστρόβιλος </li></ul><ul><li>η πρώτη ατμομηχανή </li></ul><ul><li>στην ιστορία. </li></ul>
  22. 22. Ήρων ο Αλεξανδρεύς <ul><li>Υπήρξε διευθυντής της περίφημης Ανώτατης Τεχνικής Σχολής της Αλεξάνδρειας, το πρώτο πολυτεχνείο. </li></ul><ul><li>Στο βιβλίο του «Μηχανικά» αποδεικνύει με τη χρήση αναλογιών τον τρόπο υπολογισμού της συνισταμένης της κίνησης. Δηλαδή, τον κανόνα </li></ul><ul><li>του παραλληλογράμμου </li></ul><ul><li>που είδαμε σήμερα. </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Μηχανισμός του Ήρωνα που άνοιγε τις πύλες ναού με το άναμμα του βωμού </li></ul>Έκδοση του 1589
  24. 24. Μετά από 1700 χρόνια … <ul><li>Ένας Νορβηγός ο Caspar Wessel (1745 – 1818) το 1799 έδωσε ορισμούς για τις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων. </li></ul><ul><li>Ένας Γάλλος ο Jean Robert Argand (1768 – 1822) τ o 1806 στην εργασία του στους μιγαδικούς αριθμούς με τίτλο: «Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires </li></ul><ul><li>dans les constructions géométriques» </li></ul><ul><li>έθεσε τις βασικές ιδέες για το </li></ul><ul><li>Διανυσματικό Λογισμό. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Και άλλοι μαθηματικοί και φυσικοί ασχολήθηκαν με το Διανυσματικό Λογισμό όπως οι Michel Chasles, Hermann Grassmann, Josiah Willard Gibbs και Oliver Heaviside, </li></ul><ul><li>αλλά ο Giuseppe Peano ήταν αυτός που θεμελίωσε με αξιώματα την έννοια του διανυσματικού χώρου, το 1888. </li></ul>Τον θυμόμαστε από τα πέντε αξιώματα του με τα οποία ορίστηκε το σύνολο των Φυσικών αριθμών.
  26. 26. Εργασία για το Σπίτι <ul><li>Θεωρία </li></ul><ul><li>Σελ. 162 – 165 </li></ul><ul><li>Ερωτήσεις Κατανόησης (πάνω στο βιβλίο) </li></ul><ul><li>1, 2 και 3 σελ. 165 </li></ul><ul><li>4 σελ. 166 </li></ul><ul><li>Ασκήσεις </li></ul><ul><li>3, 5 σελ 166 (στο τετράδιο και τα σχήματα) </li></ul>

×