Fourier transformation has become known in the field of medical imaging following the introduction of MR imaging; currently it is still probably one of the most difficult areas of MR image formation to conceive. However, Fourier transformation and K-space concept is indispensable for the understanding of most artefacts as well as the operation of fast/ultrafast MR pulse sequences. The lines of K-space represent different spatial frequency information applying to the whole image, as well as defining the photographic contrast and recorded detail. All digital images can be constructed using spatial frequency elements, furthermore the images may be analyzed with Fourier transformation. Lately, according to the signal channel model accepted in human visual perception research, visual information in the human brain may also be constructed using spatial frequency schemes.

1. MR-DIAGNOSZTIKA
Összefoglaló közlemény
A Fourier-transzformáció szerepe
az MR-képalkotásban és
a mûtermékképzôdésben
WALTER Norbert, VANDULEK Csaba, ARADI Mihály,
BÁGYI Péter, BOGNER Péter
The role of Fourier transformation in MR imaging and
its relation to artefacts
A Fourier-transzformáció az orvosi képalkotás területén az
MR-képalkotás megjelenésével vált közismertté, és a me- Fourier transformation has become known in the field of
dicinában csakúgy, mint az oktatás során az MR-képalkotó medical imaging following the introduction of MR imaging;
folyamat egyik nehezebben megismerhetô, megérthetô ré- currently it is still probably one of the most difficult areas of
sze. Ugyanakkor a Fourier-transzformáció és a k-tér-kon- MR image formation to conceive. However, Fourier transfor-
cepció ismerete nélkül nem lehet megérteni a gyors MR- mation and K-space concept is indispensable for the under-
szekvenciák mûködését, valamint a mûtermékek jelentôs standing of most artefacts as well as the operation of
részének keletkezését. A k-tér sorai jelenítik meg a teljes fast/ultrafast MR pulse sequences. The lines of K-space rep-
képre vonatkozó különbözô térfrekvenciájú információhal- resent different spatial frequency information applying to the
mazt, amelyek meghatározzák a kép kontrasztját és fel- whole image, as well as defining the photographic contrast
bontását. and recorded detail.
Bármilyen képi információ felépíthetô térfrekvencia-ele- All digital images can be constructed using spatial frequency
mekbôl, amelyek a fent említett eszközrendszerrel ugyan- elements, furthermore the images may be analyzed with
úgy analizálhatók. Az utóbbi években az emberi látórend- Fourier transformation. Lately, according to the signal chan-
szer kutatásában elfogadottá vált az úgynevezett jel-csa- nel model accepted in human visual perception research,
torna modell, amely szerint a vizuális információt is térfrek- visual information in the human brain may also be construct-
vencia-sémák alkotják. ed using spatial frequency schemes.
MR-képalkotás, Fourier-tanszformáció, k-tér, MR imaging, Fourier transformation, k-space,
mûtermék, vizuális percepció artefact, visual perception
WALTER NORBERT, VANDULEK CSABA, DR. BOGNER PÉTER (levelezô szerzô/correspondent): Pécsi Tudományegyetem
Egészségtudományi Kar, Diagnosztikai Képalkotó Szak/University of Pécs, Faculty of Health Sciences, Department of
Diagnostic Imaging; H-7400 Kaposvár, Szent Imre u. 14/B. E-mail: peter.bogner@etk.pte.hu
DR. ARADI MIHÁLY: Pécsi Diagnosztikai Központ/Pécs Diagnostic Centre; Pécs
DR. BÁGYI PÉTER: Kenézy Kórház Nonprofit Kft./Kenézy Hospital Nonprofit Kft.; Debrecen
Fourier-transzformációt, a jelanalízis egyik képalkotó módszerek megértése a Fourier-transz-
A alapvetô matematikai eszközét széles kör-
ben alkalmazzák különbözô tudományte-
rületeken és így általánosan elterjedt a képalkotó
formáció elvének megértésén alapul. Az MR-kép
kódolása, feltöltése és jó néhány mûtermék kelet-
kezése a Fourier-transzformációban, illetve annak
diagnosztikában is, azon belül leggyakoribb fel- alkalmazásában gyökerezik.
használási területe az MR-képalkotás1–3. Az MR- Egy érdekes adalék, hogy az emberi látás kutatá-
126 Érkezett: 2010. január 25. Elfogadva: 2010. március 3.
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

2. a
kontraszt érzékenység
b
térfrekvencia
2. ábra. A térfrekvencia és a kontrasztérzékenység ösz-
szefüggése. A kis képeken az egyes térfrekvenciához tar-
tozó képi információ jelenik meg. Az alacsonyabb térfrek-
c venciánál a kontraszt, a magasabb térfrekvenciánál a
(térbeli) részletek dominálnak
1. ábra. Vonalpárok a) és vele azonos térfrekvenciájú al- szernek tekinthetô5–8. A jel-csatorna modell szerint
ternáló kontrasztmintázat b), valamint az azt leíró térfrek- a vizuális információ (képek) tehát különbözô ará-
vencia-hullámfüggvény c) ábrázolása nyú térfrekvencia-komponensekbôl épül fel. Ha-
sonlóan az MR-képalkotásban alkalmazott elvek-
hez, a magas térfrekvenciájú elemek felelnek a kép-
sában az elmúlt évtizedben elfogadottá vált az úgy- részletekért, azaz ezek adják a felbontóképességet,
nevezett jel-csatorna modell, amely bármely látott míg az alacsony frekvenciájú elemek a kontrasztot
képet különbözô térfrekvenciájú információkból határozzák meg. A 2. ábra az egyes térfrekvencia-
épít fel (a hosszegységre esô periódusok számát tartományokhoz tartozó képi információt demonst-
térfrekvenciának nevezzük)4. A térfrekvenciás in- rálja, valamint az egyes térfrekvencia-tartományok
formáció (frekvencia és amplitúdó – térbeli és kontrasztérzékenységét9. Látható, hogy az egyes
kontrasztfelbontás) a digitális képekben elemez- térfrekvencia-tartományokra a látórendszer nem
hetôvé válik, akár a Fourier-transzformáció segítsé- egyforma érzékenységû, hanem az alacsony és ma-
gével. A térfrekvencia fogalma a radiológiában rég- gas frekvenciarégióban a látórendszerünk érzé-
óta jelen van, hiszen a leképezôrendszerek felbon- kenysége csökken.
tóképességét is valójában egy térfrekvencia-para-
méterrel, azaz a vonalpár/mm vagy vonalpár/cm
mértékegységekkel adjuk meg. Ez a vonalpár/mm
mértékegység tehát valójában nem más, mint az
egységnyi távolságra esô ciklusok száma (1. ábra).
Az 1. ábrán jól megfigyelhetô, hogy az egységnyi
távolságra esô vonalpárok határozzák meg a tér-
frekvencia nagyságát, a vonalpárok kontrasztviszo-
nya pedig a hullámgörbe amplitúdóját. Számos kí-
sérletes tanulmány arra utal, hogy az emberi látó-
rendszerben minden egyes frekvenciacsatorna ±1
oktáv távolságra helyezkedik el egymástól, maga a 3. ábra. A g(t)=1+2sin(2πft) szinuszhullám függvény-
látórendszer pedig egy frekvenciaanalizáló rend- alakja
MAGYAR RADIOLÓGIA 2010;84(2):126–133. 127
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

3. A FOURIER-
TRANSZFOR-
MÁCIÓ
Joseph Fourier (1768–1830)
dolgozta ki azt a módszert,
amellyel egy komplex jel
egyszerû szinuszhullámok
végtelen összegeként írható
le. Fourier ezt az elvet diffe-
renciálegyenletek sorozatá-
nak megoldása révén a
hôszóródás leírására használ-
ta. Ugyanakkor a Fourier-
féle koncepció felbecsülhe-
tetlen értékû bármely komp-
4. ábra. Három, különbözô frekvenciájú és amplitúdójú koszinuszhullám összegeként lex jel összetételének tanul-
létrejövô bonyolultabb periodikus rezgés, amely komponenseire bontva az eredeti pa- mányozására függetlenül at-
ramétereket adja vissza tól, hogy ez zenei, vizuá-
lis vagy hangeredetû, vagy
akár digitális orvosi képal-
a b kotásból származik. Össze-
tett függvény vagy jel felír-
ható harmonikus (szinusz-
vagy koszinusz-) függvé-
nyek összegének soraként.
Ezzel a közelítéssel az ere-
deti jel tetszôleges pontos-
sággal írható le olyan függ-
vényekkel, amelyekben csak
harmonikus függvények
szerepelnek, adott amplitú-
c
dóval és frekvenciával. A
közelítô sor tagjainak amp-
litúdói a frekvenciák függ-
vényében adják meg a jel
spektrumát, amelyet a Fou-
rier-analízis során nyerünk.
Az egyes frekvenciák jelen-
tése az eredeti jel ismét-
lôdési ritmusa a különbözô
értékeket tekintve (3–5. áb-
5. ábra. Négyszögrezgés egyre pontosabb közelítése pusztán harmonikus ra). A Fourier-transzformá-
komponensekbôl álló, egyre nagyobb pontosságú függvénysorral. A pontosság ció részletesebb leírása a
tetszôlegesen finomítható, elvileg végtelen komponensû összeg adná az eredeti négy- függelékben található (lásd
szögrezgést zérus hibával a keretet!). Az eredeti Fou-
rier-transzformáció helyett
az MR-képalkotásban a rá-
Az alábbi áttekintés bemutatja a Fourier-transz- diófrekvenciás jelek analízise az úgynevezett fast
formációnak az MR-képalkotásban való felhaszná- Fourier transform (FFT) segítségével történik, amely-
lását és a mûtermékek képzôdésben való jelentô- ben a diszkrét pontok számítási idejét egyszerû arit-
ségét. metikai szabályok alkalmazásával rövidítik le.
128 Wa l t e r : A Fo u r i e r- t r a n s z f o r m á c i ó s z e re p e a z M R - k é p a l k o t á s b a n é s a m û t e r m é k k é p z ô d é s b e n
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

4. 7. ábra. A k-tér sematikus ábrázolása. A k-tér közepén
az alacsonyabb, a széleken pedig a magas frekvenciájú
információ található
AZ MR-KÉP KÓDOLÁSA ÉS
A K - T É R F E LT Ö LT É S E
Az MR-képalkotásban egy összetett rádióhullámot,
az echót kívánjuk szétbontani, amely frekvencia- és
NAA
fáziskódolt térbeli információt tartalmaz: ebbôl kell
a képet felépíteni. Egy tipikus spinechó szekvenci-
ában a szeletkiválasztó gradiens alkalmazását kö-
Cr vetôen – amely a vizsgálni kívánt képsíkot határoz-
za meg – az összes spin azonos frekvenciával és fá-
zisban precesszál, amelyet a Bo mágneses mezô ha-
Ins tároz meg. Ezen a ponton a vizsgálni kívánt képsík-
Cho
Glx ban az összes proton egyformának tûnik a Fourier-
transzformáció számára. Ugyanakkor dinamikusan
változó mágneses gradiens terek szuperpozíciója a
képsíkban a spinek frekvenciájának és fázisának
térbeli lokalizációjuktól függô megváltozását okoz-
za. Ezáltal a különbözô anatómiai pontokhoz kü-
lönbözô térfrekvenciák fognak tartozni. Minél me-
6. ábra. a) Az ábrán az összetett g(t) hullám harmonikus redekebb a gradiens, annál nagyobb különbségek
függvényekre bontása látható, amelynek eredménye A és keletkeznek a képpontokat reprezentáló spinek kö-
B. Mindkettô szinuszhullám, A esetében az amplitúdó ér- zött. Ebbôl következik, hogy a nagy térbeli felbon-
téke nagyobb, mint B-nél, A frekvenciája f0 (az alaprez- táshoz (részletek) erôs gradiensek szükségesek,
gés), B frekvenciája pedig 3f0 (felharmonikus). b) Humán míg az alacsonyabb gradiensek alacsony térfrekven-
agy 1H-spektruma 3T MR-vizsgálattal ciás információt hordoznak (kontraszt). A mért
echó amplitúdója változik a szöveti összetétel, a
repetíciós idô és az echóidô függvényében.
Ez a szinte reménytelenül bonyolult rádióhul-
A Fourier-transzformáció az MR-képalkotásban lám(jel) aztán digitalizálásra kerül és a Fourier-
alapvetô fontosságú a tér egyes pontjait reprezentá- transzformáció segítségével alkotórészeire bontjuk,
ló rádiófrekvenciás hullámok „megfejtése” szem- majd az alkotórészek a k-térbe, azaz egy kétdimen-
pontjából. Ugyancsak közismert klinikai felhaszná- ziós Fourier-térbe kerülnek, amelynek segítségével
lása az in vivo MR-spektroszkópiával nyert frekven- rendezzük a térfrekvencia és amplitúdóinformációt
cia- és amplitúdóspektrumok (6. ábra). Az MR- (7. ábra). Az ábrán, jobb oldalon egy MR-kép való-
spektrumban látott különbözô csúcsok (amplitú- di adatai, bal oldalán pedig sematikus reprezentáci-
dók) a vizsgált térfogatban adott biológiai metabo- ója látható.
litok jelenlétét és arányát mutatják (6. b) ábra). Ha a k-tér egy pixelén inverz Fourier-transzfor-
MAGYAR RADIOLÓGIA 2010;84(2):126–133. 129
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

5. FÜGGELÉK
A 3. ábrán a g(t)=1+2 sin(2 πft) szinuszhullám függvényalakját láthatjuk, amelyben a paraméterek jelentése a
következô: f=1/2 π, a hullám frekvenciája; T=2 π, a periódusidô; amplitúdó=2; a hullám középértéke pedig
g(t)=1-nél található.
A 4. ábra három koszinuszhullám összegeként képzett összetett hullámalakot mutat be. Látható, hogy az eredeti
harmonikus hullámok amplitúdója rendre csökkenô, frekvenciája pedig növekvô. Az eredményként kapott össze-
tett hullám analíziseként ezeket a paramétereket nyerjük ki.
A Fourier-sorozat tehát bonyolult hullámok, egyszerû szinusz- és koszinuszhullámokkal való leírásának eszköze.
A függvénysor pontos alakja a következô összefüggés alapján számítható:
ahol:
, a vizsgálandó g(t) függvény teljes T periódusra vett átlaga;
, a Fourier-sorban szereplô koszinuszfüggvények amplitúdóinak sorozata n=1, 2, 3, …
mellett; valamint
, a Fourier-sorban szereplô szinuszfüggvények amplitúdóinak sorozata n=1, 2, 3, …
mellett. Látható, hogy az összetett jel [g(t)] megadható változó amplitúdójú és folyamatosan növekvô frekvenci-
ájú egyszerû szinusz- és koszinuszfüggvények végtelen sorozataként (Fourier-tétel).
Minél több szinusz- és koszinuszhullámot adunk egymáshoz, folyamatosan növekvô frekvenciával, annál ponto-
sabb lesz az eredeti jel megközelítése (5. ábra). Az 5. ábrán konkrét jel Fourier-féle közelítését láthatjuk különbözô
pontossággal. Az eredeti jel négyszög alakú, amelynek értéke 0<x<π tartományban 1, minden más tartományban
pedig 0 (5. a) ábra). A négyszögfüggvény (y) Fourier-sorára a fenti összefüggések alkalmazása után a következô
eredmény adódik:
Az 5. ábrán rendre n=1, 3 értékeknél vett közelítô függvénysorok láthatók. Megfigyelhetô, hogy a sor elemszámá-
nak növelése milyen hatással van az eredeti függvény közelítésére, minthogy az 5. c) ábrán az n=14 tagból álló ösz-
szeg már eléggé nagy pontossággal közelíti az eredeti függvényt minden tartományban.
A Fourier-transzformáció a bonyolult jelet bontja fel az azt felépítô különbözô frekvenciájú és az azokhoz tartozó
relatív amplitúdójú hullámokra (6. ábra). Ezáltal tehát a Fourier-transzformáció segítségével tanulmányozhatjuk
egy bonyolult jel frekvenciatartományát. A jelet ily módon nemcsak leképezhetjük, hanem a Fourier- (frekven-
cia-) térben a jelet akár manipulálhatjuk is. A Fourier-transzformáció az alábbi összefüggés szerint végezhetô el:
,
ahol , az imaginárius egység. A transzformáció az összetett g(t) jelbôl, amely az idô (vagy a tér) függvé-
nye, a frekvenciatérre kifejezett G(f) jelet, g(t) spektrumát állítja elô. G(f) jelet ábrázolva az egyes frekvenciákhoz
tartozó relatív amplitúdóértékeket láthatjuk (4. a) ábra).
A G(f) spektrum inverz Fourier-transzformációja visszaállítja az idôben (vagy térben) ábrázolt jelet, matemati-
kailag:
Vegyük észre, hogy a matematikai transzformáció mûvelete egyik esetben sem okoz információvesztést, csak azt
a módszert változtatja meg, hogy hogyan ábrázoljuk az információt. A 6. a) ábrán látható két harmonikus
függvénybôl álló összetett függvény [g(t)] Fourier-transzformáltja [G(f)] megmutatja azokat a frekvenciákat és re-
latív amplitúdókat, amelyek azelôtt rejtve voltak az összetett függvényben, jelen esetben két frekvenciaérték (vo-
nal), két relatív amplitúdóértékkel. Az inverz Fourier-transzformáció visszaállítja az idôben ábrázolt g(t) függ-
vényt.
130 Wa l t e r : A Fo u r i e r- t r a n s z f o r m á c i ó s z e re p e a z M R - k é p a l k o t á s b a n é s a m û t e r m é k k é p z ô d é s b e n
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

6. mációt hajtunk végre, ak-
kor az egyetlen specifikus a b
térfrekvenciának (váltako-
zó fekete-fehér vonalak) fe-
lel meg az egész képen (8.
ábra). A teljes k-tér 2D in-
verz Fourier-transzformá-
ciója az összes térfrekven-
ciát kombinálja és eredmé-
nyezi azt a képet, amit lá-
tunk. Attól függôen, hogy
egy pixel a k-tér melyik ré-
szén helyezkedik el, annak c
Fourier-transzformáltja kü-
lönbözô frekvenciájú és
orientációjú vonalakat ered-
ményez a látható képen.
Egyezményesen a magas
térfrekvenciákat a k-tér pe-
8. ábra. Fekete alapon fehér négyzet a) Fourier-transzformáltja b) és a transzformált
rifériás részeire, míg az ala-
kép egyes tartományainak inverz Fourier-transzformáltja c). A különbözô régiók más-
csony térfrekvenciákat a k-
más térfrekvencia-értékeket kódolnak
tér közepére töltjük fel. A
k-tér pixeleinek relatív in-
tenzitása az adott frekvencia látható képben való
hozzájárulását jelenti, azaz a világosabb pixelek egy
bizonyos térfrekvencia nagyobb jelenlétét jelzik a
látható képen.
A rádiófrekvenciás tüske (spike) olyan mûter-
mék, amely a fenti koncepciót jól példázza. Egy
szikra vagy egyéb eredetû rádiófrekvenciás zaj az
MR-vizsgáló helyiségben az MR-echót „szennyez-
heti”, ha ezen a rádiójelen Fourier-transzformációt
9. ábra. K-tér-hibából szár-
végzünk, a zaj frekvenciája hibásan beépül a k-térbe
mazó mûtermék, amelynek
egy magas jelû pixelként. A szennyezô frekvenciát
révén a kép egészén ferde
aztán inverz Fourier-módszerrel transzformáljuk az
csíkozottság látható
MR-képbe (9. ábra).
A cipzár mûtermék egy másik példája a rádiófrek-
venciás zajnak. Ezt általában egy keskeny rádiófrek-
venciás emisszió okozza, amely például a betegmo-
nitorozó eszközökbôl származhat. Ha ezt a nem kí-
vánt jelet inverz Fourier-módszerrel transzformáljuk
az MR-képbe, akkor egy vékony, folyamatos hiperin-
tenz vonalként jelenik meg a fáziskódoló irányban,
amelyet cipzárhoz szoktak hasonlítani (10. ábra).
Attól függôen, hogy a fázis- és frekvenciakódoló 10. ábra. Zipzár mûtermék:
gradienseket mikor, hogyan és milyen kombináció- fáziskódoló irányban sza-
ban kívánjuk alkalmazni, a k-tér feltöltésének több- bálytalan magas jelintenzi-
féle lehetséges módja van. Ha megtekintjük egy tású csíkok láthatók
kép Fourier-terét, akkor azt látjuk, hogy a kép leg-
nagyobb jelintenzitású részei a k-tér közepén he- része. Következésképpen, ha a k-teret töltjük, ak-
lyezkednek el, amely alacsony térfrekvenciát kódol. kor választhatjuk ennek a középsô magas jel-zaj vi-
A kép szempontjából talán ez a k-tér legfontosabb szonyú résznek a feltöltését és elhagyhatjuk a ke-
MAGYAR RADIOLÓGIA 2010;84(2):126–133. 131
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

7. Amint a gradienst kikapcsoljuk, a precesszió sebes-
sége kiegyenlítôdik a teljes képmezôben, de egy
térbeli fáziseltérés marad meg a protonok lokalizá-
ciójának függvényében. A fáziskódoló gradiens
11. ábra. Gibbs- amplitúdóját egymást követôen emelve a fáziselté-
mûtermék. Amennyiben a rések mértéke is egyre nagyobb lesz a képmezôben.
magas frekvenciájú infor- A fáziseltérés-sorozatok egy olyan pszeudofrek-
máció hiányzik, a kontúrok venciát „hoznak létre”, amelyet a Fourier-transz-
definiálása elégtelenné vá- formáció különbözô térfrekvenciára fordít le. Minél
lik nagyobb a fáziskódoló lépések száma, annál jobb
lesz az MR-kép térbeli felbontása.
MÛTERMÉKEK
A Gibbs-mûtermék megjelenése abból adódik,
12. ábra. Mozgási mûter- hogy elégtelen számú magas frekvenciájú Fourier-
mék. Jellemzô módon a
sort alkalmaznak, ezért az éles szélek-vonalak meg-
mûtermékjelek a fáziskó-
jelenítése pontatlan. Ez a mûtermék könnyen de-
doló irányban helyezked-
monstrálható, ha a Fourier-térbôl a magas frekven-
nek el
ciájú információt eltávolítjuk, majd ezen a prepará-
tumon inverz Fourier-transzformációt végzünk (11.
ábra). Az MR-képalkotásban ezt gyûrû vagy csonkí-
tás (truncation) mûterméknek is hívják, amely ak-
kor jelenik meg szembetûnôen, ha túl kevés fázis-
kódoló lépést alkalmaznak. Leggyakrabban a ko-
ponyatetô közelében és a felsô nyaki gerinc régió-
ban szembetûnô, ez utóbbi lokalizációban syrinxet
imitálhat, a mûtermék pedig megszûnik, ha növel-
jük a fáziskódoló lépések számát.
Mivel a fáziskódolás az MR-képalkotás folyama-
13. ábra. Aliasing (áthaj- tában idôigényes folyamat, a mozgási mûtermékek
tás) mûtermék, amely ér- is a fáziskódoló irányban jelennek meg. Két fázis-
telemszerûen a fáziskódo- kódoló gradienskapcsolás között elég „hosszú” idô
ló irányban jön létre telik el ahhoz, hogy mozgó struktúrák új pozícióba
kerüljenek, amelyhez másik rezonanciafrekvencia
is tartozik. Egy hirtelen pozícióváltozás Fourier-
transzformálása egy éles szél szinuszos megköze-
vésbé fontos alacsony jel-zaj arányt nyújtó terüle- lítéséhez hasonló (frekvenciaeltolódás történt),
tek mérését, például a mérési idô csökkentése mi- amelynek következménye gyûrû mûtermék megje-
att. Ezt például a k-tér középsô részének spirálsze- lenése (12. ábra). Ha fáziskódoló hibákat inverz
rû mérésével érhetjük el. A k-tér szimmetrikus ren- Fourier-módszerrel transzformáljuk, akkor a moz-
dezettsége miatt, amely a Fourier-transzformáció gó struktúra a fáziskódoló irányban „szétterül”,
konjugált szimmetriatermészetébôl adódik, a mé- függetlenül a mozgás eredeti irányától.
rési idô rövidíthetô a k-tér részleges mérésével, pél- A visszahajtás- (aliasing) mûtermék szintén a
dául half-Fourier-akvizíció. Ez esetben a k-tér- Fourier-transzformációval és a fáziskódolással ösz-
adatok másik fele matematikailag képzôdik, ugyan- szefüggô jelenség (13. ábra). Ennek a jelenségnek
akkor a jel-zaj arány a half-Fourier-mérésnél alacso- az az alapja, hogy a 2π radián vagy 360° fáziseltoló-
nyabb lesz. dás esetén a Fourier-transzformáció két hullámot
A fáziskódoló gradiens kapcsolásával bizonyos pontosan egymásra illeszt, és ezáltal azonos kép-
spinek gyorsabban kezdenek el precesszálni a gra- pontba kerül a két térbeli információ. Tehát egy
dienshez viszonyított lokalizáció függvényében. látómezôben a fázistartomány –π és +π (–180° és
132 Wa l t e r : A Fo u r i e r- t r a n s z f o r m á c i ó s z e re p e a z M R - k é p a l k o t á s b a n é s a m û t e r m é k k é p z ô d é s b e n
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.

8. +180°) között teszi lehetôvé a kódolást. A vissza- A térfrekvenciának az MR-képalkotásban és az
hajtás-mûtermék akkor jön létre, ha gerjesztett spi- emberi látásban leírt hasonlósága, illetve azonossá-
nek a látómezôn kívül, –π-nél kisebb vagy +π-nél ga nyilvánvalóan nem a véletlen mûve. A látásban
nagyobb, azonos fázissal átfednek a látómezôn be- a térfrekvencia alkalmazása egy eszközrendszer,
lüli spinekkel. Ilyenkor az azonos fázisú spinek ma- amely természetébôl fakadóan definiálja a külön-
tematikailag egymástól megkülönböztethetetlenek, bözô látási információk térbeli eloszlás jellegét. Az
így a Fourier-transzformáció az azonos fázisú spi- MR-képalkotásban pedig a rezonanciafrekvenciák
neket a kép megegyezô térpontjába helyezi, létre- változásával jelöljük ki a térnek azon részét, ame-
hozván a visszahajtás-mûterméket. lyet vizsgálni kívánunk, és a teret a rezonanciafrek-
vencia segítségével osztjuk fel kisebb egységekre.
Az persze önmagában érdekes, hogy a Fourier-tér
ÖSSZEGZÉS egy adott frekvenciája a teljes képre vonatkozóan
hordoz egy információt, függetlenül annak térbeli
A Fourier-transzformáció bonyolult és összetett je- elhelyezkedésétôl. Bár az MR-képalkotás a diag-
lek analízisének eszköze, amely a hullámokat frek- nosztikai képalkotó szakemberek számára sokszor
venciájuk és amplitúdójuk szerint szétbontja. Az rejtélyesnek tûnik, az emberi vizuális percepció bi-
MR-kép számolása során a Fourier-transzformáció zonyosan még több titkot rejt.
a k-teret kitöltô frekvencia- és fáziskódolt MR-jelet
bontja fel. Az MR-kép, amit látunk, a k-tér 2D in- Köszönetnyilvánítás
verz Fourier-transzformáltja, ahol a frekvencia- és A szerzôk köszönetüket nyilvánítják dr. Gyôrfi Zoltán-
relatív amplitúdóinformáció térbeli és kontrasztfel- nak (Képdoktor Kft.) a cikkel kapcsolatos értékes meg-
bontássá (térfrekvencia) válik. jegyzéseiért.
Irodalom
1. http://wiki.ham.hu/index.php/Fourier_transzform%C3%A1ci% brain: review of metabolites and clinical applications. Clin Ra-
C3%B3 diol 2009;64:12-21.
2. Gallagher TA, Nemeth AJ, Hacein-Bey L. An introduction to 6. Charman WN. Spatial frequency content of the Cardiff and
the Fourier transform: relationship to MRI. AJR Am J Roent- related acuity tests. Ophthalmic Physiol Opt 2006;26:5-12.
genol 2008;190:1396-405. 7. Dakin SC, Hess RF Spatial-frequency tuning of visual con-
.
3. Kastler B, Patay Z. MRI orvosoknak. Budapest: Folia Neuro- tour integration. J Opt Soc Am A Opt Image Sci Vis 1998;
radiologica; 1993. 15:1486-99.
4. William R, Hendee E, Ritenour R. Visual perception. In: Hen- 8. Mecacci L. On spatial frequencies and cerebral hemispheres:
dee WR, Ritenour ER. Medical Imaging Physics. 2002. Wiley- some remarks from the electrophysiological and neuropsycho-
Liss, Inc. logical points of view. Brain Cogn 1993;22:199-212.
5. Soares DP Law M. Magnetic resonance spectroscopy of the
, 9. http://www.contrastsensitivity.net/
MAGYAR RADIOLÓGIA 2010;84(2):126–133. 133
Az alábbi dokumentumot magáncélra töltötték le az eLitMed.hu webportálról. A dokumentum felhasználása a szerzôi jog szabályozása alá esik.