SlideShare a Scribd company logo
1 of 160
Download to read offline
Bài tập toán cao cấp
     Tập 2

             Nguyễn Thủy Thanh

             NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.


Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
˜
          ˆ     ’
      NGUYEN THUY THANH




      `   ˆ
     BAI TAP
          .
    ´        ´
             ˆ
  TOAN CAO CAP
              Tˆp 2
                a
                .
      Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m
        e ınh      a a a




  `   ´
      ˆ   ’            ´
                       ˆ       `  ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
              .   .               .
Muc luc
 .   .

7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
     o    .   a e        .    ’    a    ´
                                        o                                3
  7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
          o .       ’ a o    ´                                            4
       7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han .
                a a a e                   o .       ı    o .              5
                    .ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c
                                                 ´
       7.1.2 Ch´   u            . o . ’ a o .
                                     .                    e a
              dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . .
               .      y ` o .
                          e                                              11
       7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
                   u            . o . ’ a o .
                                    .           ´        e    `
                                                              e
                e.         ’
                       ’ e a o .
              kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
                                  .         e y
              Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . .         17
       7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
                   u            . o . ’ a o .
                                    .           ´        e    `
                                                              e
                e `
                 . a a ’ e a o .  ’
              kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu
                                          .         e y o . .
                  Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . .    . .   25
   7.2       .i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
         Gi´ .
            o        a    o    ´
                               e                                   . .   27
                           .
         7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
                   a    a e  .   a .     y      ’ ` o .
                                                     e             . .   27
   7.3   H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           a     e .                                               . .   41
   7.4   Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . .
            o .      a e . ’ a             `
                                           e     ´
                                                 e                 . .   51

8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
     e ınh        a    a      o.    e´                            60
      - . a
  8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
            - . a      ´
      8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
                       a
            - . a      ´
      8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
                       a
   8.2   Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
              a                                                          75
                     a a ´
         8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       75
2                                                                       MUC LUC
                                                                         .   .

                           a a  ´
             8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   77
       8.3     a .      y   . ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital.
             C´c dinh l´ co ’ ` a    e      ’           ´
                                                        a
             Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               o     u                                                                   84
             8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . .
                      a .        y     ’ ` a
                                          e         ’                                    84
             8.3.2 Khu a’. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
                                        o .               ´
                                                          a     o
                                   .
                    (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  88
             8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
                      o       u                                                          96

    9 Ph´p t´
         e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
                       a     a       `e     ´
                                            e                                           109
          - . a
      9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . .
                     e                                        . .   .   .   .   .   .   110
                 - . a        e    ´
          9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . .
                                   a                          . .   .   .   .   .   .   110
          9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . .
                 - . a        ’ a        .                    . .   .   .   .   .   .   111
                   a     ’
          9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . .          . .   .   .   .   .   .   111
          9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . .
                 - . a              o                         . .   .   .   .   .   .   112
                 - . a        e    ´
          9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . .
                                   a                          . .   .   .   .   .   .   113
               a ’ a             `    ´
      9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . .
                                 e    e                       . .   .   .   .   .   .   125
                       a a  ´
          9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . .         . .   .   .   .   .   .   126
                 ´     .               ’      `
          9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng
                                  a e ı       a u             . .   .   .   .   .   .   126
                   a ınh a ’   ´
          9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . .
                                           a                  . .   .   .   .   .   .   127
                       a a  ´
          9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . .         . .   .   .   .   .   .   127
          9.2.5 Cˆng th´
                   o     u .c Taylor . . . . . . . . . .      . .   .   .   .   .   .   129
                             a ’ a a         ’
             9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . .       .     .   .   .   .   .   130
       9.3   Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . .
               .    . ’ a             `
                                      e    e´                 .     .   .   .   .   .   145
             9.3.1 Cu    .c tri . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                              .     .   .   .   .   .   145
                       .      .
                         .c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . .
             9.3.2 Cu  .      . o `   e    e
                                           .                  .     .   .   .   .   .   146
             9.3.3 Gi´ tri l´
                        a . o    .n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m .
                                        ´
                                        a a e a ’ a ´               .   .   .   .   .   147
Chu.o.ng 7

Gi´.i han v` liˆn tuc cua
   o    .  a e     .   ’
h`m sˆ
 a     ´
       o


   7.1    Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . .
             o    .    ’     a o   ´                                 4
         7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
                  a a       a e             o .          ıa o
                han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                  .                                                  5
         7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
                     u           . o . ’ a o .
                                     .                ´       e
                 a .        y e` gi´.i han . . . . . . . . . . . .
                c´c dinh l´ vˆ o .                                   11
         7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a
                     u            . o . ’
                                       .                 ´
                                                     a o .
                        `      e
                               .         ’
                                      ’ e a
                trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
                   e     e                         o .
                                                   .             e   l´
                                                                      y
                           Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . .      17
         7.1.4   Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
                     u          . o . ’ a o .
                                   .             ´        e
                   `     e `           ’
                         . a a ’ e a o .
                 diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
                   e                          .           e
                 l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
                  y o .
                      .
   7.2    Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27
             o   .   a      o
                            .   ´
                                e
         7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27
                 a   a e  .   a .     y      ’ ` o .
                                                 e
   7.3    H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
           a     e   .
   7.4    Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51
            o    .   a e     .   ’   a        `
                                              e     ´
                                                    e
4                               Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                              o .      a e .       ’ a     ´
                                                                           o




    7.1      Gi´.i han cua d˜y sˆ
               o    .   ’   a o ´
    H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ
      a    ´
           o a .          e a   .   .  .    . a a o o .´          a o ´
    thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang:
        o       .     ´
                      e     o .

                                 a1, a2, . . . , an , . . .                 (7.1)

    ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t
      a
      .                   o                        .        ´
                                                       . a o .      ’
                                                                    o       a
     ’ a             ´ .
                 a o e ’ o .        ´
    cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y.  a
        Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy:
             `
             a        ´ a       a e   .       a
        i) D˜y (7.1) du .
             a           .o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
                                              ´
                               . a . a e  .
    M; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
          a . a o             . a e
                                  .     ´
        ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
             ´
             o      .     . a o .           ’ a         ´
                                                        e

                   ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n         N ⇒ |an − a| < ε.         (7.2)

       iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
             ´
             o     o     ’ a o .          ’ a           ´
                                                        e

                     ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n        N ⇒ |an − a|     ε.          (7.3)

        iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c
             a o o .             . . a a o .     .               o     .       .
    lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`.
     .   a         .   a a        a y
                         . a a o u             e e ´
        v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y
             a                                                      a . a a
                                                      n→∞
    vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt
      o u      o   ´
                   e                                                       a e  ´
    lim an = ∞.
              `               ’
                   e ` e a o . a a o                      ’ . a
        vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n.
               e   . a                .                           .
        Ch´ ´: i) Hˆ th´
           uy        e u  .c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i:
                                                     o
                     .

                    −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε.                   (7.4)
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                  5


     Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y
       e u
        .                u    ’ a`        ´
                                       . o .        o    ’ o ´      ’ a
  o . `         `              ’                       ’
hˆi tu dˆu n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn
  .       e a                                                  a . a a
  a ’         ’
cˆn cua diˆm a.
  .         e
     Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`.
            a
            .      ´
                   e a                  ´ ´
                                  o . e o
                                  .               ı . o . ´       ’ o u
                .u han sˆ hang dˆu n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao
                                    e `
                                    `
       . ´
ra mˆt sˆ h˜
       o o u         . o . ´            a             a a a y e
                                                           .    ´
     e u ´ ’
nhiˆu t`y y cua diˆm a.
                      e’
     ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu
                   ´ `a          ´
                             a o o u          o      o     o . a y e
                                                            .          .
lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´
                          ’ o     ıa a a        a o u        o a y e o
                                                                     .
ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ .
    a     a      o     o     ıa a a o o     .i han.


7.1.1    C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
          a   a    a    e        o .         ıa o
         han
          .
Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn
  ’
 e u                            `
                                a  a    ’ .      .      ı    `
                                                             a    ´
                                                                  e
h`nh theo c´c bu o
 a           a    .´.c sau dˆy:
                            a
    i) Lˆp biˆu th´.c |an − a|
        a.   e’    u
    ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`
           .    a        ´ ` o o .
                         e    e                                     a
v´
 o.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n:
                ´
        ’ e a y a      ´                ´
                                   ınh o o

                                bn < ε                             (7.5)

c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f (ε),
 o e ’ ’     o a
             .        ˜ a
                      e          ’ ’           o     e a
                                                     .
                          ’ ´
                      o e a        a                 o          a `
f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn
                  o                                                 a
      e ’
nguyˆn cua f (ε).

                            CAC V´ DU
                               ´     I     .
V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng:
                             n
  ı .         ’ ’                  u           `
                                               a
    i) D˜y an khˆng bi ch˘n.
          a      o      . a
                          .
    ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
           a      o      ’ a o u       o
        ’
    Giai. i) Ta ch´u.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng
                               `
                               a         ’    a .         ı a      o
                               ´        .i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng
                                       o ´ .
bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e                          `
 . a  .      a a
             . .               o .                                 a
n v` l´.n ho.n M. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n.
    a o               ` o o
                      e          ıa a a           o    . a .
6                              Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                             o .      a e .       ’ a     ´
                                                                          o


        ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy,
                  u         `
                            a         o       ’ a o u     o        a a
                                                                    . .
         e      ’             ’
                              e     e        ´
                                             o .     ’ a o ´ ..i sˆ hiˆu le
    ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’
                                          .
     ` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´:
    dˆ
     e       o
             .      ’           ı       ’ ı       o
                              n
                          n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).

       Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´,
              a
              .          ’                  ´ ´
                                     o o o o .           ’ a   u o
    theo dinh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
          .      ıa            o      ’ a o u       o
    V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng:
     ı .      u    .      ı    o .          ´ ’
                                        a o e u               `
                                                              a

                          (−1)n−1                         n
               1)   lim           = 0.        2)   lim       = 1.
                    n→∞     n                      n→∞   n+1
        Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh
           ’     ’
                e u              a      o o . a              `
                                                             a     u
     `      ´
    r˘ng dˆi v´
     a      o o .i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu
                     ˜ o
                     o ´                 o o e     ’ ı          ´
                                                           . o           .
    thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta
       o.                           ı                         o      o
    c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε.
     o e ’’         o      u    o            e’   ˜
                                                  e
        1) Ta c´:
               o

                                        (−1)n−1  1
                           |an − 0| =           = ·
                                          n      n
       Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´:
         ’ ’      a o´                 o u ´           o
                                  1      1
                                    <ε⇔n> ·
                                  n      ε
    V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
     ı e ´         ’ ´
               o e a           ´
                            a o .       e a o ’         a    `
                                                             e    e
                                                                  .
                                       1   1
                                  N>     ⇒   < ε.
                                       ε   N
        ’     .         ’ ´
                    o e a                       o        a `
    (Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn
       a                                                     a      e
     ’
    cua 1/ε).
       Khi d´ ∀ n N th`
             o           ı:
                                          1   1
                             |an − 0| =         < ε.
                                          n   N
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                       7

                           (−1)n
      ` o o
   Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim
      e           ıa a            = 0.
                       n→∞    n
   2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n >
           ´ ´
           a o          ´
                       a y a ım o .  ´       e
N (ε) th`:
        ı
                            n
                                 − 1 < ε.
                           n+1
   Bˆt d˘ng th´.c
     ´ ’
     a a       u
                                      1       1
                  |an − 1| < ε ⇔         < ε ⇔ − 1.
                                     n+1      ε
                                                          1
                 ’ ´ ´           a `        e ’
   Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua
       o     o e a o                 a                      − 1, t´.c l`:
                                                                  u a
                                                          ε
                          N (ε) = E((1/ε) − 1).

   Khi d´ v´.i moi n N ta c´:
        o o     .          o
         n           1        1                n
              −1 =                < ε ⇒ lim        = 1.
       n+1          n+1    N +1          n→∞ n + 1

V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
 ı .         u        `
                      a    a a         a    a y

  1)                     an = n,     n∈N                               (7.6)
  2)                     an = (−1)n ,n∈N                               (7.7)
                                     1
  3)                     an = (−1)n + ·                                (7.8)
                                     n
    Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1.
       ’         ’ ’ a               o . a o o . a
                                      .                             ´
                                                                    a
      o                 ı      o.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th`
Khi d´ theo dinh ngh˜a gi´ . ` . o e      o     ´ .                         ı
               .
ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1
    o                    ıa a                           u o
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
    Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c
             ´ ’
             a a           u                           a o y ı a  .   .   a
sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n.
 ´
 o .      e      o     . a   .
                     ’ ’
    2) C´ch 1. Gia su a
         a                . d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn
                                        o . a o o . a                 ´
                                                                      a a
                                        .
           1       1
cˆn a − , a +
 a
 .                     cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang:
                         ’      e’           ´
                                             e a a            o .
           2       2
                         {an } = −1, 1, −1, 1, . . . .                 (7.9)
8                                Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                               o .      a e .       ’ a     ´
                                                                            o

                                         1      1
          ı o a ’
              .              ’
        V` dˆ d`i cua khoang a − , a +                  `              ’
                                                   l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1
                                                    a a       e        e
                                         2      2
                                                          1    1
    v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a +
     a          o      ’ o
                       e `        o     o a a
                                        .       .                  ’     ’
                                                                  cua diˆm a,
                                                                         e
                                                          2    2
    v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i
     ı      ’      a     u          a      `
                                           a        ` o o
                                                     e           ı a ’     a
                     1     1
    lˆn cˆn a − , a +
     a a  .                             ´ ´         ’ a a ı e     ´
                                 c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´
                                  o o o o .                                u
                     2     2
    y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y.
    ´ ’ e         ´
                  o     o       ’
                                e a o .        ’ a
                                                             1
        C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´
          a           ’ ’                   o          ´
                                                       a            o
                                                             2
                                           1
                               |an − a| <     ∀ n N.
                                           2
    V` an = ±1 nˆn
     ı          e
                     1                        1
            |1 − a| < ,        | − 1 − a| <
                     2                        2
                                                              1 1
          ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)|        |1 − a| + |a + 1|    + =1
                                                              2 2
          ⇒2 < 1,     vˆ l´.
                       o y
                                                1
        3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
                ´ a`    o                         . Sˆ hang kˆ v´.i n´
                                                     ´
                                                     o .     ` o o
                                                             e
                                               2m
        ´ .
     o o e ’
    c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v`
                                       a
                         1                            1
       a2m+1 = −1 +           < 0 (hay a2m−1 = −1 +                   0).
                       2m + 1                       2m − 1
    T`. d´ suy r˘ng
     u o        `
                a

                                  |an − an−1 | > 1.

    Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o
       ´ ´
       e o         a o a o .          ’   a         ı ´ ` u o e a
                                                       a a      ´ .
                                                   1
    d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´
      o          ’     a a a´ ’       u                    o
                                                   2
                                                        1 1
                  |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
                                                        2 2
    Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn
              e.      u       ´
                              o .     `
                                      e        ´
                                               a y ’ a a           o    o
    l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c
     o                `
                      e     a      ˜
                                   a    a   u     ’ a`    o     . ´
                                                                o o .
                ’
    n`o c´ thˆ l` gi´ .
      a o e a o         .i han cua d˜y d˜ cho.
                                ’ a a
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                     9

                                    `   ˆ
                                   BAI TAP
                                        .

   H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
     a ’ .          .      ıa o . e u’              `
                                                    a
                          2n − 1
                 ´
1. lim an = 1 nˆu an =
                 e
   n→∞                    2n + 2
             3            3n2 + 1
2. lim an = nˆ    ´u an =
                  e
   n→∞       5            5n2 − 1
     ´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th`
   B˘ a
     a   ` u o e ´ .        a    ı:

                     |an − 3/5| < 0, 01         (DS. N = 5)

                              3n + 1
               ´
3. lim an = 1 nˆu an =
               e                     .
   n→∞                          3n
        cos n
4. lim          = 0.
    n→∞     n
        2n + 5 · 6n
5. lim                 = 5.
    n→∞ 3n + 6n
        √ 3
            n2 sin n2
6. lim                 = 0.
    n→∞      n+1
7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an =
      u              `
                     a     o´  o     ’ a o .          ’   a
  2
 n −2
        .
2n2 − 9
8. Ch´.ng minh r˘ng
      u             `
                    a

                             n2 + 2n + 1 + sin n
                         lim                     = 1.
                        n→∞      n2 + n + 1

9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`.
     u          `
                a    a                      a y
10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`.
      u          `
                 a    a                 a y
11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
     ım o .       ’ a
                                                                 n
    Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
      ’ ˜a      ’
                e    ˜
                     e        o .

                            2   22         2
     an = 0, 22 . . . 2 =     +    + ··· + n            (DS. lim an = 2/9)
                            10 10         10
10                                      Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                      o .      a e .       ’ a     ´
                                                                                   o


     12.                      T`
                               ım           gi´.i
                                              o           han
                                                            .         ’
                                                                     cua      d˜y
                                                                               a     ´
                                                                                    sˆ:
                                                                                     o
     0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .
                                                      n
         Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
           ’ ˜a      ’
                     e    ˜
                          e        o .
                           2     3     3         3
                   an =       +    2
                                     + 3 + ··· + n                   (DS. 7/30)
                           10   10    10        10
     13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn
            u           `
                        a    ´
                             e a      o . e
                                      .      ´      o a        `
                                                               a e ´
                       a ´
                       ` e
     ∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0.
         ı a
     14. Ch´.ng minh r˘ng
            u           `
                        a
                n
        i) lim n = 0.
           n→∞ 2
                 n
        ii) lim n = 0 (a > 1).
            n→∞ a
        Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c:
           ’ ˜a       ’ .      e u
                               .
                                          n(n − 1)                 n(n − 1)   n2
       2n = (1 + 1)n = 1 + n +                     + ··· + 1 > n +          >    ·
                                             2                        2       2
     v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|.
      a o         .
        ii) Tu  .o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c:
                                    ’ .      e u
                       .                     .
                                                          n(n − 1)
                          an = [1 + (a − 1)]n >                    (a − 1).
                                                             2
     15. Ch´.ng minh r˘ng
           u          `
                      a
                                                              1         1
                                       ´
                           lim an = 2 nˆu an = 1 +
                                       e                        + ··· + n
                                                              2        2
          Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi
             ’ ˜ ´
                 a         . o     u ı       o’   ´ ´
                                                  a o a e ı   ’          `
                                                                         o
     u.´.c lu.o.ng |an − 2|.
       o      .
     16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´
              ´ `
             e a        a     o o .       o a          o    o o .       o
     thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y:
       ’
       e o ı ` o . e          ’ a
         i) {an + bn }.
         ii) {an bn }.
         (DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh.
                                 o    ` .
                                      o        a    u
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                       11


    ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han,
             ’ .
         o e a ’              o     . o o . a o                o o .
v´ du:
 ı .
                  n−1                            1
           an =       , bn = (−1)n ;      an =     , bn = (−1)n .
                   n                             n

7.1.2     Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
             u           . o . ’
                             .            ´
                                      a o .        e
          c´c dinh l´ vˆ gi´.i han
           a .      y ` o .
                       e
Dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v`
  ’
 e ı       o .      ’ a o    ´      o        o     ’ .      a .      y a
kh´i niˆm sau dˆy:
   a e .         a
      ’ ’
    Gia su. lim an = a, lim bn = b.
   i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
   ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
   iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c
          ´
          e            ı ´ ` u o o e a o a
                          a a            . ´ .                   a
dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`:
 .         ıa a                             a
                                an   lim an  a
                          lim      =        = ·
                                bn   lim bn  b
    iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´
           ´
           e                              ´ a
                                      a a ` u o o e a o
                                                      . ´ .
an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
                 ı                  e y . a    .        a
    v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´.
          ıch ’ a o u           e o a . a a a o u
                                                .                  e
                                                          1
    vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y
           ´
           e       a a o u        o a             ı a         l` d˜y vˆ
                                                               a a o
                                                         an
                                                                    1
c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y
 u      e      . . e   ´      a a o u        e a            ı a
                                                                   αn
l` vˆ c`ng l´.n.
 a o u       o
     Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung d´ng d˘n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt
        a e
        .          ’
                   ea      .     u      ´ a .
                                        a           y e         `
                                                                a      ´ o .
 ´ .
sˆ nhˆn x´t sau dˆy:
 o a e               a
     i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu
          .    y        ` o .
                        e            ’            e o a         .     . e  ´
tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han
      ´
 ’ o a a o o  ˜ ´             o o .         u   .     a
                                                      .    ˜ o o o .
                                                           a ´
 `
b˘ng 0. Trong nh˜
 a                   u .ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng,
                               o           o e     ´ ’
                                                   e o        o a
                                      .                       .
   ’            `                             . sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt
                                          a ’ ´
ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u
   a           a      a            a                    ˜ ´                o
            .                      .                                       .
biˆ
  e’u th´.c.
         u
12                               Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                               o .      a e .       ’ a     ´
                                                                            o


         ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung.
               ´
               o o .         y     a       u    `
                                                a     ’   a
                                                          .    .       a   .
     Trong tru o .`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v`
                              a      `
                                     a      ’   ´   ’
                                                e o a       e’   u            a
                        .
     an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii).
                  o        ınh o .              ı .
                ´
         iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a.
                e                           ı
                                          n→∞


                                    CAC V´ DU
                                     ´   I  .
     V´ du 1. T` lim an nˆu:
      ı .        ım          ´
                             e
        1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n )
                       n+2

        2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
        3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
           ’    ’
               e ’ a a a a                                  ´ ´ ´
        Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ
                                             u     y        e a o
        1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´:
                      ´
              a ’ o a a o a  ˜ ´            u o               o

                                 1 + 7n+2    7−n + 72
                            an =          =
                                  3 − 7n    3 · 7−n − 1
         o
     Do d´
                             7−n + 72
             lim an = lim               = −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞.
                                               ı
                            3 · 7−n − 1

        2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´:
                ´     ˜ ´ e
            ’ o a a o ` a a o o      ´ ´ .       e      o

                                              2 + 2n
                     2 + 4 + 6 + · · · + 2n =         · n;
                                                 2
                                              1 + (2n + 2)
               1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =              (n + 1).
                                                    2
         o
     Do d´
                                     n
                             an =       ⇒ lim an = 1.
                                    n+1

        3) Nhu. ta biˆt:
                     ´
                     e

                                              n(n + 1)(2n + 1)
                     12 + 22 + · · · + n2 =
                                                     6
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                               13


v` do d´:
 a     o
                                    6n3
                 lim an = lim
                             n(n + 1)(2n + 1)
                                      6
                       = lim                    = 3.
                             (1 + 1/n)(2 + 1/n)
V´ du 2. T` gi´.i han
 ı .      ım o .
                              1 1           1
                             1+ + + ··· + n
                     lim      2 4           2
                              1 1           1
                          1 + + + ··· + n
                              3 9           3
   Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn
     ’        ´     ˜ ´ e
          ’ o a a o ` a a o a e    ´ ´
                        1             1   2(2n − 1)
                     1+   + ··· +       =           ,
                        2            2n       2n
                        1             1   3(3n − 1)
                     1 + + ··· +        =
                        3            3n     2 · 3n
v` do d´:
 a     o
               2(2n − 1)      2 · 3n           2n − 1 2     3n
  lim an = lim           ·            = 2 lim        · lim n
                  2n       3(3n − 1)             2n   3   3 −1
                               2          1             2     4
        = 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim             n
                                                 =2·1· ·1= ·
                               3     1 − (1/3)          3     3
V´ du 3.
 ı .
           √
   1) an = n2 + n − n
           √          √
   2) an = 3 n + 2 − 3 n
           √
   3) an = 3 n2 − n3 + n
      ’
   Giai.
   1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p
           ´ ’
           e o        `
                      a    a     a a              .    .      e .
        √            √
      ( n2 + n − n)( n2 + n + n)          n                   1
an =          √                   =√                =
                n2 + n + n             n2 + n + n        1 + 1/n + 1
Do d´
    o
                                       1                1
                  lim an =                          =     ·
                             lim (   1 + 1/n + 1)       2
                             n→∞
14                                Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                o .      a e .       ’ a     ´
                                                                             o


        2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´:
             ´ ’
             e o                .              o
                                   √3       3     √ 3
                                      n+2 − 3n
                   an = √           2   √         √   √                 2
                           3
                             n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
                                            2
                   an = √           2   √         √   √                 2
                           3
                             n+2 + 3n+2· 3n+ 3n

        Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng:
          ’
          e    u    ˜ o a
                    a ´ `
                                          2
                    n2/3   3
                               1 + 2/n        +   3
                                                      1 + 2/n + 1 → ∞

     khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0.
                  a     o
                             √
        3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c:
                             3
               o e e’ ´           aa    .    o     u

                           a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

     suy ra
                    √                   √        2   √
                     3
                       n2 − n3 + n      3
                                          n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
              an =            √3          2    √
                                 n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
                                    n2
                 = √ 3           2     √
                       n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
                                   1
                 =           2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1
                   [1/n − 1]
                      1
     suy ra lim an =    ·
                      3
     V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau
      ı .        ım o .         ’ a a
                            n                n
                  an = √         , bn = √         ,
                          n 2+n            n 2+1

                           1         1                 1
                  cn = √         +√        + ··· + √        ·
                          n+1       n2 + 2           n2 + n
        Giai. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy:
          ’    `
               a     e        u                      a a
                                                      . .
                                      n                        1
                  lim an = lim                        = lim             = 1.
                                 n   1 + 1/n                  1 + 1/n
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                     15


Tu.o.ng tu. lim bn = 1.
          .
      ’ t`m gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a.
    Dˆ ı
      e        o .      ’        ea    .       e y . a    .        ı
Mˆt m˘t ta c´:
  o
  .     a
        .       o

                1              1                     1          n
      cn < √             +√             + ··· + √           =√      = bn
               n2   +1        n2   +1               n2   +1   n 2+1


nhu.ng m˘t kh´c:
        a
        .    a

                      1        1               1
          cn > √            +√       + ··· + √       = an .
                     n2 + n   n2 + n          n2 + n

Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra
      a
      .                a                       u o
                         n→∞      n→∞
lim cn = 1.
n→∞

V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu
   ı .              u            `
                                 a     a       a      a o u         o    ´
                                                                         e
|q| > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
                a o u          e
      Giai. 1) Gia su. |q| > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c
         ’           ’ ’                 ´ ´
                                        a o         ´
                                                    a y       u a ’      u
|q| > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N
    n
                       .                  ´
                                          e    ´
                                               a                 ı
      o      n
                           o a     n
ta c´ |q| > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´
                                       a a o u      o.n.
                                                  1 n −1       1
      2) Gia su. |q| < 1, q = 0. Khi d´ q n =
              ’ ’                         o              . V`
                                                            ı       > 1 nˆn
                                                                         e
                                                  q            q
           1 n                                         1 n −1
d˜y
  a               l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y
                   a a o u         o a        o a               l` vˆ c`ng
                                                                 a o u
           q                                           q
b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
  e u a a                  a a o u          e
      3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q| < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´.
            e´           ı  n        n
                                                a    o      a o u         e




                                     `   ˆ
                                    BAI TAP
                                         .

   T` gi´.i han lim an nˆu
    ım o .              ´
                        e
                n→∞

         n2 − n
1. an =      √ .     (DS. ∞)
        n− n
                √
2. an = n2 (n − n2 + 1).     (DS. −∞)
16                                Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                o .      a e .       ’ a     ´
                                                                             o

             1 + 2 + 3 + ··· + n
     3. an =        √                     .       (DS. 1/6)
                      9n4 + 1
             √
                n cos n
     4. an =             .         (DS. 0)
                n+1
               5n        sin n
     5. an =          +          .         (DS. 5)
             n+1            n
                n3            3n2
     6. an = 2         −              .       (DS. 1/3)
             n + 1 3n + 1
                 n         cos n
     7. an =           −           .         (DS. 1)
             n + 11          10n
             n3 + 1
     8. an = 2                 (DS. ∞)
             n −1
             cos n3           3n                      1
     9. an =          −              .       (DS. − )
                n         6n + 1                      2
                       n
                 (−1)
     10. an = √             .         (DS. 0)
               5 n+1
                √               √
                   n2 + 1 + n
     11. an = √ 3
                                √ .            (DS. +∞)
                  n3 + n − n
               √
     12. an = 3 1 − n3 + n.                 (DS. 0)
                √
                   n2 + 4n
     13. an = √ 3
                               .        (DS. 1)
                  n3 − 3n2
                       (n + 3)!
     14. an =                                .     (DS. −∞)
               2(n + 1)! − (n + 2)!
               2 + 4 + · · · + 2n
     15. an =                            − 2.        (DS. −1)
                      n+2
                     √                             1
     16. an = n − 3 n3 − n2 .                (DS. )
                                                   3
               1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n                       1
     17. an =       √                 √                 .    (DS. − )
                       n2 + 1 + 4n2 + 1                             3
                  1         1                    1
     18. an =         +          + ··· +                 .
               1·2 2·3                        n(n + 1)
                                        1         1        1
          ’ ˜ ´
        Chı dˆ n. Ap dung
             a            .                     = −               (DS. 1)
                                 n(n + 1)         n n+1
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                          17

                 1 1           1           (−1)n−1                 3
19. an = 1 − + −                  + ··· +           .        (DS. )
                 3 9 27                       3n−1                 4
            n+1        n+1
          2       +3
20. an =        n + 3n
                            .       (DS. 3)
              2
          n + (−1)n
21. an =                 .        (DS. 1)
          n − (−1)n
             1             1              1                          1
22. an = √           √        √ +√           √ + ··· + √               √
               n        1+ 3            3+ 5                  2n − 1 + 2n + 1
   Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c.
      ’ ˜
        a         . a                   ˜ ´
                                u ’ a o a             e’    u           ´
                                                                        a      a
                                                                               .
             1
     (DS. √ )
              2
              1              1                      1
23. an =             +             + ··· +
         1·2·3 2·3·4                         n(n + 1)(n + 2)
      ’ ˜          .´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng
   Chı dˆ n. Tru o e
        a                 ´         u             `
                                                  a
           1                1       1                 1                    1
                        =                  −                          (DS. )
   n(n + 1)(n + 2)          2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)                      4
            1          1                 1                   1
24. an =         +          + ··· +            .    (DS.        )
         a1a2 a2 a3                   an an+1              a1 d
   trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0.
          o                ´ ´ .
                      a a o o             o o
                                                                       1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ).              (DS. )
                                                                       2
                                                                       n+2
   Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an =
      ’ ˜
        a        `
                 a              .    a     .     u         `
                                                         ’ a                 .
                                                                      2n + 2

7.1.3      Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
               u          . o . ’
                             .             ´
                                        a o .       e
             `    e
                  .      ’
                      ’ e a
           diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
             e                  o .
                                .          e y
           Bolzano-Weierstrass)
D˜y sˆ an du.o.c goi l`:
  a o ´       .    . a
        a a       ´
   i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n
                  e
             ’      ´
   ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n
         a         e
   C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y
     a a a            a
                      .   ’    o     .   . a a           e
                                                         .         ´
r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y
 `
 a     a        e
                .        o u      . a ı.      ´
                                              a a o  .         ´
                                                           ıa. e a
18                                 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                 o .      a e .       ’ a     ´
                                                                              o


     do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y
               e a
                .         ı o . a     .               ´
                                                o ’ o .         `
                                                                a  e ’        o a
     do .n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy
               e      ’   ı . a         e         ´
                                               ’ o .    `a        o .     y        a
                .                .
     thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu.
           o         . ’ .         ’
                                  e ı         o .     ’ a          e
                                                                   .
     D.nh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu.
     -i           y                               a        e a . a
                                                           .          .     ı o .
                                                                               .
           Dinh l´ n`y kh˘
             .      y a     ’ ng dinh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı
                            a      .      ` . ` . ’
                                           e      o            o .      a o           ’
     ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng
              .              a ım o . o                      a
                                                             .           `
                                                                         e       o
     ho  .p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh
                     ´
                    e o .        ’ a ` . o e ’
                                             o          ’                    a ı
       .
     n´. Viˆc t´ to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c d´ng v´.i moi d˜y hˆi
      o         e ınh a
                 .               o        .      e a’     u u       o    . a o      .
     tu:
      .

                                  lim an+1 = lim an .
                                  n→∞           n→∞

     Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su.
          ınh o .       .    e a ’      u u      e    e .
                                                      .             ’ a ’
     dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi.
      .    a        a `  a    o    u         `o

                                     CAC V´ DU
                                      ´   I  .
     V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y:
      ı .       u          `
                           a    a
                           1     1           1
                   an =      + 2   + ··· + n                    hˆi tu.
                                                                 o .
                                                                 .
                          5+1 5 +1        5 +1
           Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v`
             ’    a a              e a
                                   .          a a ı:
                                              . .
                                         1
                      an+1 = an +                 nˆn an+1 > an .
                                                   e
                                     5n+1 + 1
           D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy:
            a a        . a .    e     a a
                                      . .
                 1       1        1              1      1    1         1
       an =         + 2       + 3      + ··· + n     < + 2 + ··· + n
              5+1 5 +1 5 +1                    5 +1     5 5            5
              1      1
                 −
            = 5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 ·
                    1      4      5n     4
                1−
                    5
           Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi
                 a a
                  .          a           e a
                                         .         a . a .    e e o o    .
     tu.
      .
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                  19

                                     2n
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an =
  ı .        u           `
                         a   a           hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
                                           o     a ı     o .      ’
                                      n! . .
n´.
 o
                              2 22      2n
      ’
    Giai. D˜y d˜ cho c´ dang , , . . . , , . . .
           a a         o .
                              1 2       n!
    D˜y an do.n diˆu giam. Thˆt vˆy
     a            e
                  .    ’     a a
                             . .
             an+1     2n+1    2n    2
                  =         :    =     < 1 ∀ n > 1.
              an    (n + 1)! n!    n+1

    Do d´ an+1 < an v` d˜y bi ch˘n trˆn bo.i phˆn tu. a1 . Ngo`i ra
        o              a a . a      .   e   ’     `a    ’          a
an > 0, ∀ n nˆn d˜y bi ch˘n du o
              e a . a           .´.i. Do d´ d˜y do.n diˆu giam v` bi
                                          o a             e    ’    a .
                           .                              .
ch˘n. N´ hˆi tu theo dinh l´ Weierstrass. Gia su. a l` gi´.i han cua n´.
  a
  .     o o .
           .          .    y                ’ ’      a o .        ’ o
Ta c´:
     o
                  an+1    2            2
                       =     ⇒ an+1 =     an .
                   an    n+1          n+1
T`. d´
 u o
                                 2an        2
               lim an+1 = lim        = lim     lim an
                                 n+1       n+1
                                          2n
v` nhu. vˆy: a = 0 · a → a = 0. Vˆy: lim
 a          a
            .                     a.          = 0.
                                          n!
                           √         √
V´ du 3. Cho d˜y an = 2, an+1 = 2an . Ch´.ng minh r˘ng d˜y hˆi
   ı .             a                             u          `
                                                            a      a o .
tu v` t`m gi´ ..i han cua n´.
                       ’ o
 . a ı        o
     Giai. Hiˆn nhiˆn r˘ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´ l` d˜y do.n diˆu
        ’     ’
              e      e ` a                             o a a          e
                                                                      .
                                √
t˘ng v` bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ 2. Ta ch´.ng minh r˘ng n´ bi ch˘n trˆn
 a      a . a   .     o ’ o   ´        u             `
                                                     a    o . a  .    e
   .i sˆ 2.
  ’ ´
bo o
     Thˆt vˆy
        a a
         . .
                         √             √           √
                  a1 =       2; a2 =       2a1 <       2 · 2 = 2.

   Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng an
     ’ ’ a u                 . a  `                  2.
   Khi d´:
        o
                                √            √
                      an+1 =        2an          2 · 2 = 2.
20                               Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                               o .      a e .       ’ a     ´
                                                                            o


           .        e `
         Vˆy theo tiˆn dˆ quy nap ta c´ an 2 ∀ n.
           a            e       .     o
         Nhu. thˆ d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n nˆn n´ c´ gi´.i han d´
                ´
                e a             e a
                                .        a . a e o o o .
                                                .                       o
     l` a.
      a
         Ta c´:
             o
                                     √
                            an+1 =    2an ⇒ a2 = 2an .
                                             n+1


     Do d´:
         o

                                 lim a2 = 2 lim an
                                      n+1


     hay a2 − 2a = 0 v` thu du.o.c a1 = 0, a2 = 2.
                       a       .
        V` d˜y do
          ı a    .n diˆu t˘ng ∀ n nˆn gi´.i han a = 2.
                      e a           e    o .
                      .
     V´ du 4. Ch´.ng minh t´nh hˆi tu v` t`m gi´.i han cua d˜y
      ı .       u          ı    o . a ı
                                .              o .      ’ a

                         √                 √
                  x1 =    a; x2 =     a+       a, . . . ,
                                             √
                  xn =     a+    a + ··· +                 ´
                                              a, a > 0, n dˆu c˘n.
                                                           a a

            ’
        Giai. i) R˜ r`ng: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ l`
                   o a                                                ıa a
     d˜y d˜ cho l` d˜y t˘ng.
      a a        a a a
        ii) Ta ch´.ng minh d˜y xn l` d˜y bi ch˘n. Thˆt vˆy, ta c´:
                 u           a     a a . a     .     a a
                                                     . .          o
             √   √
         x1 = a < a+1
                 √       √                                  √       √
         x2 = a + a < a + a + 1 <                      a + 2 a + 1 = a + 1.
                                                 √
        Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng: xn < a + 1.
          ’ ’ a u                 . a  `
                                     √
        Ta cˆn ch´.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆt vˆy, ta c´:
            `
            a     u                             a a
                                                . .     o
                  √                   √                      √       √
         xn+1 =       a + xn <   a+    a+1<             a + 2 a + 1 = a + 1.

        Do d´ nh`. ph´p quy nap to´n hoc ta d˜ ch´.ng minh r˘ng d˜y d˜
             o o      e       .   a   .      a u            `
                                                            a    a a
                          √
     cho bi ch˘n trˆn bo.i a + 1.
          . a .    e    ’
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                 21

                                             √
   iii) Dˆ t`m gi´.i han ta x´t hˆ th´.c xn = a + xn−1 hay
         ’
         e ı     o .         e e u
                                 .
                            x2 = a + xn−1 .
                             n

   T`. d´:
    u o

                lim x2 = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
                     n

hay nˆu gia thiˆt lim xn = A th`: A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`
      ´
      e   ’    ´
               e               ı                                a
                        √                      √
                    1 + 1 + 4a            1 − 1 + 4a
              A1 =               , A2 =              ·
                          2                     2
   V` A2 < 0 nˆn gi´ tri A2 bi loai v` xn > 0.
     ı         e     a .      . . ı
   Do d´;
        o
                                   √
                               1 + 1 + 4a
                      lim xn =              ·
                                     2
V´ du 5. T` gi´.i han cua d˜y an du.o.c x´c dinh nhu. sau: a1 l` sˆ
  ı .       ım o .         ’ a          . a .                  a o´
t`y y m`
 u ´ a

             0 < a1 < 1,    an+1 = an (2 − an ) ∀ n      1.     (7.10)

   Giai. i) Dˆu tiˆn ch´.ng minh r˘ng an bi ch˘n, m` cu thˆ l` b˘ng
     ’        `
              a   e    u          `
                                  a       . a .           ’
                                                   a . e a a    `
ph´p quy nap to´n hoc ta ch´.ng minh r˘ng
  e         .   a    .      u          `
                                       a

                             0 < an < 1.                        (7.11)

    Ta c´ 0 < a1 < 1. Gia su. (7.11) d˜ du.o.c ch´.ng minh v´.i n v` ta
           o                 ’ ’          a    .   u         o     a
s˜ ch´
 e u    .ng minh (7.11) d´ng v´.i n + 1 .
                           u      o
    T`u . (7.10) ta c´; an+1 = 1 − (1 − an )2.
                     o
    T`. hˆ th´.c n`y suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v` 0 < an < 1.
      u e u a
            .                                     ı
    T` o
      u . d´ suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
    ii) Bˆy gi`. ta ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y t˘ng.
           a    o       u           `
                                    a       a a a
    Thˆt vˆy, v` an < 1 nˆn 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
         a a
         .    .    ı           e
  .o.c:
du .
                              an+1
                                    = 2 − an > 1.
                               an
22                              Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                              o .      a e .       ’ a     ´
                                                                           o


        T`. d´ an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆy d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n.
          u o                        a a
                                      .                e a
                                                       .         a . a  .
          o        .    y                    ` . a
     Do d´ theo dinh l´ Weierstrass, lim An tˆn tai v` ta k´ hiˆu n´ l` a.
                                             o             y e o a
                                                               .
        iii) T`
              u. (7.10) ta c´:
                            o

                          lim an+1 = lim an · lim(2 − an )

     hay a = a(2 − a).
        T`. d´ a = 0 v` a = 1. V` x1 > 0 v` d˜y an t˘ng nˆn
         u o          a         ı         a a       a    e

                                a = 1 = lim an .

                                            n!
     V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = n hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
       ı .         u          `
                              a     a            o . a ı
                                                 .             o .     ’
                                            n
     n´.
      o
         Giai. i) Ta ch´.ng minh r˘ng d˜y an do.n diˆu giam, thˆt vˆy:
           ’           u          `
                                  a    a            e
                                                    .    ’     a a
                                                               . .
                    (n + 1)!       n!     n!   nn         nn
          an+1 =              =          = n·        =          an
                   (n + 1)n+1   (n + 1)n  n (n + 1)n   (n + 1)n
     v`
      ı
                            nn
                                  < 1 nˆn an+1 < an .
                                       e
                         (n + 1)n
         V` an > 0 nˆn n´ bi ch˘n du.´.i v` do d´ lim an tˆn tai, k´ hiˆu
           ı          e o . a    .     o a       o        `
                                                          o .      y e .
     lim an = a v` r˜ r`ng l` a = lim an 0.
                  a o a     a
         ii) Ta ch´
                  u.ng minh a = 0. Thˆt vˆy ta c´:
                                      a a       o
                                      . .
                 (n + 1)n   n+1       n          1   n        n
                      n
                          =               = 1+           1+     = 2.
                    n        n                   n            n
     Do d´:
         o
                            nn      1              1
                                n
                                  <       v` an+1 < an .
                                           a
                         (n + 1)    2              2
                                             a
          Chuyˆn qua gi´.i han ta du.o.c a
              e’       o .           .         ⇒ a = 0.
                                             2


                                     `   ˆ
                                    BAI TAP
                                         .
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                               23

                ´
1. Cho c´c d˜y sˆ:
        a a o

              5n2                         2n
   1) an =          ·    2) bn = (−1)n       sin n. 3) cn = n cos πn.
             n2 + 3                      n+1
     a    ’
   H˜y chı ra d˜y n`o bi ch˘n v` d˜y n`o khˆng bi ch˘n.
               a a . a a a a .              o   . a .
   (DS. 1) v` 2) bi ch˘n; 3) khˆng bi ch˘n)
            a     . . a        o    . . a
2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y:
     u          `
                a    a
                    a0              a1             a2
             a1 =        , a2 =          , a3 =        ,...,
                  a + a0          a + a1        a + a2
                    an−1
             an =          , . . . (a > 1, a0 > 0)
                  a + an−1
hˆi tu.
 o .
 .
3. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu
      u            a a      a o ..
             2
           n −1
   1) an =
              n2
                 1   1        1
   2) an = 2 + + + · · · +
                2! 3!         n!
   Chı dˆ n. T´ bi ch˘n du.o.c suy t`. n!
      ’ ˜a     ınh . a .    .       u            2n−1 v` do d´
                                                       a     o
                     1     1           1        1
             an     2+ + 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
                     2 2             2        2
4. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu v` t`m gi´.i han a cua ch´ng
      u           a a         a o . a ı
                                   .           o .        ’    u
           √              √                    √
   1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
               2n
   2) an =
            (n + 2)!
              an+1       2
      ’ ˜
   Chı dˆ n.
         a          =        < 1. (DS. a = 0)
                an     n+3
            E(nx)
   3) an =                           a `      e ’
                   trong d´ E(nx) l` phˆn nguyˆn cua nx.
                           o             a
              n
   Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
      ’ ˜a     ’ .      e u
                        .
5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = a1/2 hˆi tu v` t` gi´.i han cua n´
                                  n
      u         `
                a    a              o . a ım o .
                                    .                      ’   o
(a > 1).
24                                Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                o .      a e .       ’ a     ´
                                                                             o


          (DS. a = 1. Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y do.n diˆu giam
                        ’ ˜a      u          `
                                             a       a a          e
                                                                  .    ’
     v`
      ı
                                  n+1                n·2)       √
                    an+1 = a1/2         = a1/(2             =       an , an > 1)

     6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
          u          `
                     a    a
                                         1   1         1
                          an = 1 +         + 2 + ··· + 2
                                         22 3         n
     hˆi tu.
      o .
      .
         Chı dˆ n. Ch´.ng to r˘ng d˜y do.n diˆu t˘ng, t´nh bi ch˘n cua n´
            ’ ˜a       u    ’ a`     a        e a
                                              .         ı   . a ’
                                                                .       o
       .o.c x´c lˆp b˘ng c´ch su. dung c´c bˆt d˘ng th´.c:
     du . a a a      `    a     ’ .         ´
                                        a a a   ’     u
                 .
                     1        1        1  1
                       2
                         <          =    − ,                            n   2.
                     n     n(n − 1)   n−1 n
     7. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
          u          `
                     a    a
                              1     1           1
                      an =      + 2   + ··· + n
                             3+1 3 +2        3 +n
     c´ gi´.i han h˜.u han.
      o o .         u    .
            ’ a
         Chı dˆ˜ n. T´ bi ch˘n cua an du.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch so s´nh an
                      ınh . a ’
                             .           . a a a  .   `    a       a
       .i tˆng mˆt cˆp sˆ nhˆn n`o d´.
      o ’
     v´ o         . ´ ´
                  o a o a a o
                                             1   n+1
     8. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
          u          `
                     a    a             1+                   do.n diˆu giam v`
                                                                    e
                                                                    .    ’   a
                                             n
                                                 1     n+1
                              lim 1 +                           = e.
                              n→∞                n
     9. T´             ´
         ınh lim an , nˆu
                       e
              n→∞
                         1    n
          1) an = 1 +             , k ∈ N.              (DS. e)
                        n+k
                    n    n         1
          2) an =          . (DS. )
                  n+1              e
                       1   n        √
          3) an = 1 +        . (DS. e)
                      2n
                  2n + 1 2n
          4) an =             . (DS. e)
                    2n
7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
       o .      ’ a o   ´                                                        25


7.1.4      Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
               u         . o . ’
                             .             ´
                                       a o .        e
             `
             e    e `
                  .   a   a ’ e a’
           diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
                                        o .
                                        .           e
           l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy)
            y o .
               .
Trˆn dˆy ta d˜ nˆu hai phu.o.ng ph´p ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y.
   e a          a e                    a      u            . o . ’ a
                                                             .
Hai phu  .o.ng ph´p n`y khˆng ´p dung du.o.c dˆi v´.i c´c d˜y khˆng do.n
                 a a         o a                  ´
                                                  o o a a             o
                                     .        .
diˆu du.o.c cho khˆng b˘ng phu.o.ng ph´p giai t´ m` du.o.c cho b˘ng
  e
  .      .           o    `
                          a                a     ’ ıch a        .          `
                                                                           a
phu .o.ng ph´p kh´c (ch˘ng han b˘ng phu.o.ng ph´p truy hˆi). M˘t
              a      a     ’
                           a         `
                                     a                 a            `
                                                                    o        a
                                 .                                           .
   a              `
kh´c, trong nhiˆu tru o
                   e    .`.ng ho.p ngu.`.i ta chı quan tˆm dˆn su. hˆi tu
                                        o       ’        a      ´
                                                               e . o .
                               .                                         .
hay phˆn k` cu a
        a y                 a o           a         a   e’
                 ’ a d˜y m` thˆi. Sau dˆy ta ph´t biˆu mˆt tiˆu chuˆn
                                                             o e
                                                              .             a’
c´ t´nh chˆt “nˆi tai” cho ph´p kˆt luˆn su. hˆi tu cua d˜y chı du.a
 o ı         ´
             a     o .
                   .             e e   ´ a . o . ’
                                            .        .            a     ’ .
        a . ’ a o .     ´         ’ a
trˆn gi´ tri cua c´c sˆ hang cua d˜y:
  e

Nguyˆn l´ hˆi tu. D˜y (an ) c´ gi´.i han h˜.u han khi v` chı khi n´
      e y o ..      a        o o .        u    .       a ’        o
  ’    a   `
thoa m˜n diˆu kiˆn:
           e    e
                .

            ∀ ε > 0, ∃ N0 = N0 (ε) ∈ N : ∀ n > N0 v` ∀ p ∈ N
                                                   a
                           ⇒ |an − an+p | < ε.


    T`. nguyˆn l´ hˆi tu r´t ra: D˜y (an ) khˆng c´ gi´.i han khi v` chı
     u      e y o . u
                   .              a          o    o o .            a ’
     o ’      a    `
khi n´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
                   e     e
                         .

          ∃ ε > 0, ∀ N ∈ N ∃ n     N ∃m       N → |an − am |       ε.


                              CAC V´ DU
                               ´   I  .

V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
 ı .       u          `
                      a    a

                      cos 1 cos 2     cos n
               an =        + 2 + ··· + n ,             n∈N
                        3    3         3

hˆi tu.
 o .
 .
26                                Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                                o .      a e .       ’ a     ´
                                                                             o


        Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu
          ’        o      .      e
                                 .
                                cos(n + 1)            cos(n + p)
                 |an+p − an | =      n+1
                                              + ··· +
                                   3                     3n+p
                                 1               1
                                 n+1
                                     + · · · + n+p
                               3               3
                                           1
                                 1 1 − 3p        1 1       1
                              = n+1           < · n < n·
                               3           1     2 3      3
                                      1−
                                           3
                                                1
        Gia su. ε l` sˆ du.o.ng t`y y. V` lim n = 0 nˆn v´.i sˆ ε > 0 d´,
           ’ ’     a o ´         u ´    ı            e o o    ´        o
                                          n→∞ 3
                                              1
      ` . o   ´                                                ´
     tˆn tai sˆ N ∈ N sao cho ∀ n N ta c´ n < ε. Ngh˜ l` nˆu n N ,
      o                                     o          ıa a e
                                              3
     c`n p l` sˆ tu. nhiˆn t`y y th`
      o         ´
            a o .       e u ´ ı
                                                1
                              |an+p − an | <      < ε.
                                               3n
                  e      ’ .
     Do d´ theo tiˆu chuˆn hˆi tu d˜y d˜ cho hˆi tu.
         o              a o . a a             o .
                                              .
     V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
      ı .         u         `
                            a      a
                                1    1           1
                           an = √ + √ + · · · + √
                                 1    2           n
     phˆn k`.
       a y
        Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu
          ’        o      .      e
                                 .
                                 1       1              1
               |an − an+p | = √     +√        + ··· + √
                                n+1     n+2            n+p
                                p
                              √     ∀ n, p ∈ N.
                               n+p
     D˘c biˆt v´.i p = n ta c´
      a
      .    e o
           .                 o
                                         √
                                          n      1
                          |an − a2n |    √      √        ∀ n.             (*)
                                           2      2
                     1
         Ta lˆy ε = √ . Khi d´ ∀ N ∈ N tˆn tai nh˜.ng gi´ tri n > N v`
             ´
             a                 o         ` .
                                          o        u     a .            a
                      2
     ∃ p ∈ N sao cho |an − an+p | ε. Thˆt vˆy, theo bˆt d˘ng th´.c (*) ta
                                       a a
                                       . .           ´ ’
                                                     a a       u
7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
       o .      a   o
                    .    ´
                         e                                              27


chı cˆn lˆy sˆ n > N bˆt k` v` p = n. T`. d´ theo mˆnh dˆ phu dinh
  ’ ` a o
     a ´ ´             ´
                       a y a           u o         e
                                                   .    `
                                                        e   ’ .
nguyˆn l´ hˆi tu ta c´ d˜y d˜ cho phˆn k`.
     e y o . .       o a a          a y


                                  `   ˆ
                                 BAI TAP
                                      .

   Su. dung tiˆu chuˆn hˆi tu dˆ ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y (an )
    ’ .       e      ’ .
                     a o . e u ’              . o . ’ a
                                                  .
 ´
nˆu
 e
          n sin nα
1. an =            , α ∈ R.
         k=1  2n
           n
2. an =         ak q k , |q| < 1, |ak | < M ∀ k, M > 0.
          k=1
           n  (−1)k−1
3. an =                ·
          k=1 k(k + 1)
           n  (−1)k
4. an =             ·
          k=1   k!
5. an = 0, 77 . . . 7.
               nch˜. sˆ
                  u o ´
           n         1
6. an =                 ·
          k=1   2k   +k
   Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
     u          `
                a    a a         a    a y
           1           1
7. an = 1 +  + · · · + , n ∈ N.
           2          n
         1    1             1
8. an =    +       + ··· +     , n = 2, . . .
        ln2 ln3            lnn


7.2       Gi´.i han h`m mˆt biˆn
            o    .   a   o
                         .    ´
                              e
7.2.1      C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
            a    a    e
                      .   a .     y      ’   ` o .
                                             e
Dinh ngh˜ gi´.i han cua c´c h`m dˆi v´.i n˘m tru.`.ng ho.p: x → a,
  .     ıa o .       ’ a a           ´
                                     o o a       o     .
x → a ± 0, x → ±∞ du ..o.c ph´t biˆu nhu. sau.
                             a    e’
28                              Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
                                              o .      a e .       ’ a     ´
                                                                           o


         1) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (x) tai diˆm a (khi x → a)
             ´
             o      .    . a o .          ’ a             . e  ’
      ´
     nˆu ∀ ε > 0 b´ bao nhiˆu t`y y t` du . o
      e           e           e u ´ ım        .o.c sˆ δ = δ(ε) > 0 (∃δ = δ(ε) >
                                                    ´
     0) sao cho ∀ x m` a


                         x ∈ Df ∩ {x; 0 < |x − a| < δ(ε)}

     th`
       ı

                                  |f (x) − A| < ε.

          K´ hiˆu: lim f (x) = A.
            y e   . x→a
          2) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han bˆn phai (bˆn tr´i) cua h`m f (x) tai
               o´     .   . a o .          e    ’    e    a     ’ a          .
        ’           ´
     diˆm x = a nˆu ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho v´
       e            e                                       o.i moi x thoa m˜n
                                                                        ’   a
                                                                 .
       ` u kiˆn
       e
     diˆ     e.

           x ∈ Df ∩ {x : a < x < a + δ} (x ∈ Df ∩ {x : a − δ < x < a})

     th`
       ı

                                  |f (x) − A| < ε.

           K´ hiˆu:
            y e .

                  lim f (x) = f (a + 0)     lim f (x) = f (a − 0) .
                 x→a+0                     x→a−0

           Tu.o.ng tu.:
                    .
           3) lim f (x) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ ∆ > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : x > ∆}
             x→+∞


                                 ⇒ |f (x) − A| < ε.

           Dinh ngh˜ gi´.i han khi x → −∞ du.o.c ph´t biˆu tu.o.ng tu..
             .     ıa o .                    .     a      e’        .
               ´
           4) Nˆu lim f (x) = lim f (x) = A th` ngu o
               e                                ı    .`.i ta viˆt
                                                               ´
                                                               e
                  x→+∞         x→−∞


                                   lim f (x) = A.
                                  x→∞
7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
       o .      a   o
                    .    ´
                         e                                                   29


    Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt nˆu A = 0 th` h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ
          o     .    a
                     .   . ´
                         e e           ı a            .    . a a       o
c`ng b´ khi x → a (x → a ± 0, x → ±∞).
 u      e
    Kh´i niˆm h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a c˜ng du.o.c ph´t biˆu dˆi
        a e .      a   o u      o .     ’
                                        e     u       .      a     ’ ´
                                                                  e o
v´.i ca n˘m tru.`.ng ho.p.
 o ’ a            o    .
    Ch˘ng han, h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a nˆu
       a’     .     a         .   . a a     o u      o . e      ’    ´
                                                                     e
     ∀ M > 0 ∃ δ = δ(M) > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ}
                            ⇒ |f (x)| > M.
        a      ´
    Ngo`i ra, nˆu f (x) > 0 (f (x) < 0) ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ}
               e
  ı      ´
th` ta viˆt
         e
                  lim f (x) = +∞       lim f (x) = −∞ .
                  x→a                  x→a

     Ta lu.u y r˘ng c´c k´ hiˆu v`.a nˆu chı ch´.ng to f (x) l` vˆ c`ng
             ´ a`       a y e u e
                                .              ’ u       ’      a o u
l´.n ch´. ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ r˘ng f c´ gi´.i han.
 o     u a         a     o     o      ıa `a     o o .
     Khi t´ gi´ .
          ınh o   .i han ta thu.`.ng su. dung c´c diˆu kh˘ng dinh sau dˆy.
                                o      ’ .     a `  e    a’            a
                                                              .
D.nh l´ 7.2.1. Nˆu c´c gi´.i han lim f1(x), lim f2(x) tˆn tai h˜.u han
-i      y             ´
                      e a o .                               ` . u .
                                                            o
                                        x→a      x→a
th`ı
   1) lim[f1 (x) + f2 (x)] = lim f1 (x) + lim f2 (x)
      x→a                    x→a           x→a
   2) lim[f1 (x) · f2 (x)] = lim f1 (x) · lim f2(x)
      x→a                   x→a         x→a

                                   f1 (x)   lim f1 (x)
                                            x→a
       ´
   3) Nˆu lim f2 (x) = 0 th` lim
       e                   ı              =
            x→a                x→a f2 (x)   lim f2 (x)
                                               x→a
       ´
   4) Nˆu trong lˆn cˆn U (a; δ) = {x : 0 < |x − a| < δ} ta c´
       e         a a .                                           o
f1(x) f (x) f2 (x) v` lim f1(x) = lim f2 (x) = A th` lim f (x) = A
                     a                             ı
                           x→a           x→a               x→a
(nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
      e y . a   .          a
                  .i han h`m sˆ c´ thˆ ph´t biˆu du.´.i dang ngˆn ng˜.
    Dinh ngh˜ gi´ .
             ıa o         a   ´
                              o o e a’        e’    o .        o    u
     .
d˜y nhu
 a      . sau.

Dinh l´ 7.2.2. Gia su. D ⊂ R, a ∈ R l` diˆm tu cua n´; A ∈ R,
-.     y             ’ ’                  a e   ’  . ’      o
f : D → R. Khi d´ o
                               lim f (x) = A
                              x→a
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming
Bài tập toán cao cấp - bookbooming

More Related Content

What's hot

Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊChuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊThắng Nguyễn
 
Bài tập Xác suất thống kê
Bài tập Xác suất thống kêBài tập Xác suất thống kê
Bài tập Xác suất thống kêHọc Huỳnh Bá
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNĐiện Môi Phân Cực
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânchuateonline
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhThanh Hoa
 
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt nam
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt namBài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt nam
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt namvoxeoto68
 
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - Full
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - FullPhân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - Full
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - FullTới Nguyễn
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keNam Cengroup
 
Kinh tế chính trị Mac - Lenin
Kinh tế chính trị Mac - LeninKinh tế chính trị Mac - Lenin
Kinh tế chính trị Mac - LeninSơn Bùi
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1TheSPDM
 
kinh tế lượng
kinh tế lượngkinh tế lượng
kinh tế lượngvanhuyqt
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpVan-Duyet Le
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhNhóc Nhóc
 
Bảng Student
Bảng StudentBảng Student
Bảng Studenthiendoanht
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thứcTrinh Yen
 
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongBài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongHoàng Như Mộc Miên
 
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thể
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thểKiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thể
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thểLe Nguyen Truong Giang
 
Bài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếBài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếtuongnm
 

What's hot (20)

Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊChuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Chuong3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
 
Bài tập Xác suất thống kê
Bài tập Xác suất thống kêBài tập Xác suất thống kê
Bài tập Xác suất thống kê
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phân
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
 
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt nam
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt namBài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt nam
Bài tiểu luận lịch sử đảng cộng sản việt nam
 
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - Full
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - FullPhân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - Full
Phân dạng lý thuyết và bài tập vật lý 11 - Full
 
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ: PHÂN PHỐI BERNOULLI
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ: PHÂN PHỐI BERNOULLIBÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ: PHÂN PHỐI BERNOULLI
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ: PHÂN PHỐI BERNOULLI
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
 
Kinh tế chính trị Mac - Lenin
Kinh tế chính trị Mac - LeninKinh tế chính trị Mac - Lenin
Kinh tế chính trị Mac - Lenin
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1
 
kinh tế lượng
kinh tế lượngkinh tế lượng
kinh tế lượng
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
 
Bảng Student
Bảng StudentBảng Student
Bảng Student
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức
 
Chuong02
Chuong02Chuong02
Chuong02
 
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongBài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
 
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thể
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thểKiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thể
Kiểm định giả thiết & so sánh hai tổng thể
 
Bài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếBài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tế
 

More from bookbooming

Tuyen tap nhung site pr cao
Tuyen tap nhung site pr caoTuyen tap nhung site pr cao
Tuyen tap nhung site pr caobookbooming
 
Key unit 2 esp bookbooming
Key  unit 2 esp bookboomingKey  unit 2 esp bookbooming
Key unit 2 esp bookboomingbookbooming
 
Pricing bookbooming
Pricing bookboomingPricing bookbooming
Pricing bookboomingbookbooming
 
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingbookbooming
 
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...bookbooming
 
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingChương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingbookbooming
 
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingbookbooming
 
Chuong 4 bookbooming
Chuong 4 bookboomingChuong 4 bookbooming
Chuong 4 bookboomingbookbooming
 
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingbookbooming
 
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingGiao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingbookbooming
 
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingGiao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingbookbooming
 
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingGiao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingbookbooming
 
đề 10 bookbooming
đề 10 bookboomingđề 10 bookbooming
đề 10 bookboomingbookbooming
 
đề 8 bookbooming
đề 8 bookboomingđề 8 bookbooming
đề 8 bookboomingbookbooming
 
đề 7 bookbooming
đề 7 bookboomingđề 7 bookbooming
đề 7 bookboomingbookbooming
 
đề 6 bookbooming
đề 6 bookboomingđề 6 bookbooming
đề 6 bookboomingbookbooming
 
đề 5 bookbooming
đề 5 bookboomingđề 5 bookbooming
đề 5 bookboomingbookbooming
 
đề 3 bookbooming
đề 3 bookboomingđề 3 bookbooming
đề 3 bookboomingbookbooming
 
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookboomingbookbooming
 
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookbooming
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookboomingCh1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookbooming
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookboomingbookbooming
 

More from bookbooming (20)

Tuyen tap nhung site pr cao
Tuyen tap nhung site pr caoTuyen tap nhung site pr cao
Tuyen tap nhung site pr cao
 
Key unit 2 esp bookbooming
Key  unit 2 esp bookboomingKey  unit 2 esp bookbooming
Key unit 2 esp bookbooming
 
Pricing bookbooming
Pricing bookboomingPricing bookbooming
Pricing bookbooming
 
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 7 đường lối văn hóa Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
 
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...
Chương 5 đường lối xây dựng nền kinh tế thị trường Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbo...
 
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingChương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Chương 4 đường lối công nghiệp hóa Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
 
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chương 3 đường lối đối ngoại Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
 
Chuong 4 bookbooming
Chuong 4 bookboomingChuong 4 bookbooming
Chuong 4 bookbooming
 
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingChuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Chuong 3 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
 
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingGiao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c6 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
 
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookboomingGiao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
Giao an dt c5 Đường lối CMĐ ĐHNT-bookbooming
 
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookboomingGiao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
Giao an dt c8 Đường lối CMĐ ĐHNT- bookbooming
 
đề 10 bookbooming
đề 10 bookboomingđề 10 bookbooming
đề 10 bookbooming
 
đề 8 bookbooming
đề 8 bookboomingđề 8 bookbooming
đề 8 bookbooming
 
đề 7 bookbooming
đề 7 bookboomingđề 7 bookbooming
đề 7 bookbooming
 
đề 6 bookbooming
đề 6 bookboomingđề 6 bookbooming
đề 6 bookbooming
 
đề 5 bookbooming
đề 5 bookboomingđề 5 bookbooming
đề 5 bookbooming
 
đề 3 bookbooming
đề 3 bookboomingđề 3 bookbooming
đề 3 bookbooming
 
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming
[đườNg lối] 20 câu hỏi ôn tập (kèm đáp án) bookbooming
 
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookbooming
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookboomingCh1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookbooming
Ch1 negotiating delivery-theory-dịch hợp đồng- bookbooming
 

Bài tập toán cao cấp - bookbooming

  • 1. Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
  • 2. ˜ ˆ ’ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP . ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp 2 a . Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m e ınh a a a ` ´ ˆ ’ ´ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . .
  • 3. Muc luc . . 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 3 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . ’ a o ´ 4 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han . a a a e o . ı o . 5 .ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c ´ 7.1.2 Ch´ u . o . ’ a o . . e a dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . . . y ` o . e 11 7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu u . o . ’ a o . . ´ e ` e e. ’ ’ e a o . kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ . e y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu u . o . ’ a o . . ´ e ` e e ` . a a ’ e a o . ’ kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu . e y o . . Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 .i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . . Gi´ . o a o ´ e . . 27 . 7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han a a e . a . y ’ ` o . e . . 27 7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e . . . 41 7.4 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . o . a e . ’ a ` e ´ e . . 51 8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn e ınh a a o. e´ 60 - . a 8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 - . a ´ 8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a - . a ´ 8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 a 8.2 Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 75 a a ´ 8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
  • 4. 2 MUC LUC . . a a ´ 8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.3 a . y . ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital. C´c dinh l´ co ’ ` a e ’ ´ a Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 84 8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . . a . y ’ ` a e ’ 84 8.3.2 Khu a’. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan o . ´ a o . (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 96 9 Ph´p t´ e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn a a `e ´ e 109 - . a 9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 110 - . a e ´ 9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . . a . . . . . . . 110 9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . . - . a ’ a . . . . . . . . 111 a ’ 9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . . - . a o . . . . . . . 112 - . a e ´ 9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . . a . . . . . . . 113 a ’ a ` ´ 9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . e e . . . . . . . 125 a a ´ 9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ´ . ’ ` 9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng a e ı a u . . . . . . . 126 a ınh a ’ ´ 9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . . a . . . . . . . 127 a a ´ 9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.5 Cˆng th´ o u .c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 a ’ a a ’ 9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . . . . ’ a ` e e´ . . . . . . 145 9.3.1 Cu .c tri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 . . .c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . . 9.3.2 Cu . . o ` e e . . . . . . . 146 9.3.3 Gi´ tri l´ a . o .n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m . ´ a a e a ’ a ´ . . . . . 147
  • 5. Chu.o.ng 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua o . a e . ’ h`m sˆ a ´ o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . o . ’ a o ´ 4 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i a a a e o . ıa o han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u . o . ’ a o . . ´ e a . y e` gi´.i han . . . . . . . . . . . . c´c dinh l´ vˆ o . 11 7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a u . o . ’ . ´ a o . ` e . ’ ’ e a trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn e e o . . e l´ y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u . o . ’ a o . . ´ e ` e ` ’ . a a ’ e a o . diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn e . e l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 y o . . 7.2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27 o . a o . ´ e 7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27 a a e . a . y ’ ` o . e 7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 a e . 7.4 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51 o . a e . ’ a ` e ´ e
  • 6. 4 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ a ´ o a . e a . . . . a a o o .´ a o ´ thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang: o . ´ e o . a1, a2, . . . , an , . . . (7.1) ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t a . o . ´ . a o . ’ o a ’ a ´ . a o e ’ o . ´ cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y. a Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy: ` a ´ a a e . a i) D˜y (7.1) du . a .o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | ´ . a . a e . M; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M. a . a o . a e . ´ ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu: ´ o . . a o . ’ a ´ e ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε. (7.2) iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu: ´ o o ’ a o . ’ a ´ e ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε. (7.3) iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c a o o . . . a a o . . o . . lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`. . a . a a a y . a a o u e e ´ v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y a a . a a n→∞ vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt o u o ´ e a e ´ lim an = ∞. ` ’ e ` e a o . a a o ’ . a vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n. e . a . . Ch´ ´: i) Hˆ th´ uy e u .c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i: o . −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4)
  • 7. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 5 Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y e u . u ’ a` ´ . o . o ’ o ´ ’ a o . ` ` ’ ’ hˆi tu dˆu n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn . e a a . a a a ’ ’ cˆn cua diˆm a. . e Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`. a . ´ e a ´ ´ o . e o . ı . o . ´ ’ o u .u han sˆ hang dˆu n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao e ` ` . ´ ra mˆt sˆ h˜ o o u . o . ´ a a a a y e . ´ e u ´ ’ nhiˆu t`y y cua diˆm a. e’ ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu ´ `a ´ a o o u o o o . a y e . . lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´ ’ o ıa a a a o u o a y e o . ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ . a a o o ıa a a o o .i han. 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i a a a e o . ıa o han . Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn ’ e u ` a a ’ . . ı ` a ´ e h`nh theo c´c bu o a a .´.c sau dˆy: a i) Lˆp biˆu th´.c |an − a| a. e’ u ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v` . a ´ ` o o . e e a v´ o.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n: ´ ’ e a y a ´ ´ ınh o o bn < ε (7.5) c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f (ε), o e ’ ’ o a . ˜ a e ’ ’ o e a . ’ ´ o e a a o a ` f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn o a e ’ nguyˆn cua f (ε). CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng: n ı . ’ ’ u ` a i) D˜y an khˆng bi ch˘n. a o . a . ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. a o ’ a o u o ’ Giai. i) Ta ch´u.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng ` a ’ a . ı a o ´ .i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng o ´ . bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e ` . a . a a . . o . a n v` l´.n ho.n M. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n. a o ` o o e ıa a a o . a .
  • 8. 6 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy, u ` a o ’ a o u o a a . . e ’ ’ e e ´ o . ’ a o ´ ..i sˆ hiˆu le ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’ . ` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´: dˆ e o . ’ ı ’ ı o n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2). Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´, a . ’ ´ ´ o o o o . ’ a u o theo dinh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. . ıa o ’ a o u o V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng: ı . u . ı o . ´ ’ a o e u ` a (−1)n−1 n 1) lim = 0. 2) lim = 1. n→∞ n n→∞ n+1 Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh ’ ’ e u a o o . a ` a u ` ´ r˘ng dˆi v´ a o o .i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu ˜ o o ´ o o e ’ ı ´ . o . thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta o. ı o o c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε. o e ’’ o u o e’ ˜ e 1) Ta c´: o (−1)n−1 1 |an − 0| = = · n n Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´: ’ ’ a o´ o u ´ o 1 1 <ε⇔n> · n ε V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn: ı e ´ ’ ´ o e a ´ a o . e a o ’ a ` e e . 1 1 N> ⇒ < ε. ε N ’ . ’ ´ o e a o a ` (Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn a a e ’ cua 1/ε). Khi d´ ∀ n N th` o ı: 1 1 |an − 0| = < ε. n N
  • 9. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 7 (−1)n ` o o Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim e ıa a = 0. n→∞ n 2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n > ´ ´ a o ´ a y a ım o . ´ e N (ε) th`: ı n − 1 < ε. n+1 Bˆt d˘ng th´.c ´ ’ a a u 1 1 |an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ − 1. n+1 ε 1 ’ ´ ´ a ` e ’ Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua o o e a o a − 1, t´.c l`: u a ε N (ε) = E((1/ε) − 1). Khi d´ v´.i moi n N ta c´: o o . o n 1 1 n −1 = < ε ⇒ lim = 1. n+1 n+1 N +1 n→∞ n + 1 V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`: ı . u ` a a a a a y 1) an = n, n∈N (7.6) 2) an = (−1)n ,n∈N (7.7) 1 3) an = (−1)n + · (7.8) n Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1. ’ ’ ’ a o . a o o . a . ´ a o ı o.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th` Khi d´ theo dinh ngh˜a gi´ . ` . o e o ´ . ı . ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1 o ıa a u o ∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N. Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c ´ ’ a a u a o y ı a . . a sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n. ´ o . e o . a . ’ ’ 2) C´ch 1. Gia su a a . d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn o . a o o . a ´ a a . 1 1 cˆn a − , a + a . cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang: ’ e’ ´ e a a o . 2 2 {an } = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9)
  • 10. 8 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 1 1 ı o a ’ . ’ V` dˆ d`i cua khoang a − , a + ` ’ l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1 a a e e 2 2 1 1 v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a + a o ’ o e ` o o a a . . ’ ’ cua diˆm a, e 2 2 v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i ı ’ a u a ` a ` o o e ı a ’ a 1 1 lˆn cˆn a − , a + a a . ´ ´ ’ a a ı e ´ c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´ o o o o . u 2 2 y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y. ´ ’ e ´ o o ’ e a o . ’ a 1 C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´ a ’ ’ o ´ a o 2 1 |an − a| < ∀ n N. 2 V` an = ±1 nˆn ı e 1 1 |1 − a| < , | − 1 − a| < 2 2 1 1 ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| |1 − a| + |a + 1| + =1 2 2 ⇒2 < 1, vˆ l´. o y 1 3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + ´ a` o . Sˆ hang kˆ v´.i n´ ´ o . ` o o e 2m ´ . o o e ’ c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v` a 1 1 a2m+1 = −1 + < 0 (hay a2m−1 = −1 + 0). 2m + 1 2m − 1 T`. d´ suy r˘ng u o ` a |an − an−1 | > 1. Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o ´ ´ e o a o a o . ’ a ı ´ ` u o e a a a ´ . 1 d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´ o ’ a a a´ ’ u o 2 1 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1. 2 2 Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn e. u ´ o . ` e ´ a y ’ a a o o l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c o ` e a ˜ a a u ’ a` o . ´ o o . ’ n`o c´ thˆ l` gi´ . a o e a o .i han cua d˜y d˜ cho. ’ a a
  • 11. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 9 ` ˆ BAI TAP . H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng a ’ . . ıa o . e u’ ` a 2n − 1 ´ 1. lim an = 1 nˆu an = e n→∞ 2n + 2 3 3n2 + 1 2. lim an = nˆ ´u an = e n→∞ 5 5n2 − 1 ´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th` B˘ a a ` u o e ´ . a ı: |an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5) 3n + 1 ´ 3. lim an = 1 nˆu an = e . n→∞ 3n cos n 4. lim = 0. n→∞ n 2n + 5 · 6n 5. lim = 5. n→∞ 3n + 6n √ 3 n2 sin n2 6. lim = 0. n→∞ n+1 7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an = u ` a o´ o ’ a o . ’ a 2 n −2 . 2n2 − 9 8. Ch´.ng minh r˘ng u ` a n2 + 2n + 1 + sin n lim = 1. n→∞ n2 + n + 1 9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`. u ` a a a y 10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`. u ` a a a y 11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . . ım o . ’ a n Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang ’ ˜a ’ e ˜ e o . 2 22 2 an = 0, 22 . . . 2 = + + ··· + n (DS. lim an = 2/9) 10 10 10
  • 12. 10 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 12. T` ım gi´.i o han . ’ cua d˜y a ´ sˆ: o 0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . . n Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang ’ ˜a ’ e ˜ e o . 2 3 3 3 an = + 2 + 3 + ··· + n (DS. 7/30) 10 10 10 10 13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn u ` a ´ e a o . e . ´ o a ` a e ´ a ´ ` e ∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0. ı a 14. Ch´.ng minh r˘ng u ` a n i) lim n = 0. n→∞ 2 n ii) lim n = 0 (a > 1). n→∞ a Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c: ’ ˜a ’ . e u . n(n − 1) n(n − 1) n2 2n = (1 + 1)n = 1 + n + + ··· + 1 > n + > · 2 2 2 v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|. a o . ii) Tu .o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c: ’ . e u . . n(n − 1) an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1). 2 15. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 1 1 ´ lim an = 2 nˆu an = 1 + e + ··· + n 2 2 Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi ’ ˜ ´ a . o u ı o’ ´ ´ a o a e ı ’ ` o u.´.c lu.o.ng |an − 2|. o . 16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´ ´ ` e a a o o . o a o o o . o thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y: ’ e o ı ` o . e ’ a i) {an + bn }. ii) {an bn }. (DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh. o ` . o a u
  • 13. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 11 ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han, ’ . o e a ’ o . o o . a o o o . v´ du: ı . n−1 1 an = , bn = (−1)n ; an = , bn = (−1)n . n n 7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u . o . ’ . ´ a o . e c´c dinh l´ vˆ gi´.i han a . y ` o . e Dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v` ’ e ı o . ’ a o ´ o o ’ . a . y a kh´i niˆm sau dˆy: a e . a ’ ’ Gia su. lim an = a, lim bn = b. i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b. ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b. iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c ´ e ı ´ ` u o o e a o a a a . ´ . a dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`: . ıa a a an lim an a lim = = · bn lim bn b iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ ´ e ´ a a a ` u o o e a o . ´ . an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´). ı e y . a . a v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´. ıch ’ a o u e o a . a a a o u . e 1 vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y ´ e a a o u o a ı a l` d˜y vˆ a a o an 1 c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y u e . . e ´ a a o u e a ı a αn l` vˆ c`ng l´.n. a o u o Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung d´ng d˘n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt a e . ’ ea . u ´ a . a y e ` a ´ o . ´ . sˆ nhˆn x´t sau dˆy: o a e a i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu . y ` o . e ’ e o a . . e ´ tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han ´ ’ o a a o o ˜ ´ o o . u . a . ˜ o o o . a ´ ` b˘ng 0. Trong nh˜ a u .ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng, o o e ´ ’ e o o a . . ’ ` . sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt a ’ ´ ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u a a a a ˜ ´ o . . . biˆ e’u th´.c. u
  • 14. 12 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung. ´ o o . y a u ` a ’ a . . a . Trong tru o .`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v` a ` a ’ ´ ’ e o a e’ u a . an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii). o ınh o . ı . ´ iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a. e ı n→∞ CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. T` lim an nˆu: ı . ım ´ e 1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n ) n+2 2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)] 3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2) ’ ’ e ’ a a a a ´ ´ ´ Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ u y e a o 1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´: ´ a ’ o a a o a ˜ ´ u o o 1 + 7n+2 7−n + 72 an = = 3 − 7n 3 · 7−n − 1 o Do d´ 7−n + 72 lim an = lim = −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞. ı 3 · 7−n − 1 2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´: ´ ˜ ´ e ’ o a a o ` a a o o ´ ´ . e o 2 + 2n 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n; 2 1 + (2n + 2) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1). 2 o Do d´ n an = ⇒ lim an = 1. n+1 3) Nhu. ta biˆt: ´ e n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 = 6
  • 15. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 13 v` do d´: a o 6n3 lim an = lim n(n + 1)(2n + 1) 6 = lim = 3. (1 + 1/n)(2 + 1/n) V´ du 2. T` gi´.i han ı . ım o . 1 1 1 1+ + + ··· + n lim 2 4 2 1 1 1 1 + + + ··· + n 3 9 3 Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn ’ ´ ˜ ´ e ’ o a a o ` a a o a e ´ ´ 1 1 2(2n − 1) 1+ + ··· + = , 2 2n 2n 1 1 3(3n − 1) 1 + + ··· + = 3 3n 2 · 3n v` do d´: a o 2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n lim an = lim · = 2 lim · lim n 2n 3(3n − 1) 2n 3 3 −1 2 1 2 4 = 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim n =2·1· ·1= · 3 1 − (1/3) 3 3 V´ du 3. ı . √ 1) an = n2 + n − n √ √ 2) an = 3 n + 2 − 3 n √ 3) an = 3 n2 − n3 + n ’ Giai. 1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p ´ ’ e o ` a a a a . . e . √ √ ( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1 an = √ =√ = n2 + n + n n2 + n + n 1 + 1/n + 1 Do d´ o 1 1 lim an = = · lim ( 1 + 1/n + 1) 2 n→∞
  • 16. 14 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´: ´ ’ e o . o √3 3 √ 3 n+2 − 3n an = √ 2 √ √ √ 2 3 n+2 + 3n+2· 3n+ 3n 2 an = √ 2 √ √ √ 2 3 n+2 + 3n+2· 3n+ 3n Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng: ’ e u ˜ o a a ´ ` 2 n2/3 3 1 + 2/n + 3 1 + 2/n + 1 → ∞ khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0. a o √ 3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c: 3 o e e’ ´ aa . o u a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) suy ra √ √ 2 √ 3 n2 − n3 + n 3 n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2 an = √3 2 √ n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2 n2 = √ 3 2 √ n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2 1 = 2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1 [1/n − 1] 1 suy ra lim an = · 3 V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau ı . ım o . ’ a a n n an = √ , bn = √ , n 2+n n 2+1 1 1 1 cn = √ +√ + ··· + √ · n+1 n2 + 2 n2 + n Giai. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy: ’ ` a e u a a . . n 1 lim an = lim = lim = 1. n 1 + 1/n 1 + 1/n
  • 17. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 15 Tu.o.ng tu. lim bn = 1. . ’ t`m gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a. Dˆ ı e o . ’ ea . e y . a . ı Mˆt m˘t ta c´: o . a . o 1 1 1 n cn < √ +√ + ··· + √ =√ = bn n2 +1 n2 +1 n2 +1 n 2+1 nhu.ng m˘t kh´c: a . a 1 1 1 cn > √ +√ + ··· + √ = an . n2 + n n2 + n n2 + n Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra a . a u o n→∞ n→∞ lim cn = 1. n→∞ V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu ı . u ` a a a a o u o ´ e |q| > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1. a o u e Giai. 1) Gia su. |q| > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c ’ ’ ’ ´ ´ a o ´ a y u a ’ u |q| > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N n . ´ e ´ a ı o n o a n ta c´ |q| > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´ a a o u o.n. 1 n −1 1 2) Gia su. |q| < 1, q = 0. Khi d´ q n = ’ ’ o . V` ı > 1 nˆn e q q 1 n 1 n −1 d˜y a l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y a a o u o a o a l` vˆ c`ng a o u q q b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1. e u a a a a o u e 3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q| < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´. e´ ı n n a o a o u e ` ˆ BAI TAP . T` gi´.i han lim an nˆu ım o . ´ e n→∞ n2 − n 1. an = √ . (DS. ∞) n− n √ 2. an = n2 (n − n2 + 1). (DS. −∞)
  • 18. 16 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 1 + 2 + 3 + ··· + n 3. an = √ . (DS. 1/6) 9n4 + 1 √ n cos n 4. an = . (DS. 0) n+1 5n sin n 5. an = + . (DS. 5) n+1 n n3 3n2 6. an = 2 − . (DS. 1/3) n + 1 3n + 1 n cos n 7. an = − . (DS. 1) n + 11 10n n3 + 1 8. an = 2 (DS. ∞) n −1 cos n3 3n 1 9. an = − . (DS. − ) n 6n + 1 2 n (−1) 10. an = √ . (DS. 0) 5 n+1 √ √ n2 + 1 + n 11. an = √ 3 √ . (DS. +∞) n3 + n − n √ 12. an = 3 1 − n3 + n. (DS. 0) √ n2 + 4n 13. an = √ 3 . (DS. 1) n3 − 3n2 (n + 3)! 14. an = . (DS. −∞) 2(n + 1)! − (n + 2)! 2 + 4 + · · · + 2n 15. an = − 2. (DS. −1) n+2 √ 1 16. an = n − 3 n3 − n2 . (DS. ) 3 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1 17. an = √ √ . (DS. − ) n2 + 1 + 4n2 + 1 3 1 1 1 18. an = + + ··· + . 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 ’ ˜ ´ Chı dˆ n. Ap dung a . = − (DS. 1) n(n + 1) n n+1
  • 19. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 17 1 1 1 (−1)n−1 3 19. an = 1 − + − + ··· + . (DS. ) 3 9 27 3n−1 4 n+1 n+1 2 +3 20. an = n + 3n . (DS. 3) 2 n + (−1)n 21. an = . (DS. 1) n − (−1)n 1 1 1 1 22. an = √ √ √ +√ √ + ··· + √ √ n 1+ 3 3+ 5 2n − 1 + 2n + 1 Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c. ’ ˜ a . a ˜ ´ u ’ a o a e’ u ´ a a . 1 (DS. √ ) 2 1 1 1 23. an = + + ··· + 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) ’ ˜ .´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng Chı dˆ n. Tru o e a ´ u ` a 1 1 1 1 1 = − (DS. ) n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4 1 1 1 1 24. an = + + ··· + . (DS. ) a1a2 a2 a3 an an+1 a1 d trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0. o ´ ´ . a a o o o o 1 25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ). (DS. ) 2 n+2 Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an = ’ ˜ a ` a . a . u ` ’ a . 2n + 2 7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u . o . ’ . ´ a o . e ` e . ’ ’ e a diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ e o . . e y Bolzano-Weierstrass) D˜y sˆ an du.o.c goi l`: a o ´ . . a a a ´ i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n e ’ ´ ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n a e C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y a a a a . ’ o . . a a e . ´ r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y ` a a e . o u . a ı. ´ a a o . ´ ıa. e a
  • 20. 18 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y e a . ı o . a . ´ o ’ o . ` a e ’ o a do .n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy e ’ ı . a e ´ ’ o . `a o . y a . . thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu. o . ’ . ’ e ı o . ’ a e . D.nh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu. -i y a e a . a . . ı o . . Dinh l´ n`y kh˘ . y a ’ ng dinh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı a . ` . ` . ’ e o o . a o ’ ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng . a ım o . o a . ` e o ho .p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh ´ e o . ’ a ` . o e ’ o ’ a ı . n´. Viˆc t´ to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c d´ng v´.i moi d˜y hˆi o e ınh a . o . e a’ u u o . a o . tu: . lim an+1 = lim an . n→∞ n→∞ Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su. ınh o . . e a ’ u u e e . . ’ a ’ dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi. . a a ` a o u `o CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y: ı . u ` a a 1 1 1 an = + 2 + ··· + n hˆi tu. o . . 5+1 5 +1 5 +1 Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v` ’ a a e a . a a ı: . . 1 an+1 = an + nˆn an+1 > an . e 5n+1 + 1 D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy: a a . a . e a a . . 1 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + 3 + ··· + n < + 2 + ··· + n 5+1 5 +1 5 +1 5 +1 5 5 5 1 1 − = 5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 · 1 4 5n 4 1− 5 Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi a a . a e a . a . a . e e o o . tu. .
  • 21. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 19 2n V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = ı . u ` a a hˆi tu v` t`m gi´.i han cua o a ı o . ’ n! . . n´. o 2 22 2n ’ Giai. D˜y d˜ cho c´ dang , , . . . , , . . . a a o . 1 2 n! D˜y an do.n diˆu giam. Thˆt vˆy a e . ’ a a . . an+1 2n+1 2n 2 = : = < 1 ∀ n > 1. an (n + 1)! n! n+1 Do d´ an+1 < an v` d˜y bi ch˘n trˆn bo.i phˆn tu. a1 . Ngo`i ra o a a . a . e ’ `a ’ a an > 0, ∀ n nˆn d˜y bi ch˘n du o e a . a .´.i. Do d´ d˜y do.n diˆu giam v` bi o a e ’ a . . . ch˘n. N´ hˆi tu theo dinh l´ Weierstrass. Gia su. a l` gi´.i han cua n´. a . o o . . . y ’ ’ a o . ’ o Ta c´: o an+1 2 2 = ⇒ an+1 = an . an n+1 n+1 T`. d´ u o 2an 2 lim an+1 = lim = lim lim an n+1 n+1 2n v` nhu. vˆy: a = 0 · a → a = 0. Vˆy: lim a a . a. = 0. n! √ √ V´ du 3. Cho d˜y an = 2, an+1 = 2an . Ch´.ng minh r˘ng d˜y hˆi ı . a u ` a a o . tu v` t`m gi´ ..i han cua n´. ’ o . a ı o Giai. Hiˆn nhiˆn r˘ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´ l` d˜y do.n diˆu ’ ’ e e ` a o a a e . √ t˘ng v` bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ 2. Ta ch´.ng minh r˘ng n´ bi ch˘n trˆn a a . a . o ’ o ´ u ` a o . a . e .i sˆ 2. ’ ´ bo o Thˆt vˆy a a . . √ √ √ a1 = 2; a2 = 2a1 < 2 · 2 = 2. Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng an ’ ’ a u . a ` 2. Khi d´: o √ √ an+1 = 2an 2 · 2 = 2.
  • 22. 20 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o . e ` Vˆy theo tiˆn dˆ quy nap ta c´ an 2 ∀ n. a e . o Nhu. thˆ d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n nˆn n´ c´ gi´.i han d´ ´ e a e a . a . a e o o o . . o l` a. a Ta c´: o √ an+1 = 2an ⇒ a2 = 2an . n+1 Do d´: o lim a2 = 2 lim an n+1 hay a2 − 2a = 0 v` thu du.o.c a1 = 0, a2 = 2. a . V` d˜y do ı a .n diˆu t˘ng ∀ n nˆn gi´.i han a = 2. e a e o . . V´ du 4. Ch´.ng minh t´nh hˆi tu v` t`m gi´.i han cua d˜y ı . u ı o . a ı . o . ’ a √ √ x1 = a; x2 = a+ a, . . . , √ xn = a+ a + ··· + ´ a, a > 0, n dˆu c˘n. a a ’ Giai. i) R˜ r`ng: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ l` o a ıa a d˜y d˜ cho l` d˜y t˘ng. a a a a a ii) Ta ch´.ng minh d˜y xn l` d˜y bi ch˘n. Thˆt vˆy, ta c´: u a a a . a . a a . . o √ √ x1 = a < a+1 √ √ √ √ x2 = a + a < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1. √ Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng: xn < a + 1. ’ ’ a u . a ` √ Ta cˆn ch´.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆt vˆy, ta c´: ` a u a a . . o √ √ √ √ xn+1 = a + xn < a+ a+1< a + 2 a + 1 = a + 1. Do d´ nh`. ph´p quy nap to´n hoc ta d˜ ch´.ng minh r˘ng d˜y d˜ o o e . a . a u ` a a a √ cho bi ch˘n trˆn bo.i a + 1. . a . e ’
  • 23. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 21 √ iii) Dˆ t`m gi´.i han ta x´t hˆ th´.c xn = a + xn−1 hay ’ e ı o . e e u . x2 = a + xn−1 . n T`. d´: u o lim x2 = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1 n hay nˆu gia thiˆt lim xn = A th`: A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v` ´ e ’ ´ e ı a √ √ 1 + 1 + 4a 1 − 1 + 4a A1 = , A2 = · 2 2 V` A2 < 0 nˆn gi´ tri A2 bi loai v` xn > 0. ı e a . . . ı Do d´; o √ 1 + 1 + 4a lim xn = · 2 V´ du 5. T` gi´.i han cua d˜y an du.o.c x´c dinh nhu. sau: a1 l` sˆ ı . ım o . ’ a . a . a o´ t`y y m` u ´ a 0 < a1 < 1, an+1 = an (2 − an ) ∀ n 1. (7.10) Giai. i) Dˆu tiˆn ch´.ng minh r˘ng an bi ch˘n, m` cu thˆ l` b˘ng ’ ` a e u ` a . a . ’ a . e a a ` ph´p quy nap to´n hoc ta ch´.ng minh r˘ng e . a . u ` a 0 < an < 1. (7.11) Ta c´ 0 < a1 < 1. Gia su. (7.11) d˜ du.o.c ch´.ng minh v´.i n v` ta o ’ ’ a . u o a s˜ ch´ e u .ng minh (7.11) d´ng v´.i n + 1 . u o T`u . (7.10) ta c´; an+1 = 1 − (1 − an )2. o T`. hˆ th´.c n`y suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v` 0 < an < 1. u e u a . ı T` o u . d´ suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n. ii) Bˆy gi`. ta ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y t˘ng. a o u ` a a a a Thˆt vˆy, v` an < 1 nˆn 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu a a . . ı e .o.c: du . an+1 = 2 − an > 1. an
  • 24. 22 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o T`. d´ an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆy d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n. u o a a . e a . a . a . o . y ` . a Do d´ theo dinh l´ Weierstrass, lim An tˆn tai v` ta k´ hiˆu n´ l` a. o y e o a . iii) T` u. (7.10) ta c´: o lim an+1 = lim an · lim(2 − an ) hay a = a(2 − a). T`. d´ a = 0 v` a = 1. V` x1 > 0 v` d˜y an t˘ng nˆn u o a ı a a a e a = 1 = lim an . n! V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = n hˆi tu v` t`m gi´.i han cua ı . u ` a a o . a ı . o . ’ n n´. o Giai. i) Ta ch´.ng minh r˘ng d˜y an do.n diˆu giam, thˆt vˆy: ’ u ` a a e . ’ a a . . (n + 1)! n! n! nn nn an+1 = = = n· = an (n + 1)n+1 (n + 1)n n (n + 1)n (n + 1)n v` ı nn < 1 nˆn an+1 < an . e (n + 1)n V` an > 0 nˆn n´ bi ch˘n du.´.i v` do d´ lim an tˆn tai, k´ hiˆu ı e o . a . o a o ` o . y e . lim an = a v` r˜ r`ng l` a = lim an 0. a o a a ii) Ta ch´ u.ng minh a = 0. Thˆt vˆy ta c´: a a o . . (n + 1)n n+1 n 1 n n n = = 1+ 1+ = 2. n n n n Do d´: o nn 1 1 n < v` an+1 < an . a (n + 1) 2 2 a Chuyˆn qua gi´.i han ta du.o.c a e’ o . . ⇒ a = 0. 2 ` ˆ BAI TAP .
  • 25. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 23 ´ 1. Cho c´c d˜y sˆ: a a o 5n2 2n 1) an = · 2) bn = (−1)n sin n. 3) cn = n cos πn. n2 + 3 n+1 a ’ H˜y chı ra d˜y n`o bi ch˘n v` d˜y n`o khˆng bi ch˘n. a a . a a a a . o . a . (DS. 1) v` 2) bi ch˘n; 3) khˆng bi ch˘n) a . . a o . . a 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: u ` a a a0 a1 a2 a1 = , a2 = , a3 = ,..., a + a0 a + a1 a + a2 an−1 an = , . . . (a > 1, a0 > 0) a + an−1 hˆi tu. o . . 3. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu u a a a o .. 2 n −1 1) an = n2 1 1 1 2) an = 2 + + + · · · + 2! 3! n! Chı dˆ n. T´ bi ch˘n du.o.c suy t`. n! ’ ˜a ınh . a . . u 2n−1 v` do d´ a o 1 1 1 1 an 2+ + 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3. 2 2 2 2 4. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu v` t`m gi´.i han a cua ch´ng u a a a o . a ı . o . ’ u √ √ √ 1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5) 2n 2) an = (n + 2)! an+1 2 ’ ˜ Chı dˆ n. a = < 1. (DS. a = 0) an n+3 E(nx) 3) an = a ` e ’ trong d´ E(nx) l` phˆn nguyˆn cua nx. o a n Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x) ’ ˜a ’ . e u . 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = a1/2 hˆi tu v` t` gi´.i han cua n´ n u ` a a o . a ım o . . ’ o (a > 1).
  • 26. 24 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o (DS. a = 1. Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y do.n diˆu giam ’ ˜a u ` a a a e . ’ v` ı n+1 n·2) √ an+1 = a1/2 = a1/(2 = an , an > 1) 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y u ` a a 1 1 1 an = 1 + + 2 + ··· + 2 22 3 n hˆi tu. o . . Chı dˆ n. Ch´.ng to r˘ng d˜y do.n diˆu t˘ng, t´nh bi ch˘n cua n´ ’ ˜a u ’ a` a e a . ı . a ’ . o .o.c x´c lˆp b˘ng c´ch su. dung c´c bˆt d˘ng th´.c: du . a a a ` a ’ . ´ a a a ’ u . 1 1 1 1 2 < = − , n 2. n n(n − 1) n−1 n 7. Ch´.ng minh r˘ng d˜y u ` a a 1 1 1 an = + 2 + ··· + n 3+1 3 +2 3 +n c´ gi´.i han h˜.u han. o o . u . ’ a Chı dˆ˜ n. T´ bi ch˘n cua an du.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch so s´nh an ınh . a ’ . . a a a . ` a a .i tˆng mˆt cˆp sˆ nhˆn n`o d´. o ’ v´ o . ´ ´ o a o a a o 1 n+1 8. Ch´.ng minh r˘ng d˜y u ` a a 1+ do.n diˆu giam v` e . ’ a n 1 n+1 lim 1 + = e. n→∞ n 9. T´ ´ ınh lim an , nˆu e n→∞ 1 n 1) an = 1 + , k ∈ N. (DS. e) n+k n n 1 2) an = . (DS. ) n+1 e 1 n √ 3) an = 1 + . (DS. e) 2n 2n + 1 2n 4) an = . (DS. e) 2n
  • 27. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ o . ’ a o ´ 25 7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u . o . ’ . ´ a o . e ` e e ` . a a ’ e a’ diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn o . . e l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) y o . . Trˆn dˆy ta d˜ nˆu hai phu.o.ng ph´p ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y. e a a e a u . o . ’ a . Hai phu .o.ng ph´p n`y khˆng ´p dung du.o.c dˆi v´.i c´c d˜y khˆng do.n a a o a ´ o o a a o . . diˆu du.o.c cho khˆng b˘ng phu.o.ng ph´p giai t´ m` du.o.c cho b˘ng e . . o ` a a ’ ıch a . ` a phu .o.ng ph´p kh´c (ch˘ng han b˘ng phu.o.ng ph´p truy hˆi). M˘t a a ’ a ` a a ` o a . . a ` kh´c, trong nhiˆu tru o e .`.ng ho.p ngu.`.i ta chı quan tˆm dˆn su. hˆi tu o ’ a ´ e . o . . . hay phˆn k` cu a a y a o a a e’ ’ a d˜y m` thˆi. Sau dˆy ta ph´t biˆu mˆt tiˆu chuˆn o e . a’ c´ t´nh chˆt “nˆi tai” cho ph´p kˆt luˆn su. hˆi tu cua d˜y chı du.a o ı ´ a o . . e e ´ a . o . ’ . . a ’ . a . ’ a o . ´ ’ a trˆn gi´ tri cua c´c sˆ hang cua d˜y: e Nguyˆn l´ hˆi tu. D˜y (an ) c´ gi´.i han h˜.u han khi v` chı khi n´ e y o .. a o o . u . a ’ o ’ a ` thoa m˜n diˆu kiˆn: e e . ∀ ε > 0, ∃ N0 = N0 (ε) ∈ N : ∀ n > N0 v` ∀ p ∈ N a ⇒ |an − an+p | < ε. T`. nguyˆn l´ hˆi tu r´t ra: D˜y (an ) khˆng c´ gi´.i han khi v` chı u e y o . u . a o o o . a ’ o ’ a ` khi n´ thoa m˜n diˆu kiˆn: e e . ∃ ε > 0, ∀ N ∈ N ∃ n N ∃m N → |an − am | ε. CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng d˜y ı . u ` a a cos 1 cos 2 cos n an = + 2 + ··· + n , n∈N 3 3 3 hˆi tu. o . .
  • 28. 26 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu ’ o . e . cos(n + 1) cos(n + p) |an+p − an | = n+1 + ··· + 3 3n+p 1 1 n+1 + · · · + n+p 3 3 1 1 1 − 3p 1 1 1 = n+1 < · n < n· 3 1 2 3 3 1− 3 1 Gia su. ε l` sˆ du.o.ng t`y y. V` lim n = 0 nˆn v´.i sˆ ε > 0 d´, ’ ’ a o ´ u ´ ı e o o ´ o n→∞ 3 1 ` . o ´ ´ tˆn tai sˆ N ∈ N sao cho ∀ n N ta c´ n < ε. Ngh˜ l` nˆu n N , o o ıa a e 3 c`n p l` sˆ tu. nhiˆn t`y y th` o ´ a o . e u ´ ı 1 |an+p − an | < < ε. 3n e ’ . Do d´ theo tiˆu chuˆn hˆi tu d˜y d˜ cho hˆi tu. o a o . a a o . . V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y ı . u ` a a 1 1 1 an = √ + √ + · · · + √ 1 2 n phˆn k`. a y Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu ’ o . e . 1 1 1 |an − an+p | = √ +√ + ··· + √ n+1 n+2 n+p p √ ∀ n, p ∈ N. n+p D˘c biˆt v´.i p = n ta c´ a . e o . o √ n 1 |an − a2n | √ √ ∀ n. (*) 2 2 1 Ta lˆy ε = √ . Khi d´ ∀ N ∈ N tˆn tai nh˜.ng gi´ tri n > N v` ´ a o ` . o u a . a 2 ∃ p ∈ N sao cho |an − an+p | ε. Thˆt vˆy, theo bˆt d˘ng th´.c (*) ta a a . . ´ ’ a a u
  • 29. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn o . a o . ´ e 27 chı cˆn lˆy sˆ n > N bˆt k` v` p = n. T`. d´ theo mˆnh dˆ phu dinh ’ ` a o a ´ ´ ´ a y a u o e . ` e ’ . nguyˆn l´ hˆi tu ta c´ d˜y d˜ cho phˆn k`. e y o . . o a a a y ` ˆ BAI TAP . Su. dung tiˆu chuˆn hˆi tu dˆ ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y (an ) ’ . e ’ . a o . e u ’ . o . ’ a . ´ nˆu e n sin nα 1. an = , α ∈ R. k=1 2n n 2. an = ak q k , |q| < 1, |ak | < M ∀ k, M > 0. k=1 n (−1)k−1 3. an = · k=1 k(k + 1) n (−1)k 4. an = · k=1 k! 5. an = 0, 77 . . . 7. nch˜. sˆ u o ´ n 1 6. an = · k=1 2k +k Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`: u ` a a a a a y 1 1 7. an = 1 + + · · · + , n ∈ N. 2 n 1 1 1 8. an = + + ··· + , n = 2, . . . ln2 ln3 lnn 7.2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn o . a o . ´ e 7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han a a e . a . y ’ ` o . e Dinh ngh˜ gi´.i han cua c´c h`m dˆi v´.i n˘m tru.`.ng ho.p: x → a, . ıa o . ’ a a ´ o o a o . x → a ± 0, x → ±∞ du ..o.c ph´t biˆu nhu. sau. a e’
  • 30. 28 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o . a e . ’ a ´ o 1) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (x) tai diˆm a (khi x → a) ´ o . . a o . ’ a . e ’ ´ nˆu ∀ ε > 0 b´ bao nhiˆu t`y y t` du . o e e e u ´ ım .o.c sˆ δ = δ(ε) > 0 (∃δ = δ(ε) > ´ 0) sao cho ∀ x m` a x ∈ Df ∩ {x; 0 < |x − a| < δ(ε)} th` ı |f (x) − A| < ε. K´ hiˆu: lim f (x) = A. y e . x→a 2) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han bˆn phai (bˆn tr´i) cua h`m f (x) tai o´ . . a o . e ’ e a ’ a . ’ ´ diˆm x = a nˆu ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho v´ e e o.i moi x thoa m˜n ’ a . ` u kiˆn e diˆ e. x ∈ Df ∩ {x : a < x < a + δ} (x ∈ Df ∩ {x : a − δ < x < a}) th` ı |f (x) − A| < ε. K´ hiˆu: y e . lim f (x) = f (a + 0) lim f (x) = f (a − 0) . x→a+0 x→a−0 Tu.o.ng tu.: . 3) lim f (x) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ ∆ > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : x > ∆} x→+∞ ⇒ |f (x) − A| < ε. Dinh ngh˜ gi´.i han khi x → −∞ du.o.c ph´t biˆu tu.o.ng tu.. . ıa o . . a e’ . ´ 4) Nˆu lim f (x) = lim f (x) = A th` ngu o e ı .`.i ta viˆt ´ e x→+∞ x→−∞ lim f (x) = A. x→∞
  • 31. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn o . a o . ´ e 29 Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt nˆu A = 0 th` h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ o . a . . ´ e e ı a . . a a o c`ng b´ khi x → a (x → a ± 0, x → ±∞). u e Kh´i niˆm h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a c˜ng du.o.c ph´t biˆu dˆi a e . a o u o . ’ e u . a ’ ´ e o v´.i ca n˘m tru.`.ng ho.p. o ’ a o . Ch˘ng han, h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a nˆu a’ . a . . a a o u o . e ’ ´ e ∀ M > 0 ∃ δ = δ(M) > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ} ⇒ |f (x)| > M. a ´ Ngo`i ra, nˆu f (x) > 0 (f (x) < 0) ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ} e ı ´ th` ta viˆt e lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ . x→a x→a Ta lu.u y r˘ng c´c k´ hiˆu v`.a nˆu chı ch´.ng to f (x) l` vˆ c`ng ´ a` a y e u e . ’ u ’ a o u l´.n ch´. ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ r˘ng f c´ gi´.i han. o u a a o o ıa `a o o . Khi t´ gi´ . ınh o .i han ta thu.`.ng su. dung c´c diˆu kh˘ng dinh sau dˆy. o ’ . a ` e a’ a . D.nh l´ 7.2.1. Nˆu c´c gi´.i han lim f1(x), lim f2(x) tˆn tai h˜.u han -i y ´ e a o . ` . u . o x→a x→a th`ı 1) lim[f1 (x) + f2 (x)] = lim f1 (x) + lim f2 (x) x→a x→a x→a 2) lim[f1 (x) · f2 (x)] = lim f1 (x) · lim f2(x) x→a x→a x→a f1 (x) lim f1 (x) x→a ´ 3) Nˆu lim f2 (x) = 0 th` lim e ı = x→a x→a f2 (x) lim f2 (x) x→a ´ 4) Nˆu trong lˆn cˆn U (a; δ) = {x : 0 < |x − a| < δ} ta c´ e a a . o f1(x) f (x) f2 (x) v` lim f1(x) = lim f2 (x) = A th` lim f (x) = A a ı x→a x→a x→a (nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´). e y . a . a .i han h`m sˆ c´ thˆ ph´t biˆu du.´.i dang ngˆn ng˜. Dinh ngh˜ gi´ . ıa o a ´ o o e a’ e’ o . o u . d˜y nhu a . sau. Dinh l´ 7.2.2. Gia su. D ⊂ R, a ∈ R l` diˆm tu cua n´; A ∈ R, -. y ’ ’ a e ’ . ’ o f : D → R. Khi d´ o lim f (x) = A x→a