El método del lugar de las raíces

Tema 2.5:
Análisis basado en el
método del
Lugar de las Raíces
1. Lugar de las Raíces
2. Trazado de la gráfica
3. Lugar de las raíces generalizado
4. Diseño de controladores

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.
1. El lugar de las raíces
Objetivo: análisis del efecto de un parámetro en los polos del sistema
en B.C para:
Analizar como varía el comportamiento del sistema (ej: estabilidad)
Diseñar controladores en base a un parámetro conforme a unas
especificaciones
Método del lugar de las raíces: (W. R. Evans, 1948)
Ceros de GBC -> Ceros de GBA
Polos de GBC -> Ceros de (1+GBA)
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+
Controlador
G(s)G(s)C(s)K
Sistema
-
+R E U Y

1. Lugar de las raíces
Caracterización
• Analíticamente: imposible para orden alto
• Gráficamente: Curva parametrizada en K
Criterio del argumento
Criterio de módulo

Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+
Controlador
G(s)G(s)C(s)K
Sistema
-
+R E U Y
Los polos del sistema realimentado son:
K=0
-2 -1
K=1 K>1
x
x
x
K<0
xx x x
Lugar de las Raíces
1. Lugar de las raíces
Caracterización

Trazado se realiza de forma aproximada y carácter cualitativo.
Se parte del problema canónico de la forma:
LR del sistema, son los lugares de los polos en BC, al variar la ganancia
desde 0 a ∞
Para K=0, las raíces son los polos de GBA(s) (D(s)=0)
Para K-> ∞, las raíces son los ceros de GBA(s) (N(s)=0)

El LR parte de los polos de GBA(s) -> existen tantas ramas como polos en BA
(n)
El LR (ramas) tienden:
m ramas tienden a los ceros GBA(s) (m )
n-m ramas tienden al infinito de forma asintótica
Paso 1: Ubicar polos y ceros de GBA(s)
x → polo
o → cero
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis

so ∈ LR si el Nº de
ceros y polos reales a
su derecha es impar
(K>0)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Paso 2: Determinar el LR sobre el eje real

Cálculo del ángulo de las asíntotas:
Se elige un punto de prueba s muy alejado del origen y se calcula el límite
de G(s) cuando s→∞.
Intersección con eje real (centroide):
Todas las asíntotas interceptan en el mismo punto al eje real.
m ramas tienden a los ceros
n-m ramas tienden asintóticamente al infinito
n ramas
Paso 3: Cálculo de asíntotas

Ejemplo
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis

Los puntos de ruptura son polos DOBLES que:
Anulan el denominador
Anulan la derivada del denominador
Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo

Reglas:
Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos polos
adyacentes, punto de ruptura de salida
Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos ceros
adyacentes, punto de ruptura de entrada (incluido el -∞)
Salida y entrada con 90º
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Punto de salida
Punto de entrada

Ejemplo
Raíces
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis

Ángulo salida de un polo
Ángulo entrada en un cero
o x
x
x
Paso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos
• Se toma un punto de prueba en la cercanía del polo o cero conjugado
y aplicar la condición del ángulo: ±180(2r+1)=suma de ceros –resta de polos

Ejemplo
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Paso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos

Método de Routh-Hurwitz
Factor par de orden 2
Paso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario

Ejemplo
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Factor par de orden 2
Ecuación subsidiaria
Paso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Resultado

1. Representar polos y ceros y determinar ramas
s=0, s=-1, s=-2
n-m=3 (3 ramas terminan en infinito -> 3 asíntotas)
2. Lugar de las raíces sobre eje real
3. Determinar asíntotas
Ángulos
Corte con eje real (centroide)
Ejemplo 2: LR y K/ δ=0.5 de un par de polos complejos conjugados en BC

4. Puntos de ruptura
Punto de ruptura de salida (2 polos adyacentes)
Cálculo analítico
5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos. No existen.
6. Puntos de corte con eje imaginario (1) Routh-Hurwitz, (2) s=jw

SISTEMA SUBAMORTIGUADO
Valor de K?Cond. de módulo
El tercer polo se encuentra
en s3=-2.3326
(resolver ec.característica)
K=1.0383
K=1.0383
K→∞
K→∞
K=6
s3
Corte:

2.1 Lugar de las raíces para K<0
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+
Controlador
G(s)G(s)C(s)K
Sistema
-
+R E U Y
K<0
En algunos casos sin embargo nos interesa K<0
• Acción inversa:
Si ↑u ↓y, entonces ↑e ↓ u
(Ganancia del controlador negativa)

Criterio del argumento (no cambia)
Criterio de módulo

1- Ubicar polos y ceros
2- Lugar sobre el eje real
3- Asíntotas y centroide
4.- Puntos de ruptura
5- Ángulos de salida y llegada a polos (ceros) complejos
6.- Puntos de corte con eje imaginario
s0 ∈ LR si deja a la derecha un número par de
polos y ceros reales.

-1
-1.5+j
-1.5-j
Ejemplo
c1=-1, p1=-1.5+j, p2=-1.5-j
n-m=1 (1 rama termina en infinito -> 1 asíntota)
s Є [-1,∞)
3. Determinar asíntota
Ángulos

5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos.
116.6º
90º
-1.5+j
-1.5-j
1
-1
-1.5+j
-1.5-j
0.12
26.6º
Ejemplo

6. Corte con eje imaginario (Routh-Hurwitz)
Ecuación subsidiaria K=-3
Ecuación subsidiaria K=-3.25
-1
-1.5+j
-1.5-j
0.12
0.5j
26.6º
Ejemplo

Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+
Controlador
G(s)G(s)C(s)K
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Controlador
G(s)C(s)
Sistema
-
+
Controlador
G(s)G(s)C(s)C(s)
Sistema
-
+R E U Y
Ejemplo: C(s) = PD, PI, PID...
Lugar de las raíces
Lugar de las raíces generalizado : Parámetros diferentes de K

El sistema realimentado depende de un parámetro α de forma que
La misma estructura que hemos estudiado:
Problema canónico con
Podemos usar las mismas herramientas

+R E U Y
-
Estudiar la influencia del parámetro T en los polos del sistema en BC
1) Calculamos la ecuación característica
2) Determinar
T>0
Ejemplo

Ejemplo
c1=0, p1=-0.5+0.866j, p2=-0.5-0.866j, p3=-1
n-m=2 (2 ramas terminan en infinito -> 2 asíntotas)
s Є [-1,0]
3. Determinar asíntotas
Ángulos
-1270º
90º
-0.5+0.866j
-0.5-0.866j

Ejemplo
5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos.
120º
90º
-0.5+0.866j
-0.5-0.866j
0-1
60º
-1
-0.5+0.866j
-0.5-0.866j
0
150º

Cambio de signo
(corte con eje imagianario)
T = -3/2
El lugar de las raíces de T>0 no
corta el eje imaginario.
6. Corte con eje imaginario (Routh-Hurwitz)
-1
-0.5+0.866j
-0.5-0.866j
0
150º
Matlab: rlocus(sys)
Ejemplo

Ejemplos propuestos sobre el LR
Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3 +R
-

4. Diseño de controladores basado en el LR
4.1 Controlador P
G(s)C(s)
-
+R E U Y
G(s)C(s)
-
+
G(s)G(s)C(s)Kp
-
+R E U Y
Controlador Sistema
Diseñar un controlador P que garantice SO≤20% y sea lo más rápido posible
Sistema de 2 orden -> Usamos ecuaciones respuesta temporal

4.1 Controlador P
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
ImagAxis
Root Locus Editor (C)
xx
62.87º
A
1. Cálculo de punto A
2. Cálculo de Kp
2.1 Condición de módulo)
2. Sustituyendo en ec. Carácter.

4.1 Controlador P
G(s)C(s)
-
+R E U Y
G(s)C(s)
-
+
G(s)G(s)C(s)Kp
-
+R E U Y
Controlador Sistema
Para Kp=1.38, calcular SO y ts
Calculamos raíces de GBC -> S1,2=-1.5±2.57j
Hallamos ángulo
Aplicamos fórmulas

4.2 Consideraciones preliminares de diseño
Como se ha visto anteriormente, solamente con el ajuste de la ganancia
(Kp), a veces no se puede satisfacer especificaciones, es decir, no podemos
modificar la localización de los polos/ceros.
Por ello, recurriremos a un compensador más sofisticado
Si conocemos los efectos de la adición de polos y/o ceros en el LR, se puede
determinar fácilmente las ubicaciones de los polos/ceros del compensador
para modificar la respuesta en la forma deseada.
Tipos de compensadores
Red PD
Red PI
Red de adelanto o avance
Red de atraso o retardo
Red mixta (atraso-adelanto)

4.2 Consideraciones preliminares de diseño
Efecto de añadir un polo a la función de transferencia en BA
Mueve el LR hacia la derecha
Tiende a:
Disminuir la estabilidad relativa
Aumentar el tiempo de establecimiento
Recordemos que un control integral mejora el permanente, pero empeora el
transitorio, pudiéndolo llegar a la inestabilidad
Efecto de añadir un cero a la función de transferencia en BA
Mueve el LR hacia la izquierda
Tiende a:
Aumentar la estabilidad relativa
Disminuir el tiempo de establecimiento
Recordemos que un control derivativo mejora el transitorio.

Diseñar un controlador tal que cumpla unas especificaciones o que los polos
dominantes, sean unos dados:
Se traduce en un valor de δ y wn
Ejemplo:
El sistema en BC debe tener los polos dominantes en:
4.2 Red PD. Ejemplo
Re
x
-5
x x
x
-0.05
A
Im

Dibujamos ramas con punto de ruptura y corte con eje imaginario
El sistema sin compensar no pasa por el punto deseado
El controlador P no es suficiente
4.2 Red PD. Ejemplo
Re
x
-5
x x
x
-0.05
A
Im
Se añade un cero para que A pertenezca al LR
Cero: Condición de argumento
Ganancia: Condición de módulo

4.2 Red PD. Ejemplo
Re
x
-5
x x
x
-0.05
A
Im
Condición de Ángulo
o
-c

4.2 Red PD. Ejemplo
El LR del sistema compensado
Ganancia
Condición de módulo
Controlador PD

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