Dokumen tersebut membahas beberapa metode numerik untuk mencari akar persamaan, yaitu metode bisection, regula falsi, iterasi satu titik sederhana, Newton Rhapson, dan Secant. Metode-metode tersebut menggunakan prinsip iterasi untuk mempersempit rentang pencarian akar secara berulang hingga mencapai nilai yang diinginkan.
2. Mencari akar persamaan
Metode akolade (tertutup)
Bisection Method (metoda
bagi dua)
Posisi Salah atau palsu
Metode terbuka
Iterasi satu titik sederhana
Newton Rhapson
Secant
3. Metode Bisection
xr = (xl + xu)/2
f(x)
f(xl)*f(xr) < 0 ; xu = xrr
> l = x
f(xu)
f(xru))
xl xrl = xr
xr xru = xr xu
f(xlr)
sc = |(xr baru – xr lama)/ xr baru) * 100%
jika sc < εr maka x dicari adalah xr
f(xl) jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya
4. Bisection method
Algoritma:
Tentukan dua buah tebakan awal xl dan xu
Cari nilai tengah antara xl dan xu, dengan rumusan xr = (xl + xu)/2
Hitung f(xl) dan f(xr)
Jika f(xl) * f(xr) > 0 maka xl baru = xr
Jika f(xl) * f(xr) < 0 maka xu baru = xr
Ulangi langkah 2 s.d. 5
Bandingkan harga xr yang lama dengan yang baru
Jika harga perbandingan (harga kesalahan relatif) sudah lebih
kecil dari yang dinginkan maka harga x (akar persamaan dicari)
adalah harga xr terakhir
Jika belum memenuhi syarat maka ulangi langkah 1 s.d. 6
sampai syarat no. 7 terpenuhi
5. Posisi salah atau palsu (Regula
Falsi)
xr = (xu f(xl) - xl f(xu)) / (f(xl)-f(xu))
f(xl)*f(xr) > 0 ; xl = xr f(xu)
f(x)
xl xrl = xr xr
xu
f(xlr) sc = |(xr baru – xr lama)/ xr baru) * 100%
jika sc < εr maka x dicari adalah xr
f(xl) jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya
6. Posisi salah atau palsu
Cari nilai xr dengan rumus
xr = (xuf(xl)-xlf(xu))/(f(xl)-f(xu))
Selanjutnya gunakan algoritma bisection
7. Iterasi satu titik sederhana
f(x)=0;
x=g(x)
f(x)
x1 x3 x2 x0
f(x)
sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%
jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1
jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya
8. Iterasi satu titik sederhana
1. Buat fungsi sehingga menjadi f(x)=0
2. Gunakan aljabar sehingga fungsi menjadi
x = g(x)
4. Ubah fungsi di atas menjadi
xi+1 = g(xi)
Lakukan iterasi pertama dengan harga xi = harga tebakan awal
Lakukan iterasi kedua dengan menggunakan harga x yang diperoleh dari
iterasi pertama
Bandingkan hasil yang diperoleh dari iterasi kedua dgn iterasi pertama
Jika hasilnya masih di atas dari kesalahan relatif yang dikehendaki ulangi
langkah ke 4 s.d. ke 6
Jika hasilnya di bawah kesalahan relatif yg dikehendaki akhiri perhitungan
Hasil akhir adalah nilai x terakhir yang diperoleh
9. Newton Rhapson
xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi)
f(x0)
f(x)
f(x2)
x1
x2 x0
sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%
f(x1)
jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1
jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya
10. Newton Rhapson
Cari turunan dari f(x)
Buat tebakan awal xi
Cari nilai dari f(xi) dan f’(xi)
Cari nilai xi+1 dengan rumus sbb:
xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi)
6. Ulangi langkah 3 dengan harga x yang didapat pada iterasi
pertama
7. Bandingkan nilai x terakhir dengan x sebelumnya
8. Jika kesalahan relatif lebih besar dari yang dikehendaki, ulangi
langkah 3 s.d. 6
9. Jika kesalahan relatif sudah lebih kecil dari yang dikehendaki
berhenti menghitung
10. Nilai x yang dicari adalah nilai x yang terakhir
11. Secant
xi+1=xi – (f(xi)(xi – xi-1))/(f(xi) – f(xi-1))
f(x -1)
f(x)
f(x0)
x1 x0
x2 x -1
f(x1)
sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%
jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1
jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya
12. Secant
Tentukan nilai xi dan xi-1
cari nilai f(xi) dan f(xi-1)
Cari nilai xi+1 dengan rumus sbb:
xi+1=xi – (f(xi)(xi – xi-1))/(f(xi) – f(xi-1))
5. Lakukan langkah langkah seperti metode
newton rhapson (5 s.d. 9)