Curso de Matemáticas Discretas impartido en el Tec de Monterrey Campus Ciudad de México, Escuela de Ingeniería y Ciencias.

1. Matemáticas Discretas
Lógica y Cálculo Proposicional
M. en C. Juliho Castillo
29 de enero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México
1

2. 1 Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones Compuestas
Proposiciones compuestas
Operaciones Lógicas Básicas
Conjunción p ∧ q
Disjunción p ∨ q
Negación ¬p
Proposiciones y Tablas de Verdad
Tautologías y Contradicciones
Equivalencias Lógicas
Sentencias condicionales y bicondicionales
Argumentos
Funciones proposicionales y Cuantificadores 2

3. Lógica y Cálculo Proposicional
3

4. Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicas
tales como si p entonces q. Entonces es necesario conocer
los casos en los cuales esas expresiones son ciertas o
falsas. Discutiremos esto en esta unidad.
4

5. También investigamos el valor de verdad de enunciados
cuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadores
lógicos para todo... y existe...
5

6. Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones
Compuestas
6

7. Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser
cierto o falso, pero no ambos.
7

8. Ejemplo 1.1.
¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
1 El hielo flota en el agua.
2 China está en Europa.
3 2 + 2 = 4
4 2 + 2 = 5
5 ¿A donde vas?
6 Haz tu tarea.
8

9. Proposiciones compuestas
9

10. Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más
simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores
lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10

11. Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más
simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores
lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10

12. Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas
“Las rosas son rojas y las violetas son azules”
“Juan es inteligente y estudía hasta muy noche”
11

13. La propiedad fundamental de una proposición compuesta es
que su valor de verdad está completamente deteminado por los
valores de verdad de sus subproposiciones y la manera en la
cual están conectadas para formar la proposición compuesta.
12

14. Lógica y Cálculo Proposicional
Operaciones Lógicas Básicas
13

15. En esta sección discutiremos las tres operaciones lógical
básicas: conjunción , disjunción y la negación.
14

16. Conjunción p ∧ q
15

17. Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por
la palabra “y” para formar una proposición compuesta llamada
conjunción que se escribe p ∧ q.
16

18. Definición 1.1.
Si tanto p como q son ciertas, entonces p ∧ q es cierta; en otro
caso p ∧ q es falsa.
17

19. Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0
representará falso
18

20. Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0
representará falso
18

21. Tabla de Verdad 1 (Conjunción).
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
19

22. En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programación Python e incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20

23. En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programación Python e incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20

24. Construimos la tabla de verdad de la conjunción en el
siguiente scritp https://goo.gl/hEF5os
21

25. Ejemplo 1.2.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
1 El hielo flota y 2 + 2 = 4
2 El hielo flota y 2 + 2 = 5
3 China está en Europa y 2 + 2 = 4
4 China está en Europa y 2 + 2 = 5
22

26. Disjunción p ∨ q
23

27. Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por
la palabra “o” para formar una proposición compuesta llamada
disjunción que se escribe p ∨ q.
24

28. Definición 1.2.
Si tanto p como q son falsas, entonces p ∨ q es falsa; en otro
caso p ∨ q es verdadera.
25

29. Tabla de Verdad 2 (Disjunción).
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
26

30. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritp https://goo.gl/5kXzNI
27

31. Observación 1.2.
Algunas veces ``p o q'' se entiende en el sentido exclusivo:
Puede ocurrir p o q, pero no ambos, que es diferente a la
definición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado de
hecho o exclusivo, que cumple esta definición y
consideraremos más adelante.
28

32. Negación ¬p
29

33. Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada
negación de p puede ser formada escribien “No es cierto
que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,
decimos no p y escribimos ¬p.
30

34. Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada
negación de p puede ser formada escribien “No es cierto
que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,
decimos no p y escribimos ¬p.
30

35. Definición 1.3 (Negación).
Si p es cierta, entonces ¬p es falsa; pero si p es falsa, ¬p es
cierta.
31

36. Tabla de Verdad 3 (Negación).
p ¬p
1 0
0 1
32

37. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritp https://goo.gl/sgCfkC
33

38. Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Tablas de Verdad
34

39. Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas
p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso
``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35

40. Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas
p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso
``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35

41. La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de una tabla de verdad.
36

42. La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de una tabla de verdad.
36

43. Ejemplo 1.3.
Contruir la tabla de verdad de la proposición
¬ (p ∧ ¬q) .
37

44. Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior con
el siguiente script https://goo.gl/V2Axzi
38

45. Tabla de Verdad 4 (¬ (p ∧ ¬q)).
p q not q p and not q not( p and not q)
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
39

46. Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez
tiene prioridad sobre ∨.
40

47. Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez
tiene prioridad sobre ∨.
40

48. Por ejemplo,
¬p ∧ q
significa
(¬p) ∧ q
y no
¬(p ∧ q).
41

49. Por ejemplo,
¬p ∧ q
significa
(¬p) ∧ q
y no
¬(p ∧ q).
41

50. Método alternativo de construir una tabla de verdad
p q ¬ (p ∧ ¬ q)
1 1
1 0
0 1
0 0
42

51. Evaluación Continua 1.
Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
1 p ∨ ¬p
2 p ∧ ¬p
3 ¬ (p ∨ q)
4 ¬p ∧ ¬q
5 ¬ (p ∧ q)
6 ¬p ∨ ¬q
43

52. Lógica y Cálculo Proposicional
Tautologías y Contradicciones
44

53. Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45

54. Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45

55. De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46

56. De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46

57. Ejemplo 1.4.
Construya las tablas de verdad de p ∧ ¬p y p ∨ ¬p.
47

58. Lógica y Cálculo Proposicional
Equivalencias Lógicas
48

59. Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son
lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49

60. Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son
lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49

61. Ejemplo 1.5.
Demostremos que
¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
50

62. Ejemplo 1.6.
Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y las
violetas son azules”, usando la equivalencia anterior.
51

63. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52

64. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52

65. Figura 1.1: Leyes para el álgebra de proposiciones
53

66. Lógica y Cálculo Proposicional
Sentencias condicionales y
bicondicionales
54

67. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas
condicionales y son denotadas por
p → q.
55

68. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas
condicionales y son denotadas por
p → q.
55

69. El condicional p → q es frecuentemente leído como “p implica
q” o “p sólo si q”.
56

70. Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales
sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57

71. Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales
sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57

72. Tabla de Verdad 5 (Condicional).
p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
58

73. Tabla de Verdad 6 (Bicondicional).
p q p ←→ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
59

74. Ejemplo 1.7.
Demuestre que
p → q ≡ ¬p ∨ q.
60

75. Evaluación Continua 2.
Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías,
construyendo las correspondientes tablas de verdad.
1 ¬ (p ∨ ¬q) → ¬p
2 p → (q → r)
3 (p → q) → r
4 (p → q) → (q → p)
5 (p ∧ (p → q)) → q
6 (p ∧ q) → p
7 q → (¬p ∨ ¬q)
8 ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
61

76. Lógica y Cálculo Proposicional
Argumentos
62

77. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63

78. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63

79. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63

80. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64

81. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64

82. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64

83. Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65

84. Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65

85. Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65

86. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66

87. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66

88. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66

89. 67

90. Ejemplo 1.10.
Si sube el dólar, sube la gasolina.
Si sube la gasolina, entonces hay inflación.
∴ Si sube el dólar, entonces hay inflación.
68

91. Lógica y Cálculo Proposicional
Funciones proposicionales y
Cuantificadores
69

92. Una función proposicional (o sentencia abierta o condición)
definida en un conjunto A es una expresión p(x) que tiene la
propiedad de que p(a) es cierta o falsa para cada a ∈ A.
70

93. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71

94. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71

95. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71

96. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72

97. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72

98. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72

99. Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador universal
73

100. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74

101. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74

102. Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cada x ∈ A), la afirmación
∀x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple para todo x ∈ A.
75

103. Por otro lado, si existe algún x ∈ A tal que p(x) es falso,
entonces
∀x ∈ A : p(x)
es falso.
76

104. Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77

105. Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77

106. Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador existencial
78

107. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es
verdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79

108. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es
verdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79

109. Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cada x ∈ A), la afirmación
∃x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple algún x ∈ A.
80

110. Por otro lado, si para todo x ∈ A, p(x) es falso, entonces
∃x ∈ A : p(x)
es falso.
81

111. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;
2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82

112. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;
2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82

113. Lógica y Cálculo Proposicional
Negación de Sentencias Cuantificadas
83

114. Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84

115. Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84

116. De manera simbólica, si M de ntoa el conjunto de estudiantes
de ingeniería, la negación anterior se puede escribir como
¬ (∀x ∈ M : x sabe programar)
≡ ∃x ∈ M : x no sabe programar.
85

117. Si en el ejercicio anterior definimos
p(x) : x sabe programar,
entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como
¬ (∀x ∈ M : p(x))
≡ ∃x ∈ M : ¬p(x).
86

118. De manera similar
No hay estudiante de ingeniería que sepa programar
se puede reescribir como
Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar.
87

119. De manera simbólica, podemos reescribir
¬ (∃x ∈ M : p(x))
≡ ∀x ∈ M : ¬p(x).
88

120. Teorema 1.1 (DeMorgan).
¬ (∀x ∈ M : p(x)) ≡ ∃x ∈ M : ¬p(x) (1.3)
¬ (∃x ∈ M : p(x)) ≡ ∀x ∈ M : ¬p(x). (1.4)
89

121. Ejemplo 1.13.
La negación de la siguiente afirmación
Para todo entero positivo n, tenemos que n + 2 > 8
es
Existe un entero positivo n tal que n + 2 ≤ 8.
90

122. Ejemplo 1.14.
La negación de la siguiente afirmación
Existe una persona viva con 150 años o más.
es
Toda persona viva tiene menos de 150 años.
91

123. Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)
sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92

124. Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)
sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92

125. Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93

126. Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93

127. Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93

128. Lógica y Cálculo Proposicional
Ejercicios Resueltos
94

129. Proposiones y Tablas de Verdad
95

130. Ejercicio Resuelto 1.
Sea p : ``Hace frío'' y q : ``Está lloviendo''.
Proponga un enunciado verbal simple que describa cada una
de las siguientes proposiciones:
1 ¬p;
2 p ∧ q;
3 p ∨ q;
4 q ∨ ¬p.
96

131. Ejercicio Resuelto 2.
Encuentre la tabla de verdad de ¬p ∧ q.
97

132. Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre que la propisición
p ∨ ¬ (p ∧ q)
es una tautología.
98

133. Ejercicio Resuelto 4.
Muestre que las proposiciones ¬ (p ∧ q) y ¬p ∨ ¬q son
lógicamente equivalentes.
99

134. Ejercicio Resuelto 5.
Use las leyes en la tabla 1.1 para mostrar que
¬ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p
100

135. Sentencias condicionales
101

136. Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.
2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102

137. Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.
2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102

138. Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p → q. La proposiones
q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p → q?
103

139. Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p → q. La proposiones
q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p → q?
103

140. Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104

141. Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104

142. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.
2 El nada si y solo si el agua está tibia.
3 Si neva, entonce no manejaré.
105

143. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.
2 El nada si y solo si el agua está tibia.
3 Si neva, entonce no manejaré.
105

144. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.
2 El nada si y solo si el agua está tibia.
3 Si neva, entonce no manejaré.
105

145. Argumentos
106

146. Ejercicio Resuelto 10.
Muestre que el siguiente argumento es una falacia:
p → q, ¬p ¬q.
107

147. Ejercicio Resuelto 11.
Muestre que el siguiente argumento es válido:
p → q, ¬q ¬p.
108

148. Ejercicio Resuelto 12.
Muestre que el siguiente argumentos siempre es válido:
p → ¬q, r → q, r ¬p.
109

149. Ejercicio Resuelto 13.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si 7 es menor que 4, entonces 7 no es número primo
7 no es menor que 4
7 no es número primo.
110

150. Ejercicio Resuelto 14.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos án
Dos lados de un triángulo no son iguales
Los respectivos ángulos opuestos no son iguales.
111

151. Cuantificadores y Funciones Proposicionales
112

152. Ejercicio Resuelto 15.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;
2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;
3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;
4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113

153. Ejercicio Resuelto 15.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;
2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;
3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;
4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113

154. Ejercicio Resuelto 15.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;
2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;
3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;
4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113

155. Ejercicio Resuelto 15.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;
2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;
3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;
4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113

156. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”
(de referencia):
1 ∃x∀y : x2
< y + 1;
2 ∀x∃y : x2
+ y2
< 12;
3 ∀x∀y : x2
+ y3
< 12.
114

157. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”
(de referencia):
1 ∃x∀y : x2
< y + 1;
2 ∀x∃y : x2
+ y2
< 12;
3 ∀x∀y : x2
+ y3
< 12.
114

158. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”
(de referencia):
1 ∃x∀y : x2
< y + 1;
2 ∀x∃y : x2
+ y2
< 12;
3 ∀x∀y : x2
+ y3
< 12.
114

159. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);
2 ∀x∀y : p(x, y);
3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115

160. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);
2 ∀x∀y : p(x, y);
3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115

161. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);
2 ∀x∀y : p(x, y);
3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115

162. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1 N
2 Z−
= {−1, −2, −3, ...}
3 C
116

163. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1 N
2 Z−
= {−1, −2, −3, ...}
3 C
116

164. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1 N
2 Z−
= {−1, −2, −3, ...}
3 C
116

165. Bibliografía
Las notas de esta sección están basadas en el capítulo 4
``Logic and Propositional Calculus'' del libro
Lipschutz, S. and Lipson, M.; Schaum's Outline of
Discrete Mathematics; McGraw-Hill, 3th Edition.
117