1. Texturering & Modeling
a Procedual Approach
김정근

2. Chapter 14
A brief introduction to fractals

3. Agenda
Introduce
What is a fractal?
What are fractals good for?
Fractals and Proceduralism
Procedural fbm
Multifractal Functions
Fractals and Ontogenetic Modeling
Conclusion
3

4. Introduce

5. 비주얼 복합성 복
우리의 세계는 시각적으로 복잡함
컴퓨터그래픽의 리얼리즘을 성취
통합 이미지의 복합성을 생성하는 일
프랙탈 기하학
비주얼 복합성의 설득력 있는 언어
효율적으로 복합성을 캡슐화한 간단한 방정식으로 카오스 복잡성를 매핑할수 있음
프랙탈을 캡슐화 하는 방법
정교한 디지털컴퓨터의 기능에 적합(수학 같지 않게)
컴퓨터 그래픽 그 부분에 대해
인간의 인지의 형태인 “이미지”로
프랙탈 수학의 추상적인 관념을 옮길 수 있다.
5

6. 컴퓨터그래픽과의 관계
컴퓨터
프랙탈
그래픽
6

7. 이 챕터에서는
프랙탈 기하학에 대한 간략한 개요
아티스트를 위한 프랙탈
프랙탈 구조 및 구현 코드 세그먼트의 소개
첫 장에서 너무 많은 기대는 하지말라
+ 프랙탈의 유래..등등..
7

8. What is a fractal?

9. Fractal의 유래
1872년 : 바이어슈트라스 함수
이 함수는 모든 점에서 연속이나, 모든 점에서 미분 불능이다. – 이후 프랙탈로 밝혀짐
1883년 : 칸토어 집합
칸토어 집합(Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로,
[0, 1]부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만듬
9

10. Fractal의 유래
1904년 : 코흐 곡선, 헬게 폰 코흐
수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 도형중의 하나
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11. Fractal의 유래
1915년 : 시에르핀스키 삼각형
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12. Fractal의 유래
1916년 : 시에르핀스키 카펫
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13. Fractal의 유래
1938년 : C 곡선, 레비
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14. Fractal의 유래
19세기 말부터 20세기 초
앙리 푸앵카레, 펠릭스 클라인, 피에르 파투, 가스통 쥘리아 등에 의해 발전되어 왔으나
컴퓨터그래픽의 도움없이 그들이 발견한 대상이 가진 아름다움을 보여주는데는 한계가 있었음
1967년 만델브로트
영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가
라는 논문을 통해 프랙탈 이론을 설명
14

15. Fractal의 유래
1975년 만델브로트
프랙탈이라는 용어를 고안
15

16. Fractal이란 무엇인가?
“자기 유사성을 갖는 기하학적 구조
(일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태)”
“기하학적으로 복잡한 개체,
스케일의 범위에 주어진 틀의 반복을 통해 발생하는 복잡성”
16

17. Fractal이란 무엇인가?
“프랙탈 기하학은 수학적이지만
그것은 특히 유저에 친화적인 수학의 형식”
“체험적으로 접근할 수 있으며
공식의 이해가 아닌 유저 인터페이스로
컨트롤 할 수도 있음”
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18. 대표적으로 Dilation Symmetry
스케일의 변화아래 변형되지 않을 때
정확한 디테일이 아닌 총체적인 외관
18

19. 자연현상에서의 Fractal
19

20. 자연현상에서의 Fractal
이 모든 것이 프랙탈
20

21. 복잡성의 두 종류
Fractal
Non-Fractal
21

22. Non-Fractal 복잡성의 두종류
“시간이 지남에 따라 뚜렷하게 관련 없는 이벤트를
통해 다양한 기능의 축적을 특징으로 하는것”
스친 자국, 구멍,
그리고 한쌍의 오래된 신발위의 얼룩
22

23. Fractal 복잡성의 두종류
“프랙탈 복잡성은 반면에 매우 간단하게 될수 있다
단지 서로 다른 스케일에서
여러 번 반복하는 일을 반복함”
23

24. Fractal 차원
fractal increment
“프랙탈 차원은 2.3과 같은 실수 값을 허용한다”
시각적으로 정수값 사이의 프랙탈 차원의 값은
프랙탈의 비주얼 복잡성을 위한 연속적인 슬라이더를 규정
프랙탈 차원이 2.0일때(적어도 Locally) 이것은 평면
2.0에서 3.0으로 증가할수록
이것이 3차원공간의 볼륨으로 가득 찰때까지 (적어도 Locally)
평면은 점점 더 거칠어 지고 시각적으로 복잡해진다.
24

25. Fractal 차원
프랙탈은 공간을 불완전하게 사용하므로,
프랙탈 공간은 정수의 차원이 아닌
소수 차원의 공간으로 간주
힐버트는 3차원 유클리드 공간을 이라 보고,
이를 확장하여 n차원의 공간 을 설정하며,
여기서 n을 자연수에서 실수로 확장한 것으로 볼 수 있다
25

26. Fractal 차원
기존의 유클리트 기하학이 설명하지 못한
도형의 복잡도를 수치화할 수 있다.
분수부분이 커질 수록 도형의 복잡성이 늘어나며,
복잡한 도형이 된다.
또한 프랙탈 차원 개념을 통해,
1차원과 2차원 사이, 2차원과 3차원의 사이 등의
기존의 차원 사이를 매우고 있는 소수 차원이 설명 가능
26

27. Locally?
“예를 들면
비치볼은 3차원 오브젝트지만
그 표면은 3차원이 아님
무한하게 가까운 곳을
확대하면 로컬 평면에 가깝다”
27

28. Fractal 차원
“프랙탈 차원은 고유한 속성이다
수학적 정의 무한대를 포함하며
인간의 정신은 단순하게
완전히 그것을 이해할 수 없다.”
28

29. Fractal 차원의 이해
29

30. Fractal 차원의 이해
“중간 차원에 이르게 하는
뒤얽힌 복잡한 소스는
서로 다른 스케일의 간단한
몇가지 기본 형태의 반복이다.”
30

31. Fractal 차원의 이해
frequency (spatial frequency)
덩어리의 측면 크기
amplitude
덩어리의 높이
Lacunarity
더 큰 덩어리로 작은 덩어리에 추가하는 횟수
차이, 일반적으로 프랙탈의 옥타브 수를 말함
항상 2.0으로 세팅(다른 사례도있지만)
31

32. Fractal 차원의 이해
Frequency/Amplitude/Lacunarity
잘 정의된 관계가
frequency (spatial frequency)
덩어리의 측면 크기 프랙탈 차원을 결정
amplitude 프랙탈의 특정 종류를
덩어리의 높이 fractional Brownian 운동,
또는 줄여서 fBm이라 부른다
Lacunarity
더 큰 덩어리로 작은 덩어리에 추가하는 횟수
fBm은 파워 스팩트럼에 의한 Frequency가
차이, 일반적으로 프랙탈의 옥타브 수를 말함
항상Amplitude와 정확하게 어떻게 되는지의 특징
2.0으로 세팅(다른 사례도있지만)
32

33. Fractal에 대한 오해 1
“모든 프랙탈은 fBm의 변종이다”
33

34. Fractal에 대한 오해 1
프랙탈은 단순히 치즈조각을
확대하고 더하는 것 이상의
“모든 프랙탈은 fBm의 변종이다”
훨씬 더 큰 범주(Class)를 포함
34

35. Fractal에 대한 오해 2
“오브젝트가 프랙탈이 되기 위해서는
무한한 디테일이 있어야 한다”
35

36. Fractal에 대한 오해 2
작은 범위라도 몇 개든지 자기 유사성을 표시하는한
프랙탈이라 할수 있다
“오브젝트가 프랙탈이 되기 위해서는
자연의 모든 프랙탈은 제한된 스케일 범위에서
무한한 디테일이 있어야 한다”
프랙탈은 동작한다
36

37. Fractal에 대한 오해 2
예를 들면
은하의 분포와 은하집단의 분포는 확실히 프랙탈이지만
우주에서 관찰할 수 있는 것은 유한하고
가장 큰 규모를 가진다
“오브젝트가 프랙탈이 되기 위해서는
또 다른 예
무한한 디테일이보면 지구는한다”
우주에서 거리를 두고 지구를
있어야 유리구슬보다
매끄러워 보이지만 지구보다 더 작은 크기의 많은 산들을
가지고 있으며 이 산들도 매우 프랙탈이다.
37

38. Band-Limited
“자기 유사성이 상위나 하위로
크로스 오버 스케일할때
자기 유사표현을 멈출때의 크기를 참고”
“자연에서 프랙탈들은
우리가 소위 말하는 제한된 대역폭을
가지기 때문에 제한된
범위내에서만 이들은 프랙탈”
38

39. Band-Limited
“히말라야 산맥과 JFK 활주로가
프랙탈 차원에서는 거의 같고
(예를 들면 거칠음 같은 것들)
크로스오버 스케일에서만 다르다”
- Mandelbrot
39

40. 모든 프랙탈들도
Band-Limited가 되어야 하는 이유 1
“공간의 Frequency는
Screen Width 를 해상도로 나눈
Pixel frequency의 절반보다 높아서
Nyquist 샘플링 조건을 충족시키지 못하게
될수 있어서 알리아싱을 발생시킬 수도 있다”
40

41. 모든 프랙탈들도
Band-Limited가 되어야 하는 이유 2
“우리는 일반적으로
이 연산이 끝나기를 원한다.
대역제한이 없는 프랙탈을 만들려면
loop 를 무한하게 돌려야한다”
41

42. What are fractals good for?

43. 프랙탈의 유용성
복잡성은 통합 이미지의 리얼리즘에 필수요소
“자연에서 모든 복잡성이 전부 다 다양한 스케일 이상의
형태의 반복으로 구성되지는 않지만 많은 부분이 그러하다”
현재까지는
프랙탈이 최고의 도구
43

44. 프랙탈의 유용성
“프랙탈로 개, 사람을 모델링 할 수는 없지만
(스케일의 범위를 넘어가면 자기 유사성이 아니게 됨)
사람이 잘 잊는 것을 모델링 할수 있다
예를 들어 산, 구름, 물, 행성
많은 자연현상이 프랙탈이다”
44

45. 프랙탈의 유용성
“정확하게 같지는 않지만
산의 작은 부분은 큰부분만큼 산처럼 보인다”
통계적 자기유사성
사이의 차이
45

46. 또다른 예 : Turbulence
Turbulence 의 필수적인 프랙탈 특성은
우리가 구름, 스팀, 행성의 글로벌 대기 순환 시스템,
심지어 침전물의 바위에 부드러운 퇴적물의 변형을
나타내는 프랙탈 모델을 사용할 수 있다.
46

47. Fractals and Proceduralism

48. Proceduralism과의 관계
매우 밀접하다 : 공생
fBm을 빌드하는 방법에 대해 설명하면 구조의 절차를 반복했을 것
프랙탈의 단순함
간단한 편이 장치 때문에 컴퓨터와 잘 어울림 – 지루한 반복 작업
프랙탈구조
비교적 적은 양의 코드로 잠재적으로 무한한 시각적 복잡성을 제공
48

49. Proceduralism과의 관계
“complexity-from-simplicity amplification”
Alvy Ray Smith
49

50. Procedural fbm

51. 51

52. 분석
자체 프랙탈은 라인 내부 루프로 구성
Perlin의 Chaos 함수
Lacunarity 컨트롤 파라미터 추가(구조안에 옥타브의 넘버 프랙탈 증가 파라미터 H)
: 일반적으로 2.0을 사용
고급 애플리케이션에 LOD 를 제공
함수는 실제 값의 옥타브를 수용하도록 설계
파라미터 옥타브의 값을 메인루프 이후 선형에 추가
Adaptively band-limit textures
우리가 Nyquist 한계와 후속 앨리어싱을 초과하지 않도록 거리를 옥타브의 개수로 연결
옥타브의 나머지 부분과 함께이 작은 트릭은 갑자기 어떤 임계값에 변경하는
옥타브의 수가 도입되는 텍스쳐의 불연속을 방지
52

53. 분석
Preinitialized 배열에서 스펙트럼 지수를 저장
adaptive band-limiting를 구현할때 내부 루프의 반복 호출의 pow ()을 피하기 위함
지수 배열 구조의 다양한 주파수에 대한 진폭(amplitude) - 스케일링 값을 저장
무게, 수동 lacunarity(소란반자)의 간단한 기능은, 함수의 프랙탈 차원을 결정
Parameter H는 프랙탈 증가 마이너스 1와 같음
프랙탈 이미지의 과학 Voss에 기술된 H에 해당
H=1 일때 fBm은 상대적으로 부드러움
H는 0으로 갈수록 함수는 화이트 노이즈에 접근
53

54. 54

55. Multifractal Functions

56. fBm은
통계적으로 homogeneous isotropic
어디에서나 동일하게 모든 방향에서 같게라는 의미
자연의 프랙탈 현상
드물게 있고 간단하고 완전작동
예를 들어
균일한 프랙탈 차원으로 만들어진 통합 프랙탈 산은 사방 어디서나 동일
실제 산은
일반적으로 평야 밖으로 상승하고 그 발밑에 rolling foothills(경사진 작은 언덕)을 가진다
사실주의와 다른 관점에서 좀더 재미있는 이질적인(heterogeneous) 프랙탈 기능을 원함
56

57. Multi fractal
정의(경험적)
프랙탈 차원과 같이 프랙탈 특성을 결정하는데 있어, 여러 가지 측정기준을 필요로 하는
프랙탈들
heterogeneity의 스케일은 변화하지 않는다 : 지형에 봉우리가 계곡보다 러프
정의(수학적)
multiplicative 캐스케이드로 고정 : 내부 루프에 높은 주파수의 추가는 곱하기로 대처
이전 fBm 기능은 additive cascade를 사용
57

58. multiplicative-cascade multifractal 변화량
58

59. Multi fractal
“offset 이상의 것들로 내부 loop 안에서
뭔가 곱한다든지 해서 결국 fBM() 함수와 비슷”
“multifractality 로 offset 을 컨트롤하고
하려고 한다면 함수를 컨트롤”
59

60. Multi fractal
“offset 이 0 일 때 함수는 극단적인 상태에서
heterogeneous 이 되며 그 값이 다시 증가할수록
멀티프랙탈에서 모노프랙탈로 변함
그리고 나서 offset 이 클때(예를 들어 100 이상)
납작한 평면에 근접”
60

61. Heterogeneous Terrain Model
offset 값이 0.8 일때 아주 훌륭한
heterogeneou 터레인 모델이 됨
61

62. 이 함수에 대해
알고 있어야 한 가지
“범위는 오프셋의 값을 변경하는 것은
광범위하게 다르다”
“옥타브의 수가가 그래왔던 것처럼 사실,
그것도 0으로 모이게 되거나 무한대로 분기”
62

63. 이 함수에 대해
알고 있어야 한 가지
“따라서 파라미터 octaves는
이 함수가 LOD 전략에서 괴롭게 하는 거처럼
실수가 아니다.”
“기능을 사용할 경우는 출력을
Rescale하기 위한 조치를 해야 함”
63

64. 이 함수에 대해
알고 있어야 한 가지
“몇 가지 한정된 패치 (예, 100 × 100 해상도로 샘플 3 × 3 영역)
이상의 함수를 계산하고 패치의 최대값 이상의 하나에 의해
함수의 출력을 rescaling하여 이 작업을 완수”
“이러한 multifractal 모델은 지형 모델을 위해
개발되었고 height fields로 해석”
64

66. Fractals and
Ontogenetic Modeling

67. lack a physical basis in reality
“프랙탈은 가끔 현실의 물리적인
기초의 근거가 결여되게 된다
예를 들어 fBm과 산맥사이에서
알려진 인과관계의 근거는 없다”
67

68. lack a physical basis in reality
“프랙탈은 가끔 현실의 물리적인
Is this a problem?
기초의 근거가 결여되게 된다
예를 들어 fBm과 산맥사이에서
알려진 인과관계의 근거는 없다”
68

69. lack a physical basis in reality
좁은 관점이며
“프랙탈은 가끔 현실의 물리적인
실제로 physical 그리고
기초의 근거가 결여되게 된다
nonphysical
예를 들어 fBm과 산맥사이에서
둘 다 모델링 컴퓨터 그래픽 안에
알려진자신의 자리가 있다. 없다”
인과관계의 근거는
69

70. Ontogenetic
“Al Barr’s “목적론(Teleological)”
Modeling과 대조되는 용어”
70

71. Teleology
a:자연 속에서 디자인의 증거의 연구
b: 끝이 자연에 내재되었다는 원칙 (활력론에서와 같이)
c: 최종 원인에 의해 현상을 설명하는 원칙
2: 자연의 사실 혹은 특성이 결과를 향해 이동하는 프로세
스 또는 목적에 의해 형성되는 자연이나 자연과정의 결과
라고 생각.
3: 자연 현상에 대한 설명과 같은 디자인 또는 목적의 사용.
71

72. Ontogenetic
“주관적인 형태학의 유사를 기반으로
모델을 구축하기 위한
합법적인 엔지니어링 전략”
72

73. Engineers
“컴퓨터 그래픽 전문가는
엔지니어지 과학자가 아니다”
“엔지니어의 목표는
바람직한 디바이스를 구축하는것
“과학자의 목표는
일관성있게 반영하는 모델을
고안하고 일치하는것”
73

74. Engineers
“과학은
공학에 정보를 제공”
“공학은
결과 중심의 학문”
“디바이스는 수행하기 위한것일뿐
결과를 수행하는 수단은 중요치 않다”
모델의 간결함은 공학이 좋다.
오캄의 면도날 : 간단한 해결책이 선호하는
해결책이다. 74

75. Conclusion

76. 결론
“프랙탈을 만들고 사용하는 수학자가 될 필요는 없다
아트적 감각이 통합이미지에 대한 인상적인
프랙탈 모델을 만들기 위한 양적인 재능보다 중요하다”
“프랙탈이 간단하고 쉬운 것을 명심”
“프랙탈은 자연 세계의 복잡한 절차의
우아한 설명을 향한 첫 단계”
76

77. 결론
“Fractal Dimention” “Monofractal”
“Octaves” “Multifractals”
”Lacunarity” “Turbulence”
77

78. Q&A

79. 감사합니다