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1. Looking for Challenge
小倉拳
@catupper

2. Looking for Challenge
グラフ理論

3. 問題
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ

4. 問題
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ

5. 問題
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ
● 一つ

6. 問題
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ
● 二つ

7. 問題
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ
● たくさん

8. Looking for Challenge
グラフ理論
列挙

9. 第一の疑問
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を列挙せよ
● 最大で何個くらいあるの？

10. 第一の補題
● 辺の数がMのグラフの中にある三角形の個数は
たかだかM√(2M)個

11. 第一の補題
● 辺の数がMのグラフの中にある三角形の個数は
たかだかM√(2M)個
● 証明しよう！
● 証明は2通り
1.バリバリのグラフ理論
2.不等式をこねる

12. 第一の補題
● 辺の数がMのグラフの中にある三角形の個数は
たかだかM√(2M)個
● 証明しよう！
● 証明は2通り
1.バリバリのグラフ理論
2.不等式をこねる

13. Looking for Challenge
グラフ理論
列挙

14. バリバリのグラフ理論
● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さ
い頂点の次数は√(2M)を超えない
– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓

15. バリバリのグラフ理論
● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さ
い頂点の次数は√(2M)を超えない
– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓
– 次数の総和は2Mと一致する

16. バリバリのグラフ理論
● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さ
い頂点の次数は√(2M)を超えない
– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓
– 次数の総和は2Mと一致する
● 背理法で証明
– 全て次数が√(2M)以上と仮定

17. バリバリのグラフ理論
● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さ
い頂点の次数は√(2M)を超えない
– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓
– 次数の総和は2Mと一致する
● 背理法で証明
– 全て次数が√(2M)以上と仮定
– 頂点数は√(2M)を超える

18. バリバリのグラフ理論
● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さ
い頂点の次数は√(2M)を超えない
– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓
– 次数の総和は2Mと一致する
● 背理法で証明
– 全て次数が√(2M)以上と仮定
– 頂点数は√(2M)を超える
– 次数の総和が2Mを超える

19. バリバリのグラフ理論
● グラフの中から最も次数が小さい頂点を選び、
それを含む三角形を列挙し、その頂点を消すと
いう操作を考える
– 隣接する辺も同時に消す

20. バリバリのグラフ理論
● グラフの中から最も次数が小さい頂点を選び、
それを含む三角形を列挙し、その頂点を消すと
いう操作を考える
– 隣接する辺も同時に消す
● これを全頂点がなくなるまで繰り返す
– 全ての三角形を漏れなく、重複なく列挙することが
できる

21. Looking for Challenge
グラフ理論
列挙

22. バリバリのグラフ理論
● 辺に注目する
● ある辺eが消えるタイミングを考える
– その辺がつなぐ頂点のうちどちらかが消えるとき
● vとする

23. バリバリのグラフ理論
● 辺に注目する
● ある辺eが消えるタイミングを考える
– その辺がつなぐ頂点のうちどちらかが消えるとき
● vとする
– そのとき数えられる三角形の中でeを含むものはい
くつあるか？

24. バリバリのグラフ理論
● 辺に注目する
● ある辺eが消えるタイミングを考える
– その辺がつなぐ頂点のうちどちらかが消えるとき
● vとする
– そのとき数えられる三角形の中でeを含むものはい
くつあるか？
– eでない辺のうち少なくともひとつはvに隣接する
– よってたかだかeの次数しかない

25. バリバリのグラフ理論
● 辺に注目する
● ある辺eが消えるタイミングを考える
– その辺がつなぐ頂点のうちどちらかが消えるとき
● vとする
– そのとき数えられる三角形の中でeを含むものはい
くつあるか？
– eでない辺のうち少なくともひとつはvに隣接する
– よってたかだかeの次数しかない
– 命題1よりたかだか√(2M)

26. バリバリのグラフ理論
● 例
● 赤い辺について考
える
● 次数が4の頂点と共
に消えるとする

27. バリバリのグラフ理論
● 例
● 赤い辺について考
える
● 次数が4の頂点と共
に消えるとする
● この辺と頂点を含
む三角形はたかだ
か4つ

28. バリバリのグラフ理論
● 辺は全部でM個なので数えられる三角形はたか
だかM√(2M)個
● やったぜ

29. バリバリのグラフ理論
● 辺は全部でM個なので数えられる三角形はたか
だかM√(2M)個
● やったぜ
● 頭が痛くてなってつらい

30. 第一の補題
● 辺の数がMのグラフの中にある三角形の個数は
たかだかM√(2M)個
● 証明しよう！
● 証明は2通り
1.バリバリのグラフ理論
2.不等式をこねる

31. 不等式をこねる
● 次数がd[v]の頂点vを含む三角形はたかだか
d[v]*d[v]/2個しかない
– vに隣接する頂点から2つ選ぶ組み合わせ

32. 不等式をこねる
● 辺の数がM個のグラフの頂点vを含む三角形は
たかだかM個しかない
– 頂点vとそれを含まない辺が与えられるとそれらを
つかってたかだか1個しか辺が作れない

33. 不等式をこねる
● 辺がM個のグラフの次数がd[v]の頂点vを含む三
角形の個数はmin(d[v]*d[v]/2, M)個を超えない

34. 不等式をこねる
● 辺がM個のグラフの次数がd[v]の頂点vを含む三
角形の個数はmin(d[v]*d[v]/2, M)個を超えない
● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)
＝ d[v]√(M/2)

35. 不等式をこねる
● 辺がM個のグラフの次数がd[v]の頂点vを含む三
角形の個数はmin(d[v]*d[v]/2, M)個を超えない
● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)
＝ d[v]√(M/2)
● 全頂点での総和をとる
– 次数の総和は2Mなので
– Σd[v]√(M/2) = M√(2M)

36. 不等式をこねる
● 辺がM個のグラフの次数がd[v]の頂点vを含む三
角形の個数はmin(d[v]*d[v]/2, M)個を超えない
● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)
＝ d[v]√(M/2)
● 全頂点での総和をとる
– 次数の総和は2Mなので
– Σd[v]√(M/2) = M√(2M)
● やったぜ

37. 第一の疑問
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を列挙せよ
● 最大で何個くらいあるの？
– M√(2M)個

38. 第二の疑問
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を列挙せよ
● どうやって列挙する？

39. 第二の疑問
● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる
● 互いに隣接している3頂点を列挙せよ
● どうやって列挙する？

40. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ

41. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す

42. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す
– それを含む三角形を全部列挙

43. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す
– それを含む三角形を全部列挙
– その頂点を消す

44. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す
– それを含む三角形を全部列挙
– その頂点を消す
– 繰り返す

45. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す
– それを含む三角形を全部列挙
– その頂点を消す
– 繰り返す
– やったぜ

46. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す ならしO(1)
– それを含む三角形を全部列挙 O(d[v]^2 logM)
– その頂点を消す ならしO(1)
– 繰り返す
– やったぜ？

47. 実装の仕方
● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実
際に実装するだけ
– 次数が最小の頂点を探す ならしO(1)
– それを含む三角形を全部列挙 O(d[v]^2 logM)
– その頂点を消す ならしO(1)
– 繰り返す
– 全部でO(M√MlogM)で残念ながら遅い

48. どうすればよいのか?

49. もっとバリバリの
グラフ理論をする

50. もっとバリバリのグラフ理論
● グラフの辺にループが出来ないように適当な向
きを付ける
– DAGを作れば良い

51. もっとバリバリのグラフ理論
● グラフの辺にループが出来ないように適当な向
きを付ける
– DAGを作れば良い
● 三角形はすべてこの形になる

52. もっとバリバリのグラフ理論
● グラフの辺にループが出来ないように適当な向
きを付ける
– DAGを作れば良い
● 三角形はすべてこの形になる
● ある辺について始点と終点から
同じ頂点に辺が出ている時
ちょうど1個三角形がある

53. もっとバリバリのグラフ理論
● グラフの辺にループが出来ないように適当な向
きを付ける
– DAGを作れば良い
● 三角形はすべてこの形になる
● ある辺について始点と終点から
同じ頂点に辺が出ている時
ちょうど1個三角形がある
● 重複や漏れはない

54. Looking for Challenge
グラフ理論
列挙

55. もっとバリバリのグラフ理論
● 全ての辺について、その始点からも終点からも
点が出ている頂点を数え上げれば良い

56. もっとバリバリのグラフ理論
● 全ての辺について、その始点からも終点からも
点が出ている頂点を数え上げれば良い
● ここで計算量を考える
● 各辺についてその終点と始点から共通して出て
いる頂点はflagを使って調べれば良い

57. もっとバリバリのグラフ理論
● 全ての辺について、その始点からも終点からも
点が出ている頂点を数え上げれば良い
● ここで計算量を考える
● 各辺についてその終点と始点から共通して出て
いる頂点はflagを使って調べれば良い
● 計算量はmax(始点の出次数、終点の出次数)

58. もっとバリバリのグラフ理論
● 全ての辺について、その始点からも終点からも
点が出ている頂点を数え上げれば良い
● ここで計算量を考える
● 各辺についてその終点と始点から共通して出て
いる頂点はflagを使って調べれば良い
● 計算量はmax(始点の出次数、終点の出次数)
● 出次数をおさえることに成功したら計算量が削
減される

59. もっとバリバリのグラフ理論
● どうやって出次数を削減しようか？

60. Looking for Challenge
グラフ理論
列挙

61. ひらめきのLooking for Challenge
● 元の無向グラフの頂点たちの次数を求める
● 各辺には次数が小さい方から大きい方に向きを
付ける

62. ひらめきのLooking for Challenge
● 元の無向グラフの頂点たちの次数を求める
● 各辺には次数が小さい方から大きい方に向きを
付ける
● これでDAGになるので先ほどの数え上げが使え
る

63. ひらめきのLooking for Challenge
● 元の無向グラフの頂点たちの次数を求める
● 各辺には次数が小さい方から大きい方に向きを
付ける
● これでDAGになるので先ほどの数え上げが使え
る
● 出次数はどうなるだろうか？

64. ひらめきのLooking for Challenge
● 命題1の証明を思い出す
– 次数が√(2M)より大きい頂点は√(2M)個より少ない

65. ひらめきのLooking for Challenge
● 命題1の証明を思い出す
– 次数が√(2M)より大きい頂点は√(2M)個より少ない
● 次数が√(2M)より小さい頂点はどんなふうに向
きを付けても出次数は√(2M)を超えない

66. ひらめきのLooking for Challenge
● 命題1の証明を思い出す
– 次数が√(2M)より大きい頂点は√(2M)個より少ない
● 次数が√(2M)より小さい頂点はどんなふうに向
きを付けても出次数は√(2M)を超えない
● 次数が√(2M)より大きい頂点は自分より次数が
多い頂点にしか辺は出て行かない
– √(2M)個もないので出自数は√(2M)を超えない

67. ひらめきのLooking for Challenge
● 次数が√(2M)より小さい頂点はどんなふうに向
きを付けても出次数は√(2M)を超えない
● 次数が√(2M)より大きい頂点は自分より次数が
多い頂点にしか辺は出て行かない
– √(2M)個もないので出自数は√(2M)を超えない

68. ひらめきのLooking for Challenge
● どの頂点も出次数が√(2M)を超えない！
● さきほどの考察より全計算量はM√2M
● これは三角形の個数の最大値と一致するのでお
およそ最適！
● やったぜ

69. Looking for Challenge
小倉拳
@catupper

70. 今の発想を使う問題
● Algorithmic Engagements 2009 Round6
– Cakes
● http://main.edu.pl/en/archive/pa/2009/cia
● 面白いのでやってみてね！

71. クリックしてタイトルの挿入!
ご清聴ありがとうございました