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用十分鐘學會 《微積分、工程數學》及其應用
1.
用十分鐘學會 《微積分、工程數學》及其應用 《電子電路電磁波、訊號語音影像處理》 陳鍾誠 2016 年 1
月 13 日 程式人程式人 本文衍生自維基百科
2.
不管你念哪個科系 ● 上了大學之後,幾乎都要念微積分
3.
理工科系 ● 學微積分好像還有點道理
4.
但是法商學院、醫農學院 ● 也都要上微積分
5.
到底微積分是在學甚麼 ● 又有甚麼用呢?
6.
讓我們花幾分鐘 仔細思考一下
7.
顧名思義 ● 微積分所學的就兩件事 –微分 –積分
8.
微分是在算斜率 ● 也就是 dy/dx
9.
積分是在算面積 ● 也就是右圖的 黑線下的部分
10.
看完這兩張圖 ● 差不多也就學完了
11.
這樣的話 ● 還要講一學期嗎?
12.
其實、大部分的人學完微積分 ● 還記得的東西,也就是上面 那兩件事而已!
13.
但是、你還記得極限嗎?
14.
那兩個希臘字母要怎麼唸呢? ● δ ● ε
15.
你忘記了嗎?
16.
還有那些數學符號該怎麼唸呢?
17.
還是不會念嗎? ● Greek Alphabet
(Rap 版 ) – http://www.youtube.com/watch?v=AvrDEegIo9g ● The (koine) Greek Alphabet Song – http://www.youtube.com/watch?v=3gaeIUsPJ-Y
18.
讓我們請老師念給你聽!
19.
好了、會念希臘字母之後 ● 讓我們言歸正傳
20.
對了、正傳到底是甚麼?
21.
糟了、我忘了!
22.
喔!對了、微積分中的符號! ● 那兩個符號代表非常小的 數,通常會逼近到無窮小。 ● 這種無窮小的概念稱為極限
23.
問題是 ● 到底學極限要做甚麼呢?
24.
聽說、微積分是牛頓和萊布尼茲發明的!
25.
問題是 ● 他們真的有發明極限概念嗎? ● 還是他們只發明了微分和積分?
26.
如果沒有 ● 那我們為甚麼要學極限概念?
27.
極限概念可以幹嘛?
28.
關於這些問題 ● 都不屬於本文所討論的範圍
29.
有問題的話 ● 去問你的微積分老師
30.
在本文中 ● 我們只討論 –微積分怎麼用 ? –還有用在哪裡?
31.
對於程式人而言 ● 學完微積分,一定要會 –《微分》和《積分》的程式
32.
這應該不難 function df(f, x)
{ var dy = f(x+dx)-f(x); return dy/dx; } 微分函數 function integral(f, a, b) { var sum=0.0, x; for (x = a; x <=b; x+=dx) { sum += f(x)*dx; } return sum; } 積分函數 dx = 0.001
33.
好了,寫完了! ● 接下來還可以幹嘛?
34.
程式人 ● … 我想不出來了!
35.
好吧! ● 既然這樣 ● 那就回家找媽媽 ●
然後洗洗睡了!
36.
喂!等一下 ● 你是說我學了一學期 ● 就只為了寫這兩個程式嗎?
37.
阿不然哩! ● 你還希望微積分有甚麼用途嗎? ● 不就是計算斜率和面積嗎? ●
上面那兩個函數就做完了阿!
38.
這 … ● 程式人心想:雪特雪特雪特
...
39.
好像有點不太對勁!
40.
程式人問 ● 那不是還有工程數學嗎? ● 裡面不是有個《微分方程》嗎? ●
那對寫程式沒用嗎?
41.
微積分老師 ● …
42.
程式人沒得到解答 ● 跑去問教程式的老師
43.
教程式的老師 ● 你是問微積分和工程數學的用途嗎? ● 那對寫程式確實沒什麼用
44.
但是 ● 好像對電子電路有點用 ● 你要不要去問問電子系的老師
45.
程式人找到電子系老師 ● 請問微分方程有甚麼用?
46.
電子系老師說 ● 微分方程可以用在解 –有電感或電容的電路上
47.
像是這個
48.
還有這個
49.
程式人 ● 就這樣嗎?
50.
電路學老師 ● 等等,那只是 RC
電路 ● 還有 RL, LC, RLC 電路沒講
51.
RL 電路
52.
RC 電路
53.
RLC 串聯電路
54.
RLC 並聯電路
55.
程式人 ● 我看不懂 ● 那裏面的
i, j 是甚麼?
56.
電路學老師 ● 那些 i,
j 是虛數
57.
程式人 ● 那虛數有甚麼用?
58.
電路學老師 ● 交流電的波形可以用三角函數表 示 ● 實數加虛數所形成的複數,很適 合用來描述電波
59.
程式人 ● 不懂 ● 可以解釋一下嗎?
60.
關於這個問題 ● 我們得先回到《尤拉公式》上,才有辦法說明! ● 不過在說明尤拉公式前,必須先說明《尤拉數》 與《尤拉函數》。
61.
尤拉數 e 與尤拉函數
ex
62.
然後、是尤拉公式
63.
程式人 ● 我看不懂 … ●
為何 呢?
64.
喔!你還記得泰勒展開式嗎?
65.
程式人 ● 我 …
忘了!
66.
以下是 f(x) 在
a 點的泰勒展開式
67.
如果 a=0 ,寫起來比較簡單 零點的泰勒展開式又稱為麥克羅林級數
68.
如果你對尤拉公式的兩邊 各取泰勒展開式,就會得到 = + i
69.
於是 ● 看來原本沒關係的兩個式子 ● 透過泰勒展開式竟然對上了
70.
其實 ● eix 中的 i
非常的重要 ● 請您稍微想想
71.
在極座標的體系裏面 ● eix 和 ei(x+
)φ 之間, 代表轉了 φ 的角度 ● 但這個轉動對 f(x)=eix 卻變成了移動,從 f(x) 移到了 f(x+ )φ
72.
轉動是非線性的,很難描述 ● 但移動是線性的,很好描述 ● 能將非線性的轉動變成線性的移 動,會讓事情簡單很多。
73.
而且當我們把尤拉公式放進來之後 ● 就會發現下列情況 – f(x)=eix =
cos(x+ )+i sin(x+ )φ φ – f(x+ )=eφ i(x+ )φ = cos(x+ )+i sin(x+ )φ φ ● 於是轉動變成了 eix 的移動,又變成了波的位移
74.
稍微整理一下,會發現 ● 三角函數本來就是從圓的概念來 的,波動與轉動本來就是一體的 兩面,所以尤拉複函數 eix 的移動 既然代表了極座標的轉動,那自 然就能用來描述波動了。 ●
只是我們透過微積分的泰勒展開 式繞了一圈又回來了而已。
75.
但是 ● 這樣大費周章繞了一圈,到底有甚 麼價值呢?
76.
這就是 ● 數學神奇的地方了!
77.
尤拉的發現 ● 被傅立葉拿來逼近函數 ● 結果形成了傅立葉轉換
78.
到底 ● 傅立葉轉換是甚麼呢?
79.
其實不太難 ● 只是把不同週期的尤拉複函數加起來 而已!
80.
但是在直覺意義上 ● 其實是 –用三角函數的組合 –去逼近任何一個複函數
81.
怎麼說呢? ● 讓我們看看下列函數
82.
如果我們把數個不同週期的 sin 函數加總 會得到類似下圖的結果 來源
:https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif 動畫 :https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif 上列組合很接近方波 上列組合很接近三角波
83.
數學上可以證明 ● 傅立葉級數可以用來逼近任 何一個週期複函數。
84.
然後、當我們將傅立葉級數的加總式 ● 改寫成積分式的時候,就變成了傅立葉《逆轉換》 >
85.
以下是傅立葉逆轉換的各個部分
86.
有逆轉換當然有正轉換
87.
有連續形式當然也可以改成離散形式
88.
然後你就可以利用傅立葉轉換 ● 將任何的波型轉換到另一邊的 《頻譜領域》 ● 原本的
sin, cos 波動在《頻譜 領域》就只剩下幾個些點
89.
像是單純的 sin 波轉過去就只剩一個點 圖片來源:
http://paulbourke.net/miscellaneous/dft/
90.
複合波其實很可能用幾個系數就能代表了
91.
您可以看到 ● 在《頻譜領域》,係數 sin(a
x) 中 a 係數越小的表頻率越低 ● 像是 sin(2x) 的頻率是 sin(1x) 的兩倍 – 由於週期是頻率的倒數,所以 sin(2x) 的 週期是 sin(1x) 的一半。
92.
而且、我們可以寫程式來做傅立葉轉換 ● 只要按照下列算式實作就行了
93.
當然也可以寫出逆轉換
94.
以下是我所寫的慢速傅立葉轉換
95.
還有慢速傅立葉逆轉換
96.
當然、演算法課程會告訴你 ● 那個太慢了,還可以更快 ● 當然程式碼也會變長
... ● 這就是快速傅立葉轉換 FFT
97.
程式人 ● 問題是:這些轉換到底有甚麼用呢?
98.
傅立葉 ● 如果我們用取樣的方式記錄一個 sin
波每秒紀 錄一千點,那一分鐘就要 60K ● 但若用傅立葉轉換轉到《頻譜領域》,竟然只剩 下一個點。 ● 這樣我們就不用記那 60K 個點,只要記一個振幅 系數就好了
99.
於是 ● 我們就得到一個超級程式 ● 壓縮率達到
60K 倍,也就是 六萬倍。
100.
當然 ● 現實世界的波形沒有那麼完美,像是 語音、電波或圖片,通常都不是單純 的 sin
波或 cos 波。 ● 但是人的眼睛和耳朵的分辨率通常有 限,特別是眼睛。
101.
眼睛具有自動過濾功能 ● 通常你看一張有樹的圖片,不會看到每一片葉 子,而是看到整棵樹。 ● 所以把頻率很高的部分過濾掉,其實對人的眼睛 而言,不太會有感覺。 ●
於是我們就只要留下低頻的部分,將高頻部分濾 除或用很少位元表示。
102.
這種濾除高頻的方式 ● 正是 JPEG
影像檔所採用的方式 ● 如果您將同一張圖分別存成 JPG 和 BMP 兩種 不同格式,會發現 BMP 通常比 JPG 大上十幾二十 倍。 ● 這就是傅立葉轉換的威力了。 ( 事實上 JPEG 只 用到了實數部分,所以是 cos 轉換 ) 。
103.
同樣的、在訊號和語音處理領域 ● 傅立葉轉換也能發揮很好的效果 ● 於是微積分對連續函數的數學研 究,竟然成了《訊號、語音、影 像》處理上的利器。
104.
這正是數學神奇的地方 ● 也是《電子資訊》領域為何 要學《微積分和工程數學》 這些課程的原因。
105.
希望 ● 這份投影片有解答到您對《為何 要學微積分》的疑惑。
106.
下次、當您無法理解 ● 為何要學那些數學的時候
107.
或許 ● 就不會那麼排斥那些符號
108.
西洋文明 ● 正是在一種不求《有用》的 心態之下 ● 反而走出了一條康莊大道
109.
而數學 ● 正是西洋文明當中,最令人 激賞的那個璀璨寶石。
110.
物理和數學 ● 可以說是西洋科學的兩大支柱 ● 在這樣的基礎上,發展出各式各 樣的神奇科技
111.
希望 ● 我們的十分鐘系列
112.
能夠重新燃起 ● 您對這些學問的 ...
113.
渴望 !
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