1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
1. Vectores en el Plano Conceptos
y aplicaciones
Los vectores estudiados en este capítulo son dos tipos especiales de la teoría vectorial en general, pero aquí
son importantes debido a su fácil representación geométrica, la cual es un segmento de recta dirigido.
Definición 1.1 Un vector → v ∈ R2 se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido,
cuyo extremo inicial es el punto de coordenadas (0, 0) en el plano cartesiano (origen),y el extremo final es el
punto de coordenadas (x1,x2). Generalmente un vector se representa por la pareja ordenada usada para
representar el extremo final del vector. Es decir. 𝑣⃗ = (𝑥1, 𝑥2)
.
Las coordenadas (x1, x2 ) se denominan componentes del vector 𝑣⃗
Podemos definir un vector 𝑣⃗ ∈ R3 de manera semejante como se hizo en R2 , donde el extremo inicial del
vector es el punto (0, 0, 0) en el espacio cartesiano (origen), y el extremo final es el punto (x1, x2 , x3).
Entonces −→v ∈ R3 es la tripla ordenada (x1, x2, x3). Para representar gráficamente este vector
necesitamos
un tercer eje Z que sea perpendicular a los ejes X e Y así:
2. Dos vectores 𝑢⃗⃗ = (𝑢1, 𝑢2) y 𝑣⃗ = (𝑣1, 𝑣2)son iguales si y solo si u1 = v1 y u2 = v2. Análogamente
esto sucede para vectores en R3.
Ejemplo 1.1 Representaren el plano los siguientesvectores:
a) 𝑣⃗ = (1,4).
Partiendo de la definición trazamos un segmento de recta dirigido desde el origen al punto (1, 4).
b) 𝑣⃗ = (−3,2).
Partiendo de la definición trazamos un segmento de recta dirigido desde el origen al punto (−3, 2).
3. c) 𝑣⃗ = (1,−3,2) Partiendo de la definición trazamos un segmento de recta dirigido desde el origen al
punto (1, −3, 2).
VECTOR SUMA:
Definición 1.2 Sean 𝑢⃗⃗ = (𝑢1, 𝑢2)y 𝑣⃗ = (𝑣1, 𝑣2)vectores en el plano. El vector suma se define
como la suma de las respectivas componentes de 𝑢⃗⃗ con 𝑣⃗ , es decir:
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2)
La representación gráfica de un vector suma es la diagonal de un paralelogramo que tiene como lados
adyacentes a 𝑢⃗⃗ 𝑦 𝑣⃗
Ejemplo 1.2 Hallar la suma de los siguientesvectores,tanto analítica como gráficamente.
a) 𝑢⃗⃗ = (−2,2) y 𝑣⃗ = (−1,3).
Partiendo de la definición tenemosque
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (−2 + (−1),2 + 3) = (−3,5)
Ahora representemos en el plano 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (−3,5)
4. a) 𝑢⃗⃗ = (√2,
1
2
) 𝑦 𝑣⃗ = (−2 √2
3
2
)
Partiendo de la definición tenemos que:
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (√2 + (−2√2,
1
2
+
1
3
) = (− √2 ,2)
Ahora representemos en el plano 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = (−√2, 2)
PRODUCTO ESCALAR:
Definición 1.3 Sea 𝑣⃗ = (𝑣1, 𝑣2) un vector,k un escalar.El producto escalar entre 𝑣⃗ y k es un
nuevo vectork 𝑣⃗ definido así:
𝑘𝑣⃗ = 𝑘( 𝑣1, 𝑣2) = (𝑘𝑣1, 𝑘𝑣2)
Gráficamente la representación del producto escalar es el cambio de “escala” o tamaño del vector. Además si k > 0, el
vector k 𝑣⃗ tiene la misma dirección que 𝑣⃗ ; y si k < 0 el vector k 𝑣⃗ y 𝑣⃗ tienen direcciones opuestas.
5. Ejemplo 1.3 Hallar el correspondiente producto escalar dadoslos siguientes vectores y escalares.
a) k = 2 y 𝑣⃗ = (−
1
2
, 2)
Por definición k 𝑣⃗ = 2 (−
1
2
, 2) = (2(−
1
2
), 2(2)) = (−1,4)
b) k = −2 y 𝑣⃗ = (−1,−1)
Por definición 𝑘 𝑣⃗⃗⃗ = −2(−1,−1) = (−2(−1),−2(−1)) = (2,2)
1
c) k =
2
y 𝑣⃗ = (4,3)
Por definición 𝑘 𝑣⃗⃗⃗ = 1
2
(4,3) = 1
2
(4),1
2
(3)) = (2,3
2
)
Otra operación importante es el producto entre vectores, más conocida como el producto punto, pero
antes de dar la definición de esta operación es importante también introducir los conceptos de norma,
vector unitario y ángulo entre dos vectores
Definición 1.4 Sea ∈ R². Se define la longitud del vector 𝑣⃗así:
||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √ 𝑣21 + 𝑢22
La notación ||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es también denominada la norma de||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Además, si ||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 1, entonces el vector 𝑣⃗se
Llama unitario.
6. Nota: En Física y en el campo de las ingenieríasse usan mucho los vectores unitarios normales y se
denotan de la siguiente forma:
^i = (1, 0, 0) Vector sobre el eje X y de longitud 1.
^j = (0, 1, 0) Vector sobre el eje Y y de longitud 1.
^k = (0, 0, 1) Vector sobre el eje Z y de longitud 1.
Teorema 1.2 Sea 𝑢⃗⃗ ∈ R² con 𝑢⃗⃗ ≠ 0 , entonces el vector 𝑢⃗⃗ =
𝑢⃗⃗⃗
||𝑢||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Es de longitud 1 y tiene la misma
dirección del vector 𝑢⃗⃗. El vector Unitario es llama vector unitario en la dirección de 𝑣⃗. Este teorema
aplica igual para vectores en R3.
. Este procedimiento se conoce como normalización del vector 𝑢⃗⃗
Nota: El anterior teorema es de gran utilidad cuando se necesita encontrar el vector unitario en la dirección de El
vector 𝑢⃗⃗ este procedimiento se conoce como normalización del vector 𝑢⃗⃗ .
Ejemplo 1.5 Normalizar los siguientes vectores:
a) 𝑢⃗⃗ = (3, −1)
Por el teorema de Normalización tenemos que:
𝑢⃗⃗
||𝑢||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
(3, −1)
√(3)2 + (−1)²
=
1
√9 + 1
((3,−1) = (
3
√10
,
1
√10
)
b) 𝑢⃗⃗ = (1,2,3)
7. Por el teorema de normalización tenemos que:
𝑢⃗⃗
||𝑢||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
(1,2, 3)
√(1)2 + (2)2 + (3)²
=
1
√1 + 4 + 9
((1,2,3) = (
1
√14
,
2
√14
,
3
√14
)
Definición 1.5 Sean 𝑢⃗⃗ y 𝑣⃗ ∈ R² con 𝑢⃗⃗ ≠ 𝑣⃗⃗⃗⃗ . El ´ángulo θ (0 ≤ θ ≤ π) entre los vectores 𝑢⃗⃗ y 𝑣⃗ está
dado por:
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
||𝑢||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ ||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La anterior expresión se obtiene a partir de la siguiente construcción geométrica.
Aplicando la ley de los cosenos para el anterior triangulo tenemos que:
|| 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑣⃗⃗⃗⃗||
2
= || 𝑢⃗⃗⃗⃗||
2
+ || 𝑣⃗⃗⃗⃗||
2
− 2 || 𝑢⃗⃗⃗⃗|| + || 𝑣⃗⃗⃗⃗|| cos 𝜃
Apliquemos ahora la definición de norma y despejemos Cos 𝜃.
|| 𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2 ||
2
= || 𝑢1, 𝑢2||
2
+ || 𝑣1, 𝑣2||
2
− 2 || 𝑢⃗⃗⃗⃗|| ∗ || 𝑣⃗⃗⃗⃗|| + cos 𝜃
( 𝑢12
− 2𝑢1𝑣1 + 𝑣12) + ( 𝑢22
− 2𝑢2𝑣2 + 𝑣2²) = 𝑢1² + 𝑢2² + 𝑣1² + 𝑣2² − 2 || 𝑢⃗⃗⃗⃗|| ∗
|| 𝑣⃗⃗⃗⃗|| + cos 𝜃
−2𝑢1𝑢2 − 2𝑢2𝑣2 = −2 || 𝑢⃗⃗⃗⃗|| ∗ || 𝑣⃗⃗⃗⃗|| + cos 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2
||𝑢||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∗||𝑣||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
8. Definición 3.6 El producto punto de dos vectores en el espacio
𝑢⃗⃗ = (u1, u2, u3) y 𝑣⃗ = (v1, v2 , v3 ) es la cantidad escalar:
𝑢⃗⃗ . 𝑣⃗ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3
Ejemplo 1.6 Hallar el producto punto entre los vectores 𝑢⃗⃗ = (2, 1,3) 𝑦 𝑣⃗ = (2, 2,2)
Por definición 𝑢⃗⃗. 𝑣⃗ = (2)(2)+ (1)(2)+ (3)(2) = 12)
Teorema 1.3 Propiedades del producto punto. Sean 𝑢⃗⃗ , 𝑣⃗ y 𝑤⃗⃗⃗ en R2 y k un escalar, entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
1. 𝑢⃗⃗ . 𝑣⃗ = 𝑣⃗ . 𝑢⃗⃗.
2. 𝑢⃗⃗ .( 𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = 𝑢⃗⃗ . 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗ . 𝑤⃗⃗⃗
3. 𝑘( 𝑢⃗⃗ . 𝑣⃗) = ( 𝑘𝑢⃗⃗). 𝑣⃗ = 𝑢⃗⃗ . (𝑘 𝑣)⃗⃗⃗⃗⃗
4. 𝑢⃗⃗. 𝑢⃗⃗ = ||𝑢||²
5. 𝑢⃗⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗ ≥ 0 y 𝑢⃗⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗ = 0 ⇔ 𝑢⃗⃗ = 0⃗⃗
Nota: No olvide que el producto punto entre dos vectores siempre es un escalar,no otro vector.
Criterio para vectores perpendiculares /0rtogonales:
Dos vectores distintos de cero 𝑢⃗⃗ 𝑦 𝑣⃗ son perpendiculares si y solo si 𝑢⃗⃗ . 𝑣⃗ = 0
Definición 1.7 El producto cruz de dos vectores en el espacio 𝑢⃗⃗ = (u1, u2, u3) y 𝑣⃗ = (v1, v2, v3) es
un vector perpendicular a 𝑢⃗⃗ y 𝑣⃗.
𝑢⃗⃗ 𝑥 𝑣⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
| = |
𝑢2 𝑢3
𝑣2 𝑣3
| 𝑖 − |
𝑢1 𝑢3
𝑣1 𝑣3
| 𝑗 + |
𝑢1 𝑢2
𝑣1 𝑣2
| 𝑘
La magnitud del vector 𝑢⃗⃗ 𝑥 𝑣⃗ denota el area del paralelogramo generado por los vectores 𝑢⃗⃗ 𝑦 𝑣⃗.
𝑢⃗⃗ 𝑥 𝑣⃗ = 0 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠
