Probabilités et statistiques 1ère partie

Probabilités et Statistiques
Otheman Nouisser
Ecole Nationale de Commerce et Gestion
Kénitra
20 septembre 2012
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra

Plan
1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement
1. Chapitre II : Calcul des probabilités
2. Chapitre III : Variables Aléatoires
3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Introduction
Exemple
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boules
blanches, 6 boules noires. On tire simultanément du sac 3 boules.
Calculer la probabilité d’avoir : 3 boules blanches.
des boules différentes.
Les boules sont indescernables, les tirages sont équiprobables.
Pour calculer la probabilité il faut d’abord calculer :
Le nombre de tirages possibles de 3 boules parmi 10 : Cas
possibles.
Le nombre de tirages de trois 3 boules blanches parmi les 4 :
cas favorables.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Chap I : Analyse Combinatoire. Dénombrement
Définition
L’analyse combinatoire est le développement de quelques techniques
permettant de déterminer le nombre de résultat possibles d’une
experience particulière. Elle permet de recenser les dispositions qu’il
est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments.
une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’un
ensemble.
Les techniques de dénombrements sont utiles pour le calcul de
probabilité des événements équiprobables.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie I- Principe multiplicatif
Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a p résultats
possibles et chacun de ces résultats donne lieu à q résultats lors de
la 2ème étape. Alors l’expérience a p × q résultats possibles.
Autrement dit : Le principe multiplicatif peut s’énoncer ainsi : si un
événement A peut se produire de p façons et si un événement B peut
se produire de q façons, la réalisation de A suivie de B peut se
produire de p × q façons.
Remarque
- Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune des
autres, on applique alors la règle de multiplication.
Par contre,
- Si un choix peut peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’une
autre, on applique la règle d’addition.

Conséquence
Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes
une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a
pn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles.
Exemple
Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une
verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien
y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16.

Exemple
Jacques arrive au restaurant. Il désire prendre un repas complet
(c’est à dire un potage, un plat de résistance, un légume, un dessert
et une boisson). On lui présente un menu à la carte offrant un choix
de 6 potages, 4 plats de résistance, 3 légumes, 5 desserts et 8
boissons.
Combien de repas complets différents jacques peut-il composer ?
Ici, la composition d’un repas complets suppose un choix de potage
avec un choix de plat de résistance avec un choix de légume avec un
choix de dessert avec enfin un choix de boisson. Pour calculer le
nombre de repas complet qu’il est ainsi possible de composer, on
utilise le principe de multiplication.

Illustration de la règle de multiplication
Souvent lorsque on a un problème qui fait appel à la règle de
multiplication, on en présente la solution à l’aide de cases adjacentes
à l’intérieure on inscrit le nombre de possibilités pour chacune des
étapes de choix. Ainsi dans notre exemple on a :
6 4 3 5 8
- on a effectué 5 choix successifs.
- Ces choix s’effectuent les uns avec les autres.
- Il existe 6 façons d’effectuer le premier de ces choix.
- 4 façons pour le deuxième,
- 3 façons pour le troisième,
- 5 façons pour le quatrième et
- 8 façons pour le cinquième ;
enfin, le nombre total de possibilités de repas correspond au produit
des nombres qu’on retrouve dans chacune de ces cases, à
savoir :6 × 4 × 3 × 5 × 8 = 2880.

Exemple
Jacques vient au restaurant pour prendre une collation ( c’est-à-dire
ou bien un potage, ou bien un sandwich, ou bien un dessert). On lui
présente un menu offrant un choix de 5 potages, 7 sandwiches et 4
desserts. Combien de collations différentes peut-il choisir ?
Dans ce cas-ci, comme jacques doit effectuer son choix de la façon
suivante :
P ou bien S ou bien D
P1 ou P2 ou · · ·P5 ou S1 ou · · ·S7 D1 ou · · ·D4.
On doit faire appel à la règle d’addition pour calculer qu’il a
5 + 7 + 4 = 16 possibilités de collations différentes.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie II- Permutations
Définition
Une permutation de n éléments distincts est une disposition
ordonnée de ces n éléments.
Exemple
Considérons 4 personnes qui prennent places successivement sur
un bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c.à.d
permutations) existe-t-il ?

- La première personne a le choix entre 4 places =) 4 dispositions
possibles pour cette personne.
- La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places =) 4 × 3
dispositions possibles pour ces deux personnes.
- La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places =) 4 × 3 × 2
dispositions possibles pour ces trois personnes.
- La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule place =)
4 × 3 × 2 × 1 dispositions possibles pour ces personnes.
Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations) est donc :
P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Théorème
Le nombre de permuations de n éléments distincts noté Pn est donné
par :
Pn = n(n − 1)(n − 2) · · · × 3 × 2 × 1 = n!.
Preuve.
Soit n éléments a1, a2, · · · , an.
a1 : on peut le mettre dans n’importe qu’elle case, donc on a n
possibilités.
a2 : on peut le mettre dans n − 1 cases, donc il y a n − 1 possibilités.
...
an : on peut le mettre dans une case, donc une seule possibilités.
D’où il y a n(n − 1) · · · 2 = n! dispositions ordonnées.

Exemple
1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de former
avec les éléments a, b, c.
2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien de
façons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ?
L’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à coté
de l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre de
dispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie Arrangement (Sans répétition)
Définition
Un arrangement de p éléments parmi n, désigne toute disposition
ordonnée de p éléments distincts parmi n éléments distincts (la
répétition n’étant pas permise). C’est une façon de ranger p éléments
distincts pris parmi n éléments distincts en tenant compte de l’ordre.
Remarque
Si p n (répétition non permise)
Si p = n : un arrangement est une permutation.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie III- Arrangement (Sans répétition)
Exemple
Considérons 7 personnes qui sont condidats pour occuper 3 postes.
De conbien de façon différentes peut-on pourvoir ces 3 postes.
- Pour le 1er poste on a 7 possibilités.
- Pour le 2ème poste on a 6 possibilités.
- Pour le 3ème poste on a 5 possibilités.
Au total, il y a 7 × 6 × 5 = 210 possibilités.

D’une manière général, on a le résultat suivant
Théorème
Le nombre d’arrangements de p éléments choisis parmi n noté Apn
est
donné par :
Apn
= n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) =
n!
(n − p)!
.
Preuve
Pour la première place on a n possibilités.
Pour la deuxième place on a n − 1 possibilités.
de proche en proche on a :
Pour la pième place on a :n − p + 1 possibilités.
Ainsi, au total il y a n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) =
n!
(n − p)!
.

Exemple
Combien de tiercés peut-on fomrer si une course comporte 12
cheveaux ?
C’est un arrangement de 3 parmi 12 donc le nombre de tiercés est
A3
12 = 12!
9! = 1320.
Remarque
Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n est une
disposition ordonnée de p éléments avec autant de répétition que l’on
souhaite.
Le nombre d’arrangements avec répétition est de np.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie IV- Combinaisons (sans répétition)
Définition
Une combinaison de p éléments parmi n est une disposition
non-ordonnée de p éléments distincts choisis parmi n éléments
distincts.
Remarque
L’ordre n’intervient pas ici. Par exemple les ensembles suivants sont
pareils : {a,b,c}={a,c,b}={b,a,c}={b,c,a}.
Exemple
Considérons l’ensemble E = {1, 2, 3}. Le nombre des combinaisons
de deux éléments choisis parmi les 3 éléments est 3 à savoir
{1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.

D’une manière générale, on a le résultat suivant.
Théorème
Le nombre de combinaisons de p éléments choisis parmi n éléments,
noté Cp
n , est donné par :
Cp
n =
n!
p!(n − p)!
.
Preuve
A partir d’une combinaison de p éléments on peut faire p!
arrangements, c.à.d.,
Apn
= p!Cp
n =) Cp
n =
1
p!
Apn
.

Proposition
C0
n = Cn
n = 1
Cjn
+1 = Cj−1
n + Cjn
(a + b)n =
Xn
k=0
Ck
n akbn−k Formule de Binôme de Newton.

Exemple
Une main est constituée de 13 cartes placées dans un ordre
quelconque. Calculer le nombre de mains distinctes susceptibles
d’être formées à partir d’un jeu de 52 cartes ?
C’est une combinaison de 13 parmi 52, donc le nombre de mains
est :
C13
52 =
52!
39!13!
= 635013560000.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie V- Permutation avec répétition
Théorème
Le nombre de permutation de n objets dont n1 sont semblables, n2
n!
sont semblables, · · · , nk sont semblables est :
n1!n2! · · · nk !
.
Exemple
Quel est le nombre d’anagrammes différents ayant un sens ou non
qu’il est possible de former avec les lettres du mot : SES.
Ce mot comporte deux fois la lettre S. On notera S1,S2,E, alors les
possibiltés qu’on a sont :
ESS =

ES1S2
ES2S1
,SSE =

S1S2E
S2S1E ,SES =

S1ES2
S2ES1
Le nombre d’angrammes avec les lettres indexées est P3 = 3! = 6,
mais si on élimine la répétition on a : 3!
2! = 3.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie V- Permutation avec répétition
Exemple
Refait le même exemple avec les mots : TETE et CASABLANCA.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VI- Echantillonage
Définition
Soit une population de n éléments. On appelle un échantillon de taille
k, toute suite ordonnée de k éléments de cette population.
Exemple
On extrait r boules l’une après l’autre d’une urne contenant n boules.
On considère deux cas :
i) Echantillon non-exhaustifs (avec remise) : Dans ce cas avant de
tirer une nouvelle boule, on remet dans l’urne la boule qu’on vient
d’extraire, il y a n façons différentes d’extraires chaque boule, et donc
il y a n × n × n × · · · × n = nr exhantillon non-exhaustif difféfents de
taille r .
ii) Echantillons exhaustifs ( sans remise) : ici on ne remet pas la
boule tirée, c’est donc un arrangement sans répétition de r objets
parmi n, il y a donc Ar
n échantillon exhaustif de taille r .

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VI- Echantillonage
Exemple
De combien de façon peut-on tirer l’une après l’autre, 3 cartes d’un
jeu de 52 cartes.
i) Si le tirage est non-exhautif : il y a (52)3 façons.
ii) Si le tirage est exhaustif : il y a A3
52 façons.

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VII- Notion sur la théorie des ensembles
Définitions et propriétés
- Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.
- L’ensemble vide noté ; est l’ensemble qui ne contient aucun
élément.
- Soit
un ensemble.
Un ensemble A est dit un sous-ensemble de
ou une partie de
si
tous les éléments de A sont des éléments de
.
L’ensemble des parties de
est noté P(
).
Exemple
Donner l’ensemble des parties de
= {a, b, c}.
P(
) = {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ;}.

Soient
,A,B 2 P(
)
Inclusion : A B signifie que tous les éléments de A sont
dans B.
A * B signifie qu’il existe au moins un élément de A
n’appartient pas à B.
Complémentaire : A est l’ensemble des éléments de
qui
n’appartiennent pas à A appelé
complémentaire de A.
Union : A [ B : (x 2 A [ B , x 2 A ou x 2 B).
Intersection : A B : (x 2 A B , x 2 A et x 2 B).

Remarque
1- A [ A = A; A A = A; A [ ; = A; A ; = ;,
2- Si A B alors A [ B = B et si A B alors A B = A.
A et B sont dits disjoints si et seuleument si A B = ;.
AB = A B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A
et qui n’appartiennent pas à B.

Proposition
Soient A,B,C des parties de
, on a :
A [ B = B [ A
A B = B A
A [ (B C) = (A [ B) (A [ C)
A (B [ c) = (A B) [ (A C)
A B = A [ B
A [ B = A B

I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théorie VIII- Notion de cardinal
Si
a un nombre fini d’éléments, alors pour tout A 2 P(
), alors A a
également un nombre fini d’éléments.
cardinal de A, noté card(A) est le nombre d’éléments de A.
Proposition
card(A) = card(
) − card(A)
card(A [ B) = card(A) + card(B) − card(A B)
card(A B) = card(A) − card(A B)
card(;) = 0

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