Cartesian Closed Categoryを詳細を飛ばして説明してみたスライド。 参考にした本はB.C.PierceのBasic Category Theory for Computer Scientists。 ただし、CCCに関わる部分以外全て飛ばしている。

1. Cartesian Closed Categoryを
駆け足で
森口

2. 今回の発表の目的
 圏（Category）の一例としてCartesian Closed
Categoryを学ぶ。
 圏論(Category theory)の勉強としては限定的に。
 必要な内容を引っ張ってきてそれだけを。
 一般に説明される構造の大半は触れない。
 以下、ほとんどを日本語の用語で説明。
 初出時は英語も併記。
 Cartesian Closed Categoryは略称（CCC）を使用。
 いい表記がみつからなかった。デカルト閉圏とかカルテシア
ン閉圏とか。長い。

3. 余談：余談について
 途中途中で、「余談：～～」というタイトルで
私の雑感が入る。
 雑学じみていたり、どうでもいいことを言ったりする。
つまり、無視して良い部分。
 途中から口語になったりする。
 主に私の集中力が切れたことを表す。

4. 目次
 圏論とは？
 Cartesian Closed Category (CCC)とは？
 単純型付きラムダ計算とは？
 実際の対応関係は？
 例としては？

5. 圏論 概要
まあ、何かをする前にそれが何かをしらないと、話にならないよね。

6. 圏論
 圏(Category)という形で抽象化された体系
 Category : 圏、と訳される。体系。
 Category = Objects + Arrows
 記号：C, D, ...
 Object : 対象、と訳される。もの。
 記号：A, B, C, D, ...
 Arrow : 射、と訳される。morphismともいう。矢印。
対象間を結ぶ。
 記号：f, g, h, ...
 f : A → Bのように表記。（fはAからBへの射）
 AとBをそれぞれドメイン(domain)、コドメイン(codomain)と呼ぶ。

7. 満たさなければならない性質
 射について満たさなければならない性質
 全ての対象Aに対して、恒等射idA : A → Aが存在
 全ての射f : A → B, g : B → Cに対して、g○f : A → C
が存在
 射の合成の存在
 全ての射f : A → B, g : B → C, h : C → Dに対して、
h○(g○f) = (h○g)○f
 射の合成の結合則
 全ての射f : A → Bに対して、idB○f = f = f○idA
 対象？特にないよ。

8. 図式で表現1
 f : A → Bを図式で書くと下の通り。
A
B
f

9. 図式で表現2
 g : B → Cとfを並べて書く。
A
B
f
C
g

10. 図式で表現3
 h : C → Dを含むと下のようになる。
A
B
h
C
g
D
f

11. 図式で表現4
 k : A → Dを追加する。
 実はこれで、h○(g○f) = k = (h○g)○fである。
A
B
h
C
k
D
f
g

12. 図式の可換性
 図式中で、ある始点から終点までを結ぶ射の列は、
（複数経路ある場合）どの経路をたどっても合成
結果が等しい。
 図式が可換である（commute）という。
A
B
h
C
k
D
f
g

13. 結合則について
 本来不要だが、g○fとh○gを書き加える。
 ただの合成なので図式にいれられる。
 わかりやすいでしょ？
A
B
h
C
k
D
f
g

14. 圏で何かを表現する
 対象と射に、何か意味のあるものを割り当てる。
 対象を要素、射を要素間の関係とする、など。
 対象や射の性質を定義（設定）する。
 e.g.) ある対象A, Bに対してf : A → Cおよびg : B → C
が唯一存在する。
 この例に特に意味はない。
 最終的に、対象と射の間に成立する関係によって
性質を言及する。

15. 実際にある圏
 Set
 対象を集合、射を（集合間の）全域関数とする圏。
 恒等射は恒等関数、射の合成は関数合成、結合則は関数合成
の性質。
 Poset
 対象を半順序集合、射を単調関数とする圏。
 Cat
 対象を（小さな）圏、射をFunctorとする圏。
 圏の圏。Functorは圏から圏への変換と思ってくれれば。

16. 圏論の教科書について
 多くの本では、圏の各構造をボトムアップに定義
していく。
 実例が遠い・・・
 一応途中実例は載っているが、全体がないのでピンとこない。
 ここではトップダウンに、「Cartesian Closed
Categoryに必要な要素を出て来た順に説明」する。
 できる限り説明がネストしないように気をつける。

17. CARTESIAN CLOSED
CATEGORY
本題。すぐ話が変わるけどね。ちなみに大文字にした覚えはないよ。

18. Cartesian Closed Category
(CCC)
 Cartesian Closedな圏（≠ある決まった圏）
 終対象1が存在
 二つの対象A, Bに対してA×Bが存在
 積（product）
 二つの対象B, Cに対してCBが存在
 冪（exponential）
 これらの説明は必要になるまでしません！(ｷﾘｯ

19. 余談：CCCという略称
 Google先生は和洋問わず、いろいろ聞いたことも
ないようなものを出してくれる。
 Wikipedia先生は
 日本語版は残念ながら項目が少なく、Cartesian
Closed Categoryはない。
 そして私の愛する（してないけど）Cross-cutting concerns
もない！
 英語版は大量の項目があり、下の方へ行くと
mathematicsのところにある。
 ・・・cross-cutting concernsはやっぱりない・・・

20. CCCの表現するもの
 様々な圏がCCCだが、ここで説明するものは単純
型付きラムダ計算と直観主義論理。
 Curry-Howard-Lambek対応という。
 前二者のラムダ計算と直観主義論理との関係だけがよく使わ
れる。
 直観主義はあまりなじみがない（特にB4には）と思わ
れるので、単純型付きラムダ計算を元に説明していく。
 幸いHaskellやってるんだし、大丈夫・・・だよね？

21. 単純型付きラムダ計算
知ってる人は退屈な、知らない人でもすぐわかる説明。（たぶん）

22. 単純型付きラムダ計算（最小構成）
 ラムダ計算＋型
 xは型付きラムダ式
 λx:A.MはMが型付きラムダ式であり、Aが型であると
き（かつそのときに限り）ラムダ式
 (M N)はM, Nが型付きラムダ式であるとき（かつその
ときに限り）型付きラムダ式
 αは型（ground type）
 BAはA, Bが型であるとき（かつそのときに限り）型
 Haskellなどでいう A -> B

23. 余談：矢印
 A→Bと同じ意味を持つ記号はいくつかある。
 今回使ったBA
 主に関数型言語、ラムダ式で使われた印象がある。
 あくまで個人的な意見だが。
 一部の型付きラムダ計算ではλxA.Mのような書き方をしてい
たし、高階関数が面倒なので、使えにくかったのでは？
 A⊃B
 論理の世界では今も使われている。
 A⇒B
 どちらかといえば、メタレベルでのimplicationの印象。

24. 余談：なぜ冪乗？
 おそらく、要素数が冪乗になるから
 予想だが、そう間違ってはいまい。
 例）A={0,1,2}、B={0,1}に対しA→Bの数は？
 答え：8つ（|B||A|）
 012->0
 01->0 2->1
 02->0 1->1
 12->0 0->1
 0->0 12->1
 1->0 02->1
 2->0 01->1
 012->1
 Aの要素それぞれに対して、Bの要素数分の選択肢。

25. 余談：「かつそのときに限り」
 ラムダ式の定義に出現している言葉。
 集合を一意に定めるために書く。
 この文言がないと、「規則に書かれていない要素」が
入りうる。
 例えばλx:A.3がラムダ式と扱われる可能性がある。
 文言があることで、3はラムダ式ではないので入らない。
 通常は、「以下の規則を満たす最小の集合」とい
う定義をする。
 面倒だし読みにくくなるし邪魔だし。

26. 単純型付きラムダ計算（少し拡張）
 ラムダ式に組とunitを追加
 (M, N)はMとNが型付きラムダ式(ry
 (fst M)はMが(ry
 (snd M)はMが(ry
 unitは型付きラムダ式
 A×BはAとBが型(ry
 Unitは型

27. 余談：型付きラムダ計算というもの
 この話からわかるように、型付きラムダ計算と呼
ばれるものは山のようにある。
 「単純」でさえ、これに和を加えたものなどもある。
 CCCは型付きラムダ計算と対応する。よって、
それだけのCCCがある。
 構造以外にも、ground typeとしてintだとかboolだと
か使えたりする。

28. 型付け規則について
 型が付くという関係をΓ┣ M : Aのように書く。
 （変数の型）文脈Γにおいて、MはAという型が付く。
 型付け規則は、線を引いた上下に関係を書く。
 上には「仮定として成り立つ関係」を書く。
 下には「結果として成り立つ関係」を書く。
 線の横には規則の名前を書く。
 下の例だと、「仮定なしに」「文脈ΓでunitがUnitに
型付けられ」「その規則をUnitと呼ぶ」ことを表す。
Unit
Γ┣ unit : Unit

29. 型付け規則(1/2)
Var
Γ┣ x : A
Lam
Γ┣ λx:A.M : BA
Γ, x:A┣ M : B
Γ┣ (M N) : B
Γ┣ M : BA Γ┣ N : A
App
Unit
Γ┣ unit : Unit
x : A ∈ Γ

30. 型付け規則(2/2)
Γ┣ (M, N) : A×B
Γ┣ M : A Γ┣ N : B
Prod
Snd
Γ┣ M : A×B
Γ┣ (fst M) : A
Γ┣ (snd M) : B
Fst
Γ┣ M : A×B

31. 余談：き？け？
 型付き？型付け？
 ”typed”が型付き、”typing”が型付けに相当。
 型をつけるラムダ計算ではなく型がくっついたラムダ計算。
 規則に型がつくわけじゃなくて、型をつける規則。
 ちなみに、英語の”type”は動詞。型をつける。
 はいはいどうでもいいですねわろすわろす。

32. 単純型付きラムダ計算の性質
 必ずβ簡約が終了する。
 逆に言えば、β簡約が終了しないラムダ式は型付きラム
ダ計算として書けない。
 型のないラムダ計算も、型推論という形で同じ範
囲の項に限定することができる。
 型推論できる＝型付きラムダ計算で書ける
 他は・・・いや、十分か。

33. 余談：式（プログラム）の妥当性
 型付けできない型付きラムダ式というのがある。
 λx:A.(x x)とか。
 前のxが関数型でないため、型付け規則に合致しない。
 通常のラムダ式と違い、「妥当（valid）な型付き
ラムダ式」という概念があることを意味している。
 通常のラムダ式に、妥当でないラムダ式はない。
 型は妥当であるとか妥当でないという概念を作り、
それによってユーザーを助けている。
 妥当でないプログラムは正しく動かない（かもしれな
い）からはじく（rejectする）。

34. CCCと単純型付きラムダ計算の
対応
ようやく話の本題。ここまでは前座。

35. CCCと型付きラムダ計算の対応
 対象は全て型
 項ではないので注意。
 射は、環境の型から項の型の導出
 f : A → Bは A┣ Bを証明する（ための規則の列の合成
射）fを意味する。
 ・・・え？イミフ？

36. 説明の順序
 型付きラムダ計算を少し考え直す。
 CCCの要素の定義を見ながら厳密に対応をとる。

37. とりあえずCCCは置いておくけど
 まず型付きラムダ計算のほうから見る。
 でも覚えておいてほしいこと。
 CCCの対象は型と
 CCCの射は型の導出Γ┣ Aと
それぞれ対応する。
 というか、対応させる。これから。

38. 型付きラムダ計算を考え直す
都合が悪ければ、本質的に等価な何かに変更すればいい。

39. 型付け規則
Γ┣ BからA┣ Bという形へ
 Bは型として、Aも型とすると若干型付け規則の形
に合わない。
 Aの側は「変数と型のリスト」であり、Bは「項と型」。
 リストを一つの型に押し込める必要がある。
 リストが駄目ならペアにすればいいじゃない。
 cons＝組 （積）
 nil＝unit （1）

40. 文脈の変換
 x1 : A1, x2 : A2, ... , xn : An
(...((unit, x1), x2), ...), xn)
: (...((Unit×A1)×A2)×...×An)
 これで確かに要素が一つになった。
 推論の方法がやや変わる（変数の型付けに射影をとる
必要あり）が、基本的には同じ。

41. 型付け規則renewal
 Var規則とLam規則が変わるのみ。他は全てΓを一
つの型にすればよい。（変数の衝突に注意）
Var
(L, x) : C×A┣ x : A
Proj
(L, y) : C×B┣ x : A
L : C┣ x : A
Lam
L : C┣ λx:A.N : BA
(L, x) : C×A┣ N : B

42. 問題：ラムダ式は？
 Ｑ：CCCと型付きラムダ計算が対応すると言った
のに、ラムダ式と対応するものがないじゃないか。
どういうこと？
 Ａ：renewalによって、実は
ラムダ式 ≡ 型の導出
が成立するようになったのだ。
 ちなみに、renewal前はラムダ式のほうが細かい指示
ができた。
例）λx:A.λy:A.xとλx:A.λy:A.yは導出では区別不可能。

43. 区別できない？
 どちらも、Var,Lam,Lamの順。ラムダ式は違う。
┣ λx:A.λy:A.x : (AA)A
x : A┣ λy:A.x : AA
x : A, y : A┣ x : A
Lam
Lam
Var
┣ λx:A.λy:A.y : (AA)A
x : A┣ λy:A.y : AA
x : A, y : A┣ y : A
Lam
Lam
Var

44. 区別できなかったもの
 以前の形式だと、唯一Varのみ「構造以外の何か」
で判別する規則になっている。
 リストに含まれるかどうか。リスト内の順序など全く
関係ない。
 他は構造を分解するだけ。Unitは分解する必要すらな
い。
 でもUnitを使う場合必ずunitが値。
 Varを使う場合、どの変数であっても（型さえ同じなら）同
じように規則が使われる。
 Varを使うと、ラムダ式のほうが細かく指定できる。

45. Var規則の変形
 VarとProjに分かれた。
 それぞれ「一番近い束縛変数を消去」「一番近い束縛
変数が導出対象」という状態。
 どちらも構造に依存し、「構造以外の何か」ではなくなって
いる。
 簡単に言えば、VarとProjにより「今の地点から何番目
の変数を参照しているか」を表す。
 de Bruijn indexみたいな考えだと思えば。

46. 区別できなかった例
 上に余計なProjが入ってきている！
 区別できた！
unit : Unit┣ λx:A.λy:A.y : (AA)A
(unit, x) : Unit×A┣ λy:A.y : AA
((unit, x), y) : Unit×A×A┣ y : A
Lam
Lam
Var
unit : Unit┣ λx:A.λy:A.x : (AA)A
(unit, x) : Unit×A┣ λy:A.x : AA
((unit, x), y) : Unit×A×A┣ x : A
Lam
Lam
Proj
(unit, x) : Unit×A┣ x : A
Var

47. つまり
 射≡型付け≡ラムダ式＋環境、すなわち
射≡ラムダ式＋環境
ってこと。
 これで解決できたね。

48. 規則と図式の対応
タイトルの割に、圏の構造の定義の話だったりする。

49. CCCの対象と型の対応
 直感的には、Unitは1、組は積、関数は冪と対応
 まあ、同じ記号使ったし、ね。
 Ground type（αなど）はCCCの中に対応する対
象があると仮定
 そのようなCCCが対応する、と考える。
 例：α×(βUnit)はα×(β1)と対応
 まあ見たまんま。Unitが変わるくらい。

50. 圏による終対象・積・冪の定義
 規則との対応をとるに当たって必要なので、ここ
で説明。
 圏における構造の定義は、大体次のパターン。
 ある射が存在し、可換である図式がある。
 積・冪もこれにもれない。
 終対象はほとんど図式を使わないけれど、ね。

51. 終対象
終わりがあるなら始まりもある。始対象という。説明しないけど。

52. 終対象（terminal object）
 全ての対象Aに対して唯一の射! : A → 1が存在。
 どんなAに対しても!が射の名前。不思議だけどよくあ
ること。
A 1
!

53. 終対象とUnit
 何かからUnitを導くのは常にUnitの規則を使えば
よい。
 文脈に関係なくunit : Unitと型付けられる。
 あらゆる対象に!を持つことと対応する。
A 1
Unit
L : A┣ unit : Unit
!

54. 積
績と間違えられること多数。紡ぐのか、積むのか・・・

55. 積
 A×Bはπ1 : A×B → A, π2 : A×B → Bを伴い、
ある対象Cと射f : C → A, g : C → Bについて、
以下の図式を可換にする<f, g> : C → A×Bが
存在するものを言う。
 点線の射は、他の部分から一意に導かれる射。この図
ではf, g, π1, π2から導かれる。
C
A×B BA
f g
π1 π2
<f, g>

56. 型付けにおける積(1/2)
 組を型付ける場合
 さきほどの図のCが環境である。
 C → A×Bという射（文脈C下で型A×B）は、
f : C → A（文脈C下で型Aがつく）と
g : C → B（文脈C下で型Bがつく）の存在から導ける、
と言っている。

57. 型付けにおける積(図1)
C
A×B BA
f g
π1 π2
<f, g>
Prod
L : C┣ (M, N) : A×B
L : C┣ M : A L : C┣ N : B

58. 型付けにおける積(2/2)
 組を分解する場合
 C → A×Bが前提として存在、π1とπ2はやはり存在する。
 合成で終了。
 π1とπ2はそれぞれfstとsndに対応する。

59. 型付けにおける積(図2)
C
A×B BA
π1○f π2○f
π1 π2
f
Snd
L : C┣ M : A×B
L : C┣ (fst M) : A L : C┣ (snd M) : B
Fst
L : C┣ M : A×B

60. 余談：双対性（duality）
 様々なものをひっくり返した構造（性質etc）。
 圏では、非常に簡単なことに、射を逆に向けたもの
 以下は余積（coproduct）と呼ばれる構造の持つ図式
 co- が双対なものを表す。colimitとかcoconeとか。
 例外もある。終対象の双対である始対象はinitial object。
 実はこれ、一般に言う和の構造。つまり積の双対は和。
C
A+B BA
f g
ι1 ι2
[f, g]

61. 余談：対象の一意性
 実のところ、A×BとB×Aは、対象として完全に同
じものである。
 それぞれの射影射は全く同じ。
 圏では、こういった時に「isomorphicなものを
除いて一意」という言い方をする。
 簡単に言えば同等なものは本質的に同じものとする。

62. 冪
和、積、冪とならぶはずなのに、可換じゃない。

63. 冪
 BAは、evalBA : BA×A → Bを伴い、ある対象Cと
g : C×A → Bについて、以下の図式を可換にする
curry(g) : C → BAが存在するものを言う。
 f×gは、f : A → B, g : C → DのときにA×C → B×Dと
なる（直感的にはfとgの積である）射。
C×A
BBA×A
evalBA
curry(g)×idA g

64. 余談：curryとeval
 どちらも関数型言語のそれ。
 カリー化は複数の引数をとる関数を、一つずつ引数を
とって関数を返す関数に変更するもの。
 A×B→CをA→B→C
 eval（apply？）は関数と引数をとって適用を行うもの。
 (A→B)×A→B
 使用した本の表記であって、常にこの名称という
わけではない。

65. 型付けにおける冪(1/2)
 関数抽象を型付ける場合
 やはりCが環境である。
 C → BAという射（文脈C下で型BA）は、
g : C×A → B（環境C×A下で型B)の存在から導ける、
と言っている。
 C×Aは環境にAという型の要素を追加したもの。

66. 型付けにおける冪(図1)
C×A
BBA×A
evalBA
curry(g)×idA
g
Lam
L : C┣ λx:A.N : BA
(L, x) : C×A┣ N : B

67. 型付けにおける冪(2/2)
 関数適用を型付ける場合
 C → BAとC → Aが前提として存在。
 積の定義からC → BA×Aが存在。
 evalBA : BA×A → Bと合成することでC → Bが導ける。

68. 型付けにおける冪(図2)
BBA×A
evalBA
C┣ (M N) : B
C┣ M : BA C┣ N : A
App
C
BA A
f g
<f, g>
evalBA○<f, g>

69. 変数
CCCでは名前なんてない。つまりde Bruijn notationとほぼ等価。

70. 最後に追加
 VarとProjと対応する射
 簡単に言えば、Varはπ2と、Projはπ1とそれぞれ対応
する。
 Projには「残りの環境から型付けする」射が必要だが。
C×A AC
π1 π2
Var
(L, x) : C×A┣ x : A

71. Projの対応
C×B BC
π1 π2
Proj
(L, y) : C×B┣ x : A
L : C┣ x : A
A
f
f○π1

72. というわけで
 全ての規則と対応する射の存在がわかった。
 全体としては
 全ての対象は型
 全ての射は、ドメインが環境、コドメインがラムダ式
（環境下で型が付くラムダ式に限る）の型であり、射
そのものは型を付ける規則の列（ラムダ式の構造）
 と対応する。
 ただ、冪の内容上、頻繁に図式が離れてしまう。

73. 例
きれいな図式を期待？――残念。

74. 実際に圏で型付けを・・・
 SKIコンビネータでもやりますか。
 簡単？後悔しますよ・・・？
 ラムダ式として書くと、それぞれ以下のように。
 S = λf:(CB)A.λg:BA.λx:A.((f x) (g x))
 ((CA)BA
)(CB
)A
という型がつく。
 K = λx:A.λy:B.x
 (AB)Aという型がつく。
 I = λx:A.x
 AAという型がつく。

75. 一番簡単なIから
1 AA
1×A A
π2
AA×A
evalAA
curry(π2)×idA
curry(π2)

76. あれ～・・・？
 なんか変な感じがするなあ・・・
 図式が離れてるせいか？

77. じゃあ次、K
1 (AB)A
(1×A)×B A
π1
1×A
π2
AB×B
evalBA
curry(π1○π2)×idA
1×A AB
curry(π1○π2)
(AB)A×A
evalAAB

78. もう名前書くのいや・・・
 なんなのcurry(curry(π1○π2))って？
 ちなみに最終的な射。
 Sは図だけにする。

79. 地獄のS(1/2)
関数適用部分
1×(CB)A×BA×A C
1×(CB)A×BA
A
BA
BA×A
B
1×(CB)A
(CB)A
(CB)A×A
CB
CB×B

80. 地獄のS(2/2)
関数抽象部分
1 ((CA)BA
)(CB)A
1×(CB)A
((CA)BA
)(CB)A
×(CB)A
(CA)BA
1×(CB)A×BA
(CA)BA
×BA
CA
1×(CB)A×BA×A C
CA×A

81. ははは・・・
 もういやです。
 かんべんしてください。
 と言いたくなるような内容になるのでした。

82. 以上！
眠かったかな？