AtCoder Beginner Contest 021 解説

1. AtCoder Beginner Contest 021
解説
AtCoder株式会社 代表取締役
高橋 直大
2015/4/11 1

2. 競技プログラミングを始める前に
• 競技プログラミングをやったことがない人へ
– まずはこっちのスライドを見よう！
– http://www.slideshare.net/chokudai/abc004
2015/4/11 2

3. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 3
A問題 足し算
1. 問題概要
2. アルゴリズム
2015/4/11 3

4. A問題 問題概要
2015/4/11
• 整数 N が与えられる
• 2の累乗数(1,2,4,8)のみの和で表わせ．
• 同じものを使ってもよい．
• 制約
– 1 ≦ N≦ 10
4

5. A問題 アルゴリズム
• 同じものを使ってもよいという制約があるので1だけ
使って表せばよい
• 組み合わせを構成する個数としてNを出力した後，
N個の1を出力すれば満点
入力例
4
このアルゴリズムでの出力例
4
1
1
1
1
2015/4/11 5

6. A問題 アルゴリズム
• 別解
– 同じものを使ってもよいという制約はなくても解ける
– Nの2進表現を考えれば，異なる2の累乗数(1,2,4,8,16,…)
を使って任意のNが表せる
– Nの2進表現において下からk桁目のビットが立っているな
ら2^kを組み合わせに加える．
– ビット演算についてはネットで検索しましょう
2015/4/11 6

7. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 7
B問題 嘘つきの高橋くん
1. 問題概要
2. 考察
3. アルゴリズム
4. おわりに
2015/4/11 7

8. B問題 問題概要
• 町がN個ある．いくつかの町が道路によって結ばれて
いる．道路は双方向移動可能
• 道路の構成は全く分からない
• 高橋くんは町 a から出発して町 b に到着した
• 途中で経由した町の番号が全て分かっている
• 高橋くんが最短経路でaからbに移動した可能性はあ
る？
• 制約
• 2≦N≦100
2015/4/11 8

9. B問題 考察
• 以下の場合は，絶対に最短経路になりえない
– 同じ町を2度以上経由した
– 始点と同じ町を1度でも経由した
– 終点と同じ町を1度でも経由した
• なぜなら，入力例にもあるように必ず同じ町から同じ
町への移動は短絡できるから
• 逆にそれ以外の場合は，最短経路になりえる
(適当な直線グラフを考えるだけで明らかに最短経路になる)
• 結論として{始点,終点,経由した町の列}に重複する要素がな
ければよい．
2015/4/11 9

10. B問題 アルゴリズム
• 長さnの配列に同じ要素が含まれるか判定する方法
• アルゴリズム1
– 二重ループで判定
– O(n^2)
• アルゴリズム2
– 配列をソートした物の隣接する要素に同じものがないか判定
– O(n log n)
• アルゴリズム3
– 要素の最小値，最大値が存在する場合(今回，1≦(要素)≦N) は，出現頻度を数える
配列を用意して数える
– 出現頻度2以上の町が2つ以上あったらダメ
– 値の範囲の大きさを C として，O(C+N)
• どれでもよい
2015/4/11 10

11. B問題 おわりに
• 今回得られる知見
– 負の重みがないグラフ(無向でも有向でも)においては
• ある最短経路に現れる頂点は全て異なる
• 最短経路は閉路を持たない
2015/4/11 11

12. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 12
C問題 正直者の高橋くん
1. 問題概要
2. おことわり
3. 考察
4. アルゴリズム
2015/4/11 12

13. C問題 問題概要
• N個の町とM個の道路がある．
• 町aから町bへの最短経路の個数を出力せよ
• 道路は双方向移動可能
• 制約
– 2 ≦ N ≦ 100
– 1 ≦ M ≦ 200
– 最短経路とは辿る道路の本数が最小の経路と定義
2015/4/11 13

14. C問題 おことわり
• この問題は，N個の頂点とM個の重み1の無向辺が
与えられる場合のグラフの問題です．
• 以降そのような問題として説明．
2015/4/11 14

15. C問題 考察
• まず，頂点aから全ての頂点への最短距離を求める
• それらの最短距離をS1,S2,…,SNとしておく
• 道路が結んでいる辺を(i,j)とするとき，
Si + (辺のコスト，今回は1) = Sj
• が成り立つような全ての辺(*)で有向グラフ(最短路
DAG)を作れば，そのグラフをどのように辿っても絶対
に最短路を達成可能．
(*)双方向に移動可能なので，(x,y)という辺が与えられたら
(y,x)という辺も与えられたものとする．
2015/4/11

16. C問題 考察
• 最短路DAGの性質
– DAG(Directed Acyclic Graph) なので，閉路がない有向グラフ
• グラフ(左)に対するaを始点とする最短路DAG(右)
• このDAG上で，aから b にたどり着く経路の個数を数え
る動的計画法を行えば，最短経路の答えとなる．
2015/4/11
5
b
6
4
2
3
a
5
b
6
4
2
3
a距離:0
距離:1
距離:1
距離:2
距離:3
距離:3
距離:3

17. C問題 アルゴリズム
• 「頂点aから全ての頂点への最短経路DAGを構築」
– ワーシャルフロイド法
– 幅優先探索
– ダイクストラ法
を行ってから，先ほどの条件を満たす辺のみグラフを構築
• 「DAG上の経路を求める」
– トポロジカルソートを行ってから経路数え上げ動的計画法
– そんなのはよくわからないという人は，始点aからメモ化再
帰をすると意識しなくてよい
– 動的計画法の計算量は O(N+M)
2015/4/11

18. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 18
D問題 多重ループ
1. 問題概要
2. 考察
3. アルゴリズム
4. あとがき
2015/4/11 18

19. D問題 問題概要
• nとkが与えられる．
• 以下のような多重ループにおける最終的なansの値を10^9+7で割った余りを
出力せよ
• 制約
– 1≦N≦100,000
– 1≦K≦100,000
– 部分点(99点)では 1≦N≦1000,1≦K≦1000
2015/4/11
ans←0
for a_1=1..n
for a_2=a_1..n
for a_3=a_2..n
…
for a_k=a_(k-1)..n
ans ← ans+1

20. D問題 考察
• 1≦a1≦a2≦…≦ak≦n
• であるような(a1,a2,…,ak)の組を数えれば良いという
ヒントがある．
• n個の中からk個を選ぶ組み合わせの数をnCkと表し，
以降説明していく．
2015/4/11

21. D問題 考察
• 直接の解法にはならないが少し問題を簡単化して，
1≦a1<a2<…<ak<n
• が条件だとしたらどうだろう．
• 1からNの中からk個の数を選び，それらが全て異な
る数であれば，こうなるように並べることができる．
• したがって，1からNの中からK個の数を選ぶ組み合
わせに対応．
• この問題であればnCkを計算すればそれが答え
2015/4/11

22. D問題 考察
• 元の条件に戻って考える．元の条件は
1≦a1≦a2≦…≦ak≦n
• であった．
• 1からNの中から重複を許してk個の数を選び，重複
を許して全て異なる数であれば，こうなるように並べ
ることができる．
• したがって，1からNの中から重複を許してK個の数
を選ぶ組み合わせに対応．
• このような組み合わせは「重複組合せ」と呼ばれ，
nHkと表される．
2015/4/11

23. D問題 考察
nHk = n-1+kCn-1
• という公式があります．これを計算すれば元の問題の答えで
す．
• なぜそうなるかはよく理解しておいたほうが良いでしょう．
• 各自ネットで調べると分かりやすい説明がいくつか出てくる
ので，重複組合せを知らなかった人は是非この機会に理解
するとよいでしょう．
2015/4/11

24. D問題 アルゴリズム
• nCrを計算する方法１
– nC0 = 1, nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
– という公式を用いて，動的計画法を行う．余りは逐次取る
– パスカルの三角形を構築すると言い換えてもよい
– 計算量は O(n^2)
• これだと元の制約(1≦N≦10^5,1≦K≦10^5)では間に合わない
• nCrを計算する方法２
– P=10^9+7(素数)で割るということに着目
– 1!～N! mod P の逆元が存在
– 1!,2!,…,N! mod P とそれらの逆元を全て予め計算しておく．
– その上で，nCr =
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !
という公式を用いればO(1)
– 前処理は O(N log P) (ちょっと改善すれば O(N+logP) )
2015/4/11

25. D問題 アルゴリズム
• 逆元テーブルの求め方
– P が素数のとき，x(Pの倍数でない)の逆元𝑥−1は
𝑥−1
= 𝑥 𝑝−2
mod P
である．
– フェルマーの小定理と呼ばれる
– 二分累乗法を用いれば1つの逆元はO(log P)で計算可
– だから，1!,2!,…,N!の逆元テーブルは，O(N log P)で生成可
– 最初だけN!の逆元
1
𝑁!
をO(log P)で計算し，次に
1
𝑁 − 1 !
=
1
𝑁!
× 𝑁
– であることを利用して(N-1)!を計算,…というふうに
逆から逐次求めると，テーブルをO(N+logP)で作れる
2015/4/11

26. D問題 あとがき
• 正直のところ，OEIS(オンライン数列大辞典)を用いて実験を
行うと，よくわからなくても規則性が見えてくることがあります．
• オンライン数列大辞典のURL https://oeis.org/
2015/4/11