AtCoder Beginner Contest 022 解説

1. ABC022解説
A:Best Body

2. A-問題概要
● N日間の高橋君の体重の情報が与えられる
– 1日目の体重はWキログラム
– i日目の体重はi-1日目の体重 + A[i] キログラム
● 体重がSキログラム以上Tキログラム以下ならば
BestBody
● 高橋君がBestBodyであった日数を求めよ

3. A-解法
● N日分全ての体重を求めて、いちいちBestBody
か確かめる
● P[i] = i日目の高橋君の体重
– P[1] = W
– P[i] = P[i-1] + A[i]
● 入力を受け取りながらPを埋めていけばよい

4. ABC022解説
B:Bumble Bee

5. B-問題概要
● 高橋君は異なるN個の花に訪れる
● i番目に訪れた花の種類はA[i]
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● 受粉する花の個数を求めよ
● 1 ≦ N ≦ 100,000

6. B-考察
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● この条件を考察してみる

7. B-考察
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● 例：
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1

8. B-考察
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● 例：
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
※赤字が受粉する花

9. B-考察
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● 例：
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
※種類別に分けてみた

10. B-考察
● i>jかつA[i]=A[j] となるjが存在すればi番目の花
は受粉する
● 例：
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
– 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1
● どうやら同じ種類の中で最初に訪れるもの以外
が受粉する

11. B-解法1
● 同じ種類の中で最初に訪れるもの以外が受粉す
る
● 毎回、同じ種類の中で何回目に訪れたかの情報
を元に受粉するか判断すればよい
● cnt[i] = 種類iの花に今までに何回訪れたか
– 0で初期化

12. B-解法1
● cnt[i] = 種類iの花に今までに何回訪れたか
– 0で初期化
● 擬似コード
for i ← (1, 2, 3, … , N) :
cnt[A_i] == 0ならば受粉しない
それ以外ならば受粉する
cnt[A_i] = cnt[A_i] + 1

13. B-解法1
● cnt[i] = 種類iの花に今までに何回訪れたか
– 0で初期化
● 擬似コード
for i ← (1, 2, 3, … , N) :
cnt[A_i] == 0ならば受粉しない
それ以外ならば受粉する
cnt[A_i] = cnt[A_i] + 1
● 計算量はO(N)

14. B-解法2
● 同じ種類の中で最初に訪れるもの以外が受粉す
る
● 逆に言うと同じ種類の中で最初に訪れるものだ
けが受粉しない
– これは花の全種類数と一致
● N – (花の全種類数) が答えになる

15. B-解法2
● 花の種類数を数えれば良い
– 各種類について出現回数を求めて、1回以上出現す
る花が何種類あるか数える
– STL:setなど集合のデータ構造を使う
● O(N)もしくはO(NlogN)

16. ABC022解説
C:Blue Bird

17. C-問題概要
● 辺に重み（長さ）のある無向グラフが与えられ
る
– 頂点数N ≦ 300, 辺数 M ≦ N(N-1)/2
● 頂点1から開始して、頂点1に戻ってくる、同
じ辺を二度通らない経路があるか求めよ。ある
ならばその中で最短なものの長さを求めよ。

18. C-例
● 入出力1

19. C-例
● 入出力1：正解の経路

20. C-考察
● 見た目は最短経路問題に似ている
– 今求めたいのは最短「閉路」なのでそのまま
Dijkstraなどを使うことはできない
● 最短閉路も部分的には最短経路に似た性質を
持っている

21. C-考察
● 閉路の例

22. C-考察
● 閉路の例

23. C-考察
● 閉路の例

24. C-考察
● 頂点1に隣接する頂点はちょうど2つ含まれる

25. C-考察
● 頂点1に隣接する頂点はちょうど2つ含まれる
– 頂点1に隣接する頂点はO(N)個
– どの2つを選ぶかはO(N^2)通り

26. C-考察
● 頂点1に隣接する辺を除いて考えてみる
Before

27. C-考察
● 頂点1に隣接する辺を除いて考えてみる
After

28. C-考察
● 頂点1に隣接する辺を除いて考えてみる
● 閉路が経路になった
– 扱いやすい！

29. C-考察
● 頂点1に隣接する頂点のうち、どの2つを経路
に含めるか決めれば、あとは最短経路問題にな
る
– 頂点1に隣接する辺を除いたグラフでの最短経路問
題

30. C-アルゴリズム
● 頂点1に隣接する頂点のうちどの2つを閉路に
含めるか全通り試す
– 頂点X,Yを選んだとする
● 頂点1に隣接する辺を除いたグラフでXとYの最
短経路の長さを求める
– Sとする
● 1とX,1とYを結ぶ辺の長さの和とSを足しあわ
せたものがX,Yを含む閉路の中で最短の閉路

31. C-アルゴリズム
● 頂点1に隣接する頂点のうちどの2つを閉路に
含めるか全通り試す
– 頂点X,Yを選んだとする
● 頂点1に隣接する辺を除いたグラフでXとYの最
短経路の長さを求める
– Sとする
● 1とX,1とYを結ぶ辺の長さの和とSを足しあわ
せたものがX,Yを含む閉路の中で最短の閉路
O(N^2)
O(？)

32. C-アルゴリズム
● 「頂点1に隣接した辺を除いたグラフ」という
共通のグラフの様々な点対に対して最短経路を
求めなければならない
– 毎回計算するとDijkstraでもO(N^2)かかる
– それをO(N^2)回繰り返すので合計でO(N^4)

33. C-アルゴリズム
● 「頂点1に隣接した辺を除いたグラフ」という
共通のグラフの様々な点対に対して最短経路を
求めなければならない
– 毎回計算するとDijkstraでもO(N^2)かかる
– それをO(N^2)回繰り返すので合計でO(N^4)
● あらかじめ全点対の最短経路を求めておけば良
い
– Warshall-Floydを使えばO(N^3)を1回ですむ

34. C-まとめ
● 「頂点1に隣接する辺を除いたグラフ」の全点
対の最短経路を前計算しておく
● 頂点1に隣接する頂点のうちどの2つを閉路に
含めるか全通り試す
● 前計算した最短経路の結果と合わせて最短閉路
の長さを求める

35. C-まとめ
● 「頂点1に隣接する辺を除いたグラフ」の全点
対の最短経路を前計算しておく
● 頂点1に隣接する頂点のうちどの2つを閉路に
含めるか全通り試す
● 前計算した最短経路の結果と合わせて最短閉路
の長さを求める
O(N^3)
O(N^2)
合計O(N^3)

36. C-おまけ(別解)
● 最短経路木を使った解法があります
● 「最短経路木に含まれる辺いくつか」と「最短
経路木に含まれない辺をちょうど1つ」使うこ
とで最短閉路が存在するならば必ず作ることが
できます
– 証明などが難しいので詳しい内容は割愛
● ボトルネックは最短経路木の構築でO(N^2)も
しくはO(ElogN) ※Eは辺の数
● 今回は制約がN≦300なのでこれを使わなくて
も良い

37. ABC022解説
D:Big Bang

38. D-問題概要
● 座標平面上の要素数Nの点集合が2つ与えられ
る（AとBとする）
● BはAに対して
– 平行移動
– 回転
– P倍に相似拡大
したものだということがわかっている
● Pを求めよ

39. D-考察
● 相似な2つの図形の相似比を求める問題
● どの点がどの点に対応するのかがわかれば簡単
な除算の問題になる
– 残念ながら対応がわからない
– 平行移動や回転のせいで求めるのも難しそう
● どの点がどの点に対応するのか具体的に求めな
くてもいい方法はないだろうか？

40. D-考察
● Aにおける「あらゆる長さ」がBではP倍になっ
ている
– 「あらゆる長さ」の中で簡単に求められるものは無
いだろうか
– どんな長さを求めるかによって様々な解法が考えら
れる

41. D-解法1
● 全点対距離の総和
– 長さのみで決まるユニークな値
● 平行移動や回転の影響を受けない
– 愚直に全部計算しましょう
● O(N^2)：部分点獲得

42. D-解法2
● 最近点対の長さ
– 最も距離が近い2点の長さ
● 平行移動や回転によって変わることはない
– 自明な解法は全点対の長さを調べる方法
● O(N^2)：部分点獲得
– 分割統治や特殊なデータ構造によって速く解けるこ
とが知られている
● O(NlogN) : 満点獲得

43. D-解法3
● 最遠点対の長さ
– 最も距離が遠い2点の長さ
● 平行移動や回転によって変わることはない
– 自明な解法は全点対の長さを調べる方法
● O(N^2)：部分点獲得
– 凸包を利用した速い解法がある
● O(NlogN) : 満点獲得

44. D-解法4
● 凸包の外周の長さ
– 全ての頂点を内側に含む最小の凸多角形の外周
● 平行移動や回転の影響を受けない
– 凸包は様々な高速なアルゴリズムがある
● O(NlogN)等：満点獲得

45. D-解法5
● 重心からの最遠点までの距離
– N頂点の重心から最も遠い所にある頂点までの距離
● 平行移動や回転の影響を受けない
– 全点対調べなくて良いので楽
● O(N)等：満点獲得

46. D-解法6
● 重心からの最近点までの距離
– 値が0になることがあり、うまくPを求めることが
できないので、場合分けが必要
最遠点よりは複雑だが、なお楽である
● O(N)等：満点獲得

47. D-まとめ
● 全点対の長さの総和
● 最近点対の長さ
● 最遠点対の長さ
● 凸包の外周の長さ
● 重心からの最遠点までの長さ
● 重心からの最近点までの長さ

48. D-まとめ
● 全点対の長さの総和
● 最近点対の長さ
● 最遠点対の長さ
● 凸包の外周の長さ
● 重心からの最遠点までの長さ
● 重心からの最近点までの長さ
他にもいろいろ有ります。実装しやすいものを
選びましょう。
O(N^2)
O(NlogN)
O(NlogN)
O(NlogN)
O(N)
O(N)