1. 1
VII. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL :
Son EDO de la forma: + P(x)y = Q(x) o + P(y)x = Q(y)
Solución:
1) Simplificar la EDO a su forma general identificando P(x) y Q(x). (o
P(y) y Q(x)).
2) Igualar Q(x) [Q(y)] a cero para obtener una EDO de variables
separadas; ésta se resuelve, obteniéndose una y = f(x) ∗ φ(x) [x =
f(y) ∗ φ(y)]. (A).
3) Se sustituye (A) y su derivada en la EDO lineal dada y se despeja
φ (x) [φ (y)] (B).
4) Se integra (B) y se sustituye φ(x) [φ(y)] en (A) obteniéndose la
solución general.
Ejemplos:
1) x y + 5xy + 3x = 0 se divide entre x → y + y = −3x
P(x) =
5
x
y Q(x) = −3x
y +
5
x
y = 0 ;
dy
dx
= −
5
x
y ;
dy
y
= −5
dx
x
ln y = −5 ln x + ln φ(x) ; y = x φ(x)
dy
dx
= −5x φ(x) + x φ (x)
Ahora se sustituye y = f(x) y su derivada en la EDO Lineal
quedando:
−5x φ(x) + x φ (x) +
5
x
x φ(x) = −3x

2. 2
φ (x) = −3x ; φ(x) = −
3
9
x + c = −
1
3
x + c
= −
1
3
+
2) cos ydx = (x sin y + tan y)dy → − x =
dx
dy
− x
sin y
cos y
= 0 ;
dx
dy
= x tan y ;
dx
x
= tan ydy
ln x = ln(sec y) + ln φ(y) ; x = φ(y) sec y
dx
dy
= φ (y) sec y + sec y tan yφ(y)
Ahora se sustituye x = f(y) y su derivada en la EDO Lineal
quedando:
φ (y) sec y + sec y tan yφ(y) − φ(y) sec y tan y =
tan y
cos y
φ (y) =
tan y
cos y
∗
1
sec y
; φ (y) = tan y ; φ(y) = ln(sec y) + c
x = sec y[ln(sec y) + c]

3. 3
VIII. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI:
Su forma general es:
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)y o
dx
dy
+ P(y)x = Q(y)x donde n ∈ Z − {0,1}
Solución:
1) Simplificar la EDO a su forma general.
2) Multiplicar ambos miembros de la EDO por obteniéndose:
1
y
dy
dx
+ P(x)
1
y
= Q(x) (A)
3) Hacer el cambio de variable
z =
1
y
= y ; se deriva
dz
dx
= (1 − n)y
dy
dx
Se despeja .
4) Se sustituye z y en la ecuación (A) obteniéndose una EDO
Lineal.
Ejemplos:
1) y(x + y)dx − x dy = 0 → − =
1
y
dy
dx
−
1
xy
=
1
x
z =
1
y
;
dz
dx
= −
1
y
dy
dx
;
dy
dx
= −y
dz
dx
1
y
−y
dz
dx
−
z
x
=
1
x
;
dz
dx
+
z
x
= −
1
x
EDO Lineal
dz
dx
+
z
x
= 0 ;
dz
z
= −
dx
x

4. 4
ln z = − ln x + ln φ(x) ; z = x φ(x)
dz
dx
= −x φ(x) + φ (x)x ; −x φ(x) + φ (x)x +
x φ(x)
x
= −
1
x
φ (x) = −
1
x
; φ(x) = − ln x + c
z = x [− ln x + c] ;
1
y
=
c − ln x
x
=
− ln
2) 2 sin x + y cos x = y (x cos x − sin x)
Se divide entre 2 sin quedando: + cot x = (x cot x − 1)
1
y
dy
dx
+
cot x
2y
=
1
2
(x cot x − 1)
z =
1
y
;
dz
dx
= −
2
y
dy
dx
1
y
−
y
2
dz
dx
+
z cot x
2y
=
1
2
(x cot x − 1)
dz
dx
− z cot x = 1 − x cot x EDO Lineal
dz
dx
= z cot x ;
dz
z
= cot xdx
ln z = ln(sin x) + ln φ(x) → z = φ(x) sin x
dz
dx
= φ (x) sin x − cos xφ(x)

5. 5
φ (x) sin x − cos xφ(x) − φ(x) sin x cot x = 1 − x cot x
φ (x) =
1
sin x
− x
cos x
(sin x)
→ φ(x) = csc xdx −
x cos x
(sin x)
dx
φ(x) = ln|csc x − cot x| − (−x csc x + ln|csc x − cot x|)
φ(x) = x csc x + c ; z = (x csc x + c) sin x
z = x + c sin x ;
1
y
= x + c sin x ; y =
1
x + c sin x
=
√ + sin
+ sin