1. 1
SERIES BINOMIALES.
Se llama serie binomial a la serie de McLaurin a la función ( ) = (1 + )
Si m es cualquier número real y | | < 1 entonces
(1 + ) = 1 + +
( − 1)
2!
+
( − 1)( − 2)
3!
+ ⋯
Ejemplo 1: desarrollar la función ( ) = ln(1 + ) utilizando la serie
binomial.
Esta función tal como se presenta, es más sencillo derivarla y luego hacer
uso de la serie binomial; entonces:
( ) = ln(1 + ) ; ( ) = = (1 + ) Así = −1
Aplicando el desarrollo binomial:
(1 + ) = 1 + (−1) +
(−1)(−1 − 1)
2!
+
(−1)(−1 − 2)
3!
+ ⋯
(1 + ) = 1 − + − + ⋯ + (−1)
Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de ( ).
( ) = ln(1 + ) = −
2
+
3
−
4
+ ⋯ + (−1)
Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo de
convergencia:
lim
→
(−1) ∗
+ 1
∗
(−1) ∗
< 1
|−1|| | ∗ lim
→ + 1
< 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1

2. 2
Ejemplo 2: desarrollar la función ( ) = ( ) utilizando la serie
binomial.
′( ) =
1
1 +
= (1 + )
Derivamos la función para aplicarle a su derivada el desarrollo binomial.
= = −1
(1 + ) = 1 + (−1) +
(−1)(−1 − 1)
2!
( ) +
(−1)(−1 − 2)
3!
( ) + ⋯
(1 + ) = 1 − + − + ⋯ + (−1)
Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de la función
planteada.
( ) = ( ) = −
3
+
5
−
7
+ ⋯ + (−1)
2 + 1
Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo de
convergencia:
lim
→
(−1) ∗
2 + 3
∗
2 + 1
(−1) ∗
< 1 ; |−1|| | lim
→
2 + 1
2 + 3
< 1
| | < 1 ; −1 < < 1

3. 3
Ejemplo 2: Hallar ∫ 1 − √ usando desarrollo de series en .
1 + −√ ; = −√ = 2
3
( ) = 1 +
2
3
−√ +
2
3
2
3 − 1
2!
−√ +
2
3
2
3 − 1 2
3 − 2
3!
−√
Se toma un número finito de términos para el desarrollo y hacer el cálculo
aproximado de la integral propuesta; en este caso tomamos cuatro
términos.
( ) = 1 −
2
3
−
1
9
−
4
81
Ahora se integra este desarrollo y se evalúan los límites de integración.
( ) = 1 −
2
3
−
1
9
−
4
81
( ) = −
4
9
−
1
18
−
8
405
1
4
0
≈ 0,1904
Ejemplo 3: calcular aproximadamente √63 tomando tres términos no
nulos del desarrollo binomial.
Se opera con la raíz exacta más cercana, que sería √64.
√64 − 1 = 64 1 − 1
64 = 8 1 + − 1
64
Se lleva a la forma de serie binomial, recordando que | | < 1

4. 4
Luego se sustituyen los valores de en el desarrollo binomial para
tres términos no nulos.
8 1 + − 1
64 = 8 1 +
1
2
−
1
64
+
1
2
−
1
2
−
1
64
1
2!
≈ 8 1 −
1
128
−
1
32768
≈ 7,9373
Ejemplo 4: hallar el desarrollo binomial de la función ( ) = √1 +
√1 + = (1 + )
= 1 +
1
5
+
1
5
1
5 − 1
2!
+
1
5
1
5 − 1 1
5 − 2
3!
+ ⋯
= 1 +
1
5
+
1
5
−
4
5
1
2!
+
1
5
−
4
5
−
9
5
1
3!
+ ⋯
= 1 +
1
5
−
1 ∗ 4
5 2!
+
1 ∗ 4 ∗ 9
5 3!
+ ⋯ + (−1)
1 ∗ 4 ∗ 9 … (5 − 6)
5 ∗ !
+ ⋯
Finalmente:
√1 + = 1 +
1
5
+ (−1)
4 ∗ 9 ∗ 14 … (5 − 6)
5 ∗ !
Ejemplo 5: Hallar el límite utilizando desarrollo de series de
lim
→
1
ln
1 +
1 −
Aplicando propiedad de logaritmo queda:

5. 5
lim
→
1
[ln(1 + ) − ln(1 − )]
Luego aplicamos el desarrollo de ln(1 + ) a los dos logaritmos
planteados, es decir, se sustituye por en el primer logaritmo y
por − en el segundo logaritmo, respectivamente.
Procedemos a tomar tres términos de cada desarrollo para hacer el
cálculo del límite, de manera aproximada; quedando:
lim
→
1
−
2
+
3
− (− ) −
(− )
2
+
(− )
3
lim
→
1
−
2
+
3
+ +
2
+
3
lim
→
1
2 +
2
3
= lim
→
2 +
2
3
= 2
Nota: El desarrollo de series también sirve para cálculos aproximados de
funciones compuestas:
Sea ( ) = entonces:
= 1 +
1!
+
2!
+
3!
+ ⋯ +
!
( ) = = 1 −
2!
+
4!
−
6!
+ ⋯ + (−1)
(2 )!
Se toman tres términos o más, del desarrollo de . Dichos términos se
sustituyen después en el desarrollo de ; quedando:
= 1 + 1 −
2!
+
4!
+
1
2!
1 −
2!
+
4!
+
1
3!
1 −
2!
+
4!
+..

6. 6