SlideShare a Scribd company logo
1 of 38
Download to read offline
Matematika Diskrit
GRAPH PLANAR DAN GRAPH
BIDANG
GRAPH PLANAR & GRAPH BIDANG
• Graph G disebut Graph Planar jika G dapat digambar
pada bidang datar sedimikian sehingga sisi-sisinya
tidak ada yang saling berpotongan kecuali mungkin
pada titik-titik dari sisi-sisi tersebut.
Graph Bidangpasti Graph Planar,tetapi sebaliknya tidak
berlaku
• Graph bidang atau pajangan G adalah graph planar
G yang digambar pada bidang datar sedemikian
sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling berpotongan
kecuali mungkin pada titik-titik akhir sisi-sisi tersebut.
Contoh:
Graph lengkap K1, K2, K3, dan K4 merupakan Graph Planar
K1 K2
K3
K4
V1 V2
V3
V4
K4
V1 V2
V3
V4
Contoh lain Graph Planar
V1 V2
V3
V4V5
V6
V1 V2
V3
V4V5
V6
V1
V2 V3
V4V5
V1 V2 V3
V4V5
K3.2
Graph K3,3
Contoh Graph non-Planar:
Graph lengkap K5:
V1 V2
V3
V4V5
V6
G
X
Y
JD
TEOREMA KURVA JORDAN:
Misalkan J adalah sebuah kurva tertutup sederhana pada
sebuah bidang datar D.
Titik X terletak di Interior J dan titik Y terletak di eksterior J.
Jika dibuat sebuah kurva yang menghubungkan titik X dan
titik Y pada bidang D, maka kurva tersebut pasti memotong
kurva J.
Teorema Kurva Jordan dapat
digunakan untuk menunjukkan
suatu graphbukan graph planar.
V1 V2
V3
V4V5
V6
V1
V2
V3
V4V5
V6
G
H=G-V3V6
V1 V2
V3
V4V5
V6
Sikel C=(V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1)
V1V4 digambar di dalam sikel C
V2V5 digambar di luar sikel C
Akan ditunjukkan bahwa G non-
planar dengan menggunakan teorema
Jordan
Graph H memuat sikel C1=(V2,V5,V4,V1,V2)
V1
V2
V3
V4V5
V6
H=G-V3V6
Perhatikan V6 berada di Interior Sikel C1
Perhatikan V3 berada di eksterior Sikel C1
Apabila V3 dan V6 dihubungkan, maka akan memotong sikel C1.
Karena sisi yang menghubungkan V3 dan V6 memotong sikel C1,
maka G bukan graph planar.
Keterkaitan antara planaritas dan keterhubungan graph diawali dengan pengertian
graph non planar minimal.
Graph G disebut graph non planar minimal jika graph G non planar dan setiap
subgraph dari G adalah graph planar.
Contoh: Graph K3,3 (graph non planar minimal)
5.3 PLANARITAS DAN
KETERHUBUNGAN GRAPH
a1 a2 a3
b1 b2 b3
Graph Non Planar
Minimal
Subgraph
K3,3
a1 a2 a3
b1 b2
b3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1 a2
a
3
b1 b2 b3
a1
a
3
a2
b1 b2 b3
Contoh: graph K5 (graph non planar minimal)
Graph Non Planar Minimal
a1
a2
a3
a4
a5
Subgraph
K5
a1
a2
a3
a4
a5
a1
a3
a4
a5
a1
a3
a5
a b c
d e
e1
e2 e3
e4
e5
e6
a b c
d e
e1
e2
e3
e4
e5
e6
G1 G2
f1
f2
f3
Muka f1 dibatasi oleh sisi-sisi e1 , e2, e3, e4 (muka terbatas)
Muka f3 dibatasi oleh sisi-sisi e3 , e4, e5, e6 (muka tak terbatas)
Lemma 5.8 Misalkan G sebuah graph terhubung-3 dengan
ǀV(G)ǀ≥5. Maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph
G.e adalah graph terhubung-3
v1 v2
v3
v4
v5
v6
e
G
v1
v2
V3=v
6)
v4v5
G.e
e = v3 ,
v6
Mempunyai 3 titik pemutus
v2, v4, v6
v1
v3
v5
Mempunyai 3 titik pemutus
v2, e, v4
v1
v5
Teorema Kuratoswki
Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat
graf.
(a) (b) (c)
a) Graf Kuratowski pertama
b) (b) dan (c) Graf Kuratowski kedua (keduanya isomorfik)
 Sifat graf Kuratowski adalah:
1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.
2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar
3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi
graf planar.
4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah titik
minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah
sisi minimum.
TEOREMA KURATOWSKI
Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung
subgraph yang sama dengan salah satu graf Kuratowski atau
homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari
keduanya
Contoh
a b
c
d e f
a
b
c
d e f
a c
d f
Graf G tidak planar karena ia mengandung subgraf yang
sama dengan K3,3
a
b
d
c
efg
h
a
a
b
c
d
fg
h
i
a
c
e eg
h
Graf G, subgraf G1 dari G yang homeomorfik
dengan K5
G
G1 Subgraph G1 ,
homeomorfik K5
i
Lemma 5.7 Misal graph G sebuah graph non planar dan tidak
memiliki graph bagian kuratowski. Jika G memilki sisi sedikit
mungkin diantara graph-graph yang demikian, maka G
terhubung-3
v1 v2
v3
v4
v5
v2
v1
v3
v4
v5
Karena
G Graph non
planar
v4
v3
Graph G mempunyai 3 titik pemutus
yaitu v1, v2, v5
Teorema 5.9 Misal G sebuah graph dan e ϵ E(G). Jika G.e
memiliki graph bagian kuratowski maka G juga memiliki graph
bagian kuratowski
v1 v1
v3
v2
e
v6
v7
v8
v9
v10
v1
v3
v6v7
v8
G
G.e
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9 v10
Homeomorfik Graph
Kuratowski
e = v4, v5
Pajangan konveks
Misalkan Graph g adalah planar. Jika setiap muka dari pajangan
dibatasi oleh segi-n poligonal konveks
G G1
G2
(i) G graph
planar
(ii) G1 pajangan
konveks dari G
(ii) G2 pajangan
konveks dari G
f3
f2
f1
f4 f5
f1
f2
f3
f4
f1
f2
f3
f4
Formula Euler
Teorema 5.16:
Jika G Graph bidang terhubung, maka |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2
• Contoh:
f2
f1
f3
f4
Graph G terdiri dari 4 muka (face)
G
F(G) = {f1, f2, f3, f4} →
|F(G)|=4
Graph G terdiri dari 6 titik (vertex)
V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} →
|V(G)|=6
Graph G terdiri dari 8 sisi (edge)
E(G) = {V1V2,V2 V3, V3V4, V4V5,
V5V6, V6V1, V1V4, V2V5} →
|E(G)|=8
|V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2
6 – 8 + 4 = 2
V1 V2
V3
V4
V5
V6
Formula Euler tidak berlaku untuk
Graph bidang tidak terhubung
• Contoh:
V5
V6
G
f1
f2
f3
|V(G)|=6
|E(G)|=6
|F(G)|=3
|V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 6 – 6 + 3 =
3≠ 2
V1 V2
V3
V4
Teorema 5.17
Jika G Graph Planar Sederhana dengan
|E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6
Contoh akan ditinjau dari:
Graph G Terhubung
Graph G Tidak Terhubung
Graph Planar G terhubung
V1 V2
V3
V4V5
V6
|E(G)| = 8 > 1
|V(G)| = 6
3|V(G)| - 6 = 3(6) – 6 = 18 – 6=12
Jelas, 8 ≤ 12
• Kata “Sederhana” dalam teorema 5.17, tidak boleh dihilangkan.
Karena ketika graph planar tidak sederhana, maka teorema
tersebut tidak akan berlaku.
• Contoh:
V1
V2
V3
V4
G
|E(G)| = 7 > 1
|V(G)| =4
3|V(G)| - 6 = 3(4) – 6 = 12 – 6 = 6
Berdasarkan Teorema 5.17, |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6
Ternyata, untuk Graph G di samping, diperoleh |E (G)| > 3|V(G)| -
6 = 7 > 6.
Dengan demikian, untuk Graph Planar tidak sederhana, teorema
5.17 tidak berlaku.
• Begitu juga dengan syarat bahwa |E(G)| > 1. Sisi sebuah grap planar sederhana,
banyaknya sisi graph tersebut harus lebih dari satu. Apabila banyaknya sisi tidak lebih
dari satu, maka teorema 5.17 juga tidak akan berlaku.
• Contoh:
V1
V2 G
Dari gambar terlihat bahwa |E(G)| = 1 dan |V(G)| = 2
3|V(G)| - 6 = 3(2) – 6 = 6 – 6 = 0
Ternyata, |E(G)| > 3|V(G)| - 6 = 1 > 0
Sehinga, teorema 5.17 tidak berlaku untuk sebuah
graph planar yang banyaknya sisinya tidak lebih dari 1.
Perhatikan Graph K5
• Graph K5 merupakan graph komplit
yang memiliki 5 titik, dan semua
titiknya berderajat sama, yaitu 4.
karena semua titiknya berderajat
sama, maka jumlah derajat titik
graph K5 adalah 20.
• Sehingga, banyaknya sisi dari graph
K5 adalah 10 (Lemma Jabat
Tangan).
• Ternyata 10 > 3(5) – 6 = 15 – 6 = 9.
• Jadi, berdasarkan teorema 5.17,
maka terbukti bahwa Graph K5
merupakan graph non-panar.
V1
V2
V3
V4
V5
Jika G Graph Planar
Sederhana dengan
|E(G)| > 1, maka
|E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6
Bagaimana dengan Graph K3.3??
• Graph K3.3 terdiri dari 6 titik, dan setiap
titiknya berderajat sama, yaitu 3. sehingga
jumlah derajat semua titiknya adalah 18.
• Dengan demikian, banyaknya sisi dari Graph
K3.3 adalah 9 (Lemma Jabat Tangan).
• Perhatikan bahwa |E(G)| = 9 dan |V(G)|= 6.
• Teorema 5.17 menyatakan bahwa |E(G)| ≤ 3
|V(G)|- 6, apabila graph yang dimaksud
adalah planar sederhana.
• Namun untuk kasus graph K3.3 diperoleh 9 ≤
3(6) – 6 = 12 (memenuhi).
• Dari kasus graph K3.3, maka Graph Planar
Sederhana merupakan “syarat perlu” untuk
memenuhi |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, tapi tidak
selalu berlaku sebaliknya.
V2V1 V3
V4
V5 V6
Teorema 5.18
V1 V2
V3
V4V5
V6
G1
d(V1) = 3
d(V2) = 3
d(V3) = 2
d(V4) = 3
d(V5) = 3
d(V6) = 2
Contoh Graph Planar
V1 V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
G2
V1 V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
Hd(V1) = 4
d(V2) = 4
d(V3) = 4
d(V4) = 5
d(V5) = 4
d(V6) = 5
d(V7) = 4
d(V8) = 4
4
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
|V(G)| = 8
|E(G)| = 25
Apakah Graph di samping
memenuhi |E(G)| ≤ 3|V(G)| -
6???
Ternyata, 25 > 3 (8) – 6 = 24 – 6 = 18
Berdasarkan teorema 5.17, maka
Graph di samping tidak Planar.
d(V1) = 7
d(V2) = 6
d(V3) = 6
d(V4) = 6
d(V5) = 6
d(V6) = 6
d(V7) = 7
d(V8) = 6
Berdasarkan teorema 5.18,
maka Graph di samping tida
Planar.
NON PLANAR
KetebalanSebuahGraph
Setiap graph planar G mempunyai ketebalan = 1.
V1
V2
V3
V4 V6
V5
=
V5V1
V2
V3
V4 V6
V1
V2
V3
V4
V5
V6
Teorema 5.19
Dalam menentukan nilai eksak ketebalan sebuah
graph,tidak ada formula yang pasti yang dapat
digunakan. Tetapi dapat ditentukan berapa batas
bawah dari ketebalan suatu graph.
Graph Dual dari Graph Bidang
Graph H* merupakan graph dual dari H, karena:
1. Sebuah muka H berkorespondensi dengan sebuah titik di H*, atau
|F(H)|=|V(H*)|
2. Sebuah sisi H berkorespondensi dengan sisi di H*, atau |E(H)|=|E(H*)|
3. Sebuah muka berderajat k di H, berkorespondensi dengan sebuah titik
berderajat k di H*.
4. Sebuah titik berderajat 2 di H, berkorespondensi dengan sebuah sisi
rangkap di H*.
𝐇∗
f1
f2
f3
f4
f5
f6
V1
V2
V3
V4
V5
V6
H
• Graph H dan H* tidak isomorfik. Karena terdapat sebuah titik di H*
yang berderajat 5, sedangkan di H tidak terdapat titik yang
berderajat 5.
H
G
G*
Graph G dan G* isomorfik. Karena |V(G)|=|V(G*)|=4, |E(G)|=|E(G*)|=6,
dan derajat tiap titiknya sama.
Apabila graph planar isomorfik dengan dualnya, maka graph tersebut
disebut graph dual diri.
Teorema 5.20
Jika G adalah graph dual diri, maka |E(G)|=2(|V(G) – 1)
G
|E(G)|=2(|V(G) – 1) = 2(4 – 1) = 2.3 = 6
Graph Polyhedral
• Bangun ruang dimensi tiga yang dibatasi oleh permukaan-
permukaan yang berupa bidang datar polygonal (bidang
datar segi-n, n ≥ 3) disebut polyhedron.
• Titik-titik dan sisi-sisi dari sebuah polyhedron membentuk
sebuah graph sederhana di ruang dimensi 3. Jika titik-titik
dan sisi-sisinya terhubung dan membentuk graph bidang
(planar) sederhana, maka disebut graph polyhedral.
TERIMA KASIH
Presented by:
• KAHABUDDIN
• MUH. RUSLI JUNAID
• CITRA DEWI CHAIRANI

More Related Content

What's hot

Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi RekursiRelasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi RekursiOnggo Wiryawan
 
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsiPertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsiaansyahrial
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptrahmawarni
 
Keterbagian, KPK & FPB
Keterbagian, KPK & FPBKeterbagian, KPK & FPB
Keterbagian, KPK & FPBHyronimus Lado
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03KuliahKita
 
Matematika Diskrit kombinatorial
Matematika Diskrit  kombinatorialMatematika Diskrit  kombinatorial
Matematika Diskrit kombinatorialSiti Khotijah
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02   teori dasar himpunanPertemuan 02   teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanFajar Istiqomah
 

What's hot (20)

Relasi Rekurensi
Relasi RekurensiRelasi Rekurensi
Relasi Rekurensi
 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklik
 
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi RekursiRelasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
Relasi Rekursi : Definisi, Contoh, Jenis Relasi Rekursi
 
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsiPertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsi
 
Ring
RingRing
Ring
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Keterbagian, KPK & FPB
Keterbagian, KPK & FPBKeterbagian, KPK & FPB
Keterbagian, KPK & FPB
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Prinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi EksklusiPrinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi Eksklusi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 
Grup permutasi
Grup permutasiGrup permutasi
Grup permutasi
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
 
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03
Matematika Diskrit - 08 kombinatorial - 03
 
Matematika Diskrit kombinatorial
Matematika Diskrit  kombinatorialMatematika Diskrit  kombinatorial
Matematika Diskrit kombinatorial
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
Turunan
TurunanTurunan
Turunan
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02   teori dasar himpunanPertemuan 02   teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
 

Similar to teori graf (planar

Similar to teori graf (planar (20)

Graf 2
Graf 2Graf 2
Graf 2
 
Teori graph-1
Teori graph-1Teori graph-1
Teori graph-1
 
tg_p3.pptx
tg_p3.pptxtg_p3.pptx
tg_p3.pptx
 
Definisi Graph.ppt
Definisi Graph.pptDefinisi Graph.ppt
Definisi Graph.ppt
 
Graph
GraphGraph
Graph
 
Graf_Isomorfik_Graf_Planar_Graf_Bidang_d.pdf
Graf_Isomorfik_Graf_Planar_Graf_Bidang_d.pdfGraf_Isomorfik_Graf_Planar_Graf_Bidang_d.pdf
Graf_Isomorfik_Graf_Planar_Graf_Bidang_d.pdf
 
Matematika Diskrit graf
Matematika Diskrit grafMatematika Diskrit graf
Matematika Diskrit graf
 
Teori Graf - Mtk Diskrit
Teori Graf - Mtk DiskritTeori Graf - Mtk Diskrit
Teori Graf - Mtk Diskrit
 
285975_TEOREMA GRAPH_.ppt
285975_TEOREMA GRAPH_.ppt285975_TEOREMA GRAPH_.ppt
285975_TEOREMA GRAPH_.ppt
 
Graf 1
Graf 1Graf 1
Graf 1
 
Graf (bagian 1)
Graf (bagian 1)Graf (bagian 1)
Graf (bagian 1)
 
Graph1
Graph1Graph1
Graph1
 
graf2013-140930043732-phpapp01.pdf
graf2013-140930043732-phpapp01.pdfgraf2013-140930043732-phpapp01.pdf
graf2013-140930043732-phpapp01.pdf
 
Matematika Diskrit - 09 graf - 06
Matematika Diskrit - 09 graf - 06Matematika Diskrit - 09 graf - 06
Matematika Diskrit - 09 graf - 06
 
Graf Oke.pptx
Graf Oke.pptxGraf Oke.pptx
Graf Oke.pptx
 
Teori graph
Teori graphTeori graph
Teori graph
 
Graf ( Matematika Diskrit)
Graf ( Matematika Diskrit)Graf ( Matematika Diskrit)
Graf ( Matematika Diskrit)
 
Diskret VII Graph
Diskret VII GraphDiskret VII Graph
Diskret VII Graph
 
Magic graph
Magic graphMagic graph
Magic graph
 
Teori graf pada matematika diskriit.pptx
Teori graf pada matematika diskriit.pptxTeori graf pada matematika diskriit.pptx
Teori graf pada matematika diskriit.pptx
 

Recently uploaded

PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxRestiana8
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxYusufAmirudin3
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf2210130220024
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekahellenchanel31
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfrizalrulloh1992
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUTeric214073
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfssuserb45274
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxMMuminSholih
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamabdulhamidalyFKIP
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf
 
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfLEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfAdelaWintarsana2
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxSuarniSuarni5
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxnursamsi40
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptxanisakhairoza
 

Recently uploaded (20)

PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptxKOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
 
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfLEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
 

teori graf (planar

  • 2. GRAPH PLANAR & GRAPH BIDANG • Graph G disebut Graph Planar jika G dapat digambar pada bidang datar sedimikian sehingga sisi-sisinya tidak ada yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik dari sisi-sisi tersebut. Graph Bidangpasti Graph Planar,tetapi sebaliknya tidak berlaku • Graph bidang atau pajangan G adalah graph planar G yang digambar pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik akhir sisi-sisi tersebut.
  • 3. Contoh: Graph lengkap K1, K2, K3, dan K4 merupakan Graph Planar K1 K2 K3 K4 V1 V2 V3 V4 K4 V1 V2 V3 V4
  • 4. Contoh lain Graph Planar V1 V2 V3 V4V5 V6 V1 V2 V3 V4V5 V6 V1 V2 V3 V4V5 V1 V2 V3 V4V5 K3.2
  • 5. Graph K3,3 Contoh Graph non-Planar: Graph lengkap K5: V1 V2 V3 V4V5 V6 G
  • 6. X Y JD TEOREMA KURVA JORDAN: Misalkan J adalah sebuah kurva tertutup sederhana pada sebuah bidang datar D. Titik X terletak di Interior J dan titik Y terletak di eksterior J. Jika dibuat sebuah kurva yang menghubungkan titik X dan titik Y pada bidang D, maka kurva tersebut pasti memotong kurva J. Teorema Kurva Jordan dapat digunakan untuk menunjukkan suatu graphbukan graph planar.
  • 7. V1 V2 V3 V4V5 V6 V1 V2 V3 V4V5 V6 G H=G-V3V6 V1 V2 V3 V4V5 V6 Sikel C=(V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1) V1V4 digambar di dalam sikel C V2V5 digambar di luar sikel C Akan ditunjukkan bahwa G non- planar dengan menggunakan teorema Jordan
  • 8. Graph H memuat sikel C1=(V2,V5,V4,V1,V2) V1 V2 V3 V4V5 V6 H=G-V3V6 Perhatikan V6 berada di Interior Sikel C1 Perhatikan V3 berada di eksterior Sikel C1 Apabila V3 dan V6 dihubungkan, maka akan memotong sikel C1. Karena sisi yang menghubungkan V3 dan V6 memotong sikel C1, maka G bukan graph planar.
  • 9. Keterkaitan antara planaritas dan keterhubungan graph diawali dengan pengertian graph non planar minimal. Graph G disebut graph non planar minimal jika graph G non planar dan setiap subgraph dari G adalah graph planar. Contoh: Graph K3,3 (graph non planar minimal) 5.3 PLANARITAS DAN KETERHUBUNGAN GRAPH a1 a2 a3 b1 b2 b3 Graph Non Planar Minimal
  • 10. Subgraph K3,3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a 3 b1 b2 b3 a1 a 3 a2 b1 b2 b3
  • 11. Contoh: graph K5 (graph non planar minimal) Graph Non Planar Minimal a1 a2 a3 a4 a5
  • 13. a b c d e e1 e2 e3 e4 e5 e6 a b c d e e1 e2 e3 e4 e5 e6 G1 G2 f1 f2 f3 Muka f1 dibatasi oleh sisi-sisi e1 , e2, e3, e4 (muka terbatas) Muka f3 dibatasi oleh sisi-sisi e3 , e4, e5, e6 (muka tak terbatas)
  • 14. Lemma 5.8 Misalkan G sebuah graph terhubung-3 dengan ǀV(G)ǀ≥5. Maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph G.e adalah graph terhubung-3 v1 v2 v3 v4 v5 v6 e G v1 v2 V3=v 6) v4v5 G.e e = v3 , v6 Mempunyai 3 titik pemutus v2, v4, v6 v1 v3 v5 Mempunyai 3 titik pemutus v2, e, v4 v1 v5
  • 15. Teorema Kuratoswki Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf. (a) (b) (c) a) Graf Kuratowski pertama b) (b) dan (c) Graf Kuratowski kedua (keduanya isomorfik)  Sifat graf Kuratowski adalah: 1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar. 4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah titik minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.
  • 16. TEOREMA KURATOWSKI Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung subgraph yang sama dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya Contoh a b c d e f a b c d e f a c d f Graf G tidak planar karena ia mengandung subgraf yang sama dengan K3,3
  • 17. a b d c efg h a a b c d fg h i a c e eg h Graf G, subgraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5 G G1 Subgraph G1 , homeomorfik K5 i
  • 18. Lemma 5.7 Misal graph G sebuah graph non planar dan tidak memiliki graph bagian kuratowski. Jika G memilki sisi sedikit mungkin diantara graph-graph yang demikian, maka G terhubung-3 v1 v2 v3 v4 v5 v2 v1 v3 v4 v5 Karena G Graph non planar v4 v3 Graph G mempunyai 3 titik pemutus yaitu v1, v2, v5
  • 19. Teorema 5.9 Misal G sebuah graph dan e ϵ E(G). Jika G.e memiliki graph bagian kuratowski maka G juga memiliki graph bagian kuratowski v1 v1 v3 v2 e v6 v7 v8 v9 v10 v1 v3 v6v7 v8 G G.e v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Homeomorfik Graph Kuratowski e = v4, v5
  • 20. Pajangan konveks Misalkan Graph g adalah planar. Jika setiap muka dari pajangan dibatasi oleh segi-n poligonal konveks G G1 G2 (i) G graph planar (ii) G1 pajangan konveks dari G (ii) G2 pajangan konveks dari G f3 f2 f1 f4 f5 f1 f2 f3 f4 f1 f2 f3 f4
  • 21. Formula Euler Teorema 5.16: Jika G Graph bidang terhubung, maka |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2 • Contoh: f2 f1 f3 f4 Graph G terdiri dari 4 muka (face) G F(G) = {f1, f2, f3, f4} → |F(G)|=4 Graph G terdiri dari 6 titik (vertex) V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} → |V(G)|=6 Graph G terdiri dari 8 sisi (edge) E(G) = {V1V2,V2 V3, V3V4, V4V5, V5V6, V6V1, V1V4, V2V5} → |E(G)|=8 |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2 6 – 8 + 4 = 2 V1 V2 V3 V4 V5 V6
  • 22. Formula Euler tidak berlaku untuk Graph bidang tidak terhubung • Contoh: V5 V6 G f1 f2 f3 |V(G)|=6 |E(G)|=6 |F(G)|=3 |V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 6 – 6 + 3 = 3≠ 2 V1 V2 V3 V4
  • 23. Teorema 5.17 Jika G Graph Planar Sederhana dengan |E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6 Contoh akan ditinjau dari: Graph G Terhubung Graph G Tidak Terhubung
  • 24. Graph Planar G terhubung V1 V2 V3 V4V5 V6 |E(G)| = 8 > 1 |V(G)| = 6 3|V(G)| - 6 = 3(6) – 6 = 18 – 6=12 Jelas, 8 ≤ 12
  • 25. • Kata “Sederhana” dalam teorema 5.17, tidak boleh dihilangkan. Karena ketika graph planar tidak sederhana, maka teorema tersebut tidak akan berlaku. • Contoh: V1 V2 V3 V4 G |E(G)| = 7 > 1 |V(G)| =4 3|V(G)| - 6 = 3(4) – 6 = 12 – 6 = 6 Berdasarkan Teorema 5.17, |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6 Ternyata, untuk Graph G di samping, diperoleh |E (G)| > 3|V(G)| - 6 = 7 > 6. Dengan demikian, untuk Graph Planar tidak sederhana, teorema 5.17 tidak berlaku.
  • 26. • Begitu juga dengan syarat bahwa |E(G)| > 1. Sisi sebuah grap planar sederhana, banyaknya sisi graph tersebut harus lebih dari satu. Apabila banyaknya sisi tidak lebih dari satu, maka teorema 5.17 juga tidak akan berlaku. • Contoh: V1 V2 G Dari gambar terlihat bahwa |E(G)| = 1 dan |V(G)| = 2 3|V(G)| - 6 = 3(2) – 6 = 6 – 6 = 0 Ternyata, |E(G)| > 3|V(G)| - 6 = 1 > 0 Sehinga, teorema 5.17 tidak berlaku untuk sebuah graph planar yang banyaknya sisinya tidak lebih dari 1.
  • 27. Perhatikan Graph K5 • Graph K5 merupakan graph komplit yang memiliki 5 titik, dan semua titiknya berderajat sama, yaitu 4. karena semua titiknya berderajat sama, maka jumlah derajat titik graph K5 adalah 20. • Sehingga, banyaknya sisi dari graph K5 adalah 10 (Lemma Jabat Tangan). • Ternyata 10 > 3(5) – 6 = 15 – 6 = 9. • Jadi, berdasarkan teorema 5.17, maka terbukti bahwa Graph K5 merupakan graph non-panar. V1 V2 V3 V4 V5 Jika G Graph Planar Sederhana dengan |E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6
  • 28. Bagaimana dengan Graph K3.3?? • Graph K3.3 terdiri dari 6 titik, dan setiap titiknya berderajat sama, yaitu 3. sehingga jumlah derajat semua titiknya adalah 18. • Dengan demikian, banyaknya sisi dari Graph K3.3 adalah 9 (Lemma Jabat Tangan). • Perhatikan bahwa |E(G)| = 9 dan |V(G)|= 6. • Teorema 5.17 menyatakan bahwa |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, apabila graph yang dimaksud adalah planar sederhana. • Namun untuk kasus graph K3.3 diperoleh 9 ≤ 3(6) – 6 = 12 (memenuhi). • Dari kasus graph K3.3, maka Graph Planar Sederhana merupakan “syarat perlu” untuk memenuhi |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, tapi tidak selalu berlaku sebaliknya. V2V1 V3 V4 V5 V6
  • 29. Teorema 5.18 V1 V2 V3 V4V5 V6 G1 d(V1) = 3 d(V2) = 3 d(V3) = 2 d(V4) = 3 d(V5) = 3 d(V6) = 2
  • 30. Contoh Graph Planar V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 G2 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Hd(V1) = 4 d(V2) = 4 d(V3) = 4 d(V4) = 5 d(V5) = 4 d(V6) = 5 d(V7) = 4 d(V8) = 4 4
  • 31. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 |V(G)| = 8 |E(G)| = 25 Apakah Graph di samping memenuhi |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6??? Ternyata, 25 > 3 (8) – 6 = 24 – 6 = 18 Berdasarkan teorema 5.17, maka Graph di samping tidak Planar. d(V1) = 7 d(V2) = 6 d(V3) = 6 d(V4) = 6 d(V5) = 6 d(V6) = 6 d(V7) = 7 d(V8) = 6 Berdasarkan teorema 5.18, maka Graph di samping tida Planar. NON PLANAR
  • 32. KetebalanSebuahGraph Setiap graph planar G mempunyai ketebalan = 1. V1 V2 V3 V4 V6 V5 = V5V1 V2 V3 V4 V6 V1 V2 V3 V4 V5 V6
  • 33. Teorema 5.19 Dalam menentukan nilai eksak ketebalan sebuah graph,tidak ada formula yang pasti yang dapat digunakan. Tetapi dapat ditentukan berapa batas bawah dari ketebalan suatu graph.
  • 34. Graph Dual dari Graph Bidang Graph H* merupakan graph dual dari H, karena: 1. Sebuah muka H berkorespondensi dengan sebuah titik di H*, atau |F(H)|=|V(H*)| 2. Sebuah sisi H berkorespondensi dengan sisi di H*, atau |E(H)|=|E(H*)| 3. Sebuah muka berderajat k di H, berkorespondensi dengan sebuah titik berderajat k di H*. 4. Sebuah titik berderajat 2 di H, berkorespondensi dengan sebuah sisi rangkap di H*. 𝐇∗ f1 f2 f3 f4 f5 f6 V1 V2 V3 V4 V5 V6 H
  • 35. • Graph H dan H* tidak isomorfik. Karena terdapat sebuah titik di H* yang berderajat 5, sedangkan di H tidak terdapat titik yang berderajat 5. H G G* Graph G dan G* isomorfik. Karena |V(G)|=|V(G*)|=4, |E(G)|=|E(G*)|=6, dan derajat tiap titiknya sama. Apabila graph planar isomorfik dengan dualnya, maka graph tersebut disebut graph dual diri.
  • 36. Teorema 5.20 Jika G adalah graph dual diri, maka |E(G)|=2(|V(G) – 1) G |E(G)|=2(|V(G) – 1) = 2(4 – 1) = 2.3 = 6
  • 37. Graph Polyhedral • Bangun ruang dimensi tiga yang dibatasi oleh permukaan- permukaan yang berupa bidang datar polygonal (bidang datar segi-n, n ≥ 3) disebut polyhedron. • Titik-titik dan sisi-sisi dari sebuah polyhedron membentuk sebuah graph sederhana di ruang dimensi 3. Jika titik-titik dan sisi-sisinya terhubung dan membentuk graph bidang (planar) sederhana, maka disebut graph polyhedral.
  • 38. TERIMA KASIH Presented by: • KAHABUDDIN • MUH. RUSLI JUNAID • CITRA DEWI CHAIRANI