More Related Content
Similar to Mathematical Structures for CS [Chapter3]456 (13)
Mathematical Structures for CS [Chapter3]456
- 1. CHAPTER 3 Sets, Combinatorics,and Probability ์๊ฟ์ฌ: http://cafe.naver.com/architect1 ๊นํ์ฐ: codevania@gmail.com
- 5. ์์ 46 ๊ฒฝ๊ณ ์กฐ๊ฑด (boundary condition) 0๊ฐ ์๊ฐ์ฒด, ์ฆ ๊ณต์งํฉ์ ์์ํ๋ ๋ฐฐ์ด์ ํ๋๋ง ์กด์ฌ ํ๋์ ๊ฐ์ฒด์ ์์ํ๋ ๋ฐฐ์ด์ n๊ฐ๊ฐ ์กด์ฌ n๊ฐ์ ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ์์ํ๋ ๋ฐฐ์ด๋ค์n!๊ฐ๊ฐ ์กด์ฌ
- 6. ์์ 47 a, b, c ์ธ ๊ฐ์ง ๊ฐ์ฒด๋ค์ ์์ด์ ์๋ P(3, 3) = 3! = 3โข2โข1=6 abc, acb, bac, bca, cab, cba
- 7. ์์ 48 ๋ง์ผ ์ด๋ ํ ๋ฌธ์๋ ๋ฐ๋ณต๋ ์ ์๋ค๋ฉด,๋จ์ด compiler๋ก๋ถํฐ ์ผ๋ง๋ ๋ง์ 3์๋ฆฌ์ ๋จ์ด๊ฐ ๋ง๋ค์ด์ง ์ ์์๊น? ๋ฌธ์์ ๋ฐฐ์ด์ด ์ค์ํ๋ค 8๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ก๋ถํฐ ์ป์ด์ง ์ ์๋ ์ธ ๊ฐ์ ์๋ก๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฐ์ฒด์ ์์ด์ ์๋ฅผ ์๊ณ ์ ํ๋ ๊ฒ์ P(8,3) = 8!/5! = 336
- 8. ์์ 49 10๋ช
์ ์ด๋ ์ ์๋ค์ด ๋ฉ๋ฌ์ ๋ฐ๋ ๋ฐฉ๋ฒ 10๋ช
์ ์ ์์ ๊ธ, ์, ๋ ์์๊ฐ ์ค์ A-๊ธ, B-์, C-๋ โ C-๊ธ, B-์, A-๋ P(n,r) ์ฌ์ฉ P(10,3) = 10!/7! = 10โข9โข8 = 720
- 9. ์์ 50 OS-4, PR-7, DS-3 ๊ฐ์ ๊ณผ๋ชฉ์ ๊ดํ ๋ชจ๋ ์ฑ
์ด ํจ๊ป ๋์ฌ์ผ ํจ ์ฑ
๋ค์ ๋ฐฐ์ดํ ์ ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์๋? ์ฐ์์ ์ธ ํ์์ ์์
๋ค๋ก ๋๋์ด ์๊ฐ ์ธ ๊ฐ์ง ๊ณผ๋ชฉ์ ๋ฐฐ์ดํ๋ ์์
์ ๊ณ ๋ ค 3!๊ฐ์ง ๊ณผ๋ชฉ์ ๋ค๋ฅธ ์์ ์กด์ฌ OS๋ฐฐ์ด: 4! PR๋ฐฐ์ด: 7! DS๋ฐฐ์ด: 3! ๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก, ๊ณฑ์
์๋ฆฌ์ ์ํด ๋ชจ๋ ์ฑ
์ ๋ฐฐ์ดํ ์ ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์๋ (3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560
- 12. ์์ 52 n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค๋ก๋ถํฐ 0๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด, ์ฆ ๊ณต์งํฉ์ ์ ํํ๊ธฐ ์ํด์๋ ๋จ์ง ํ๋์ ๋ฐฉ๋ฒ๋ง์ด ์กด์ฌ n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค๋ก๋ถํฐ 1๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ฅผ ์ ํํ๊ธฐ ์ํด์๋ n๊ฐ์ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์กด์ฌ n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค๋ก๋ถํฐ n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ์ ํํ๊ธฐ ์ํด์๋ ๋จ์ง ํ ๊ฐ์ง ๋ฐฉ๋ฒ๋ง์ด ์กด์ฌ
- 13. ์์ 53 52์ฅ์ ์นด๋๋ก๋ถํฐ ๋ฐ์๋ณผ ์ ์๋ 5์ฅ์ ์นด๋๋ ๋ช ๊ฐ์ง? ๋จ์ํ ๋ฌด์จ ์นด๋์ธ์ง์ ๊ด์ฌ ๏จ ์์ X 52๊ฐ์ค 5๊ฐ๋ฅผ ์ ํํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์๋ฅผ ๊ณ์ฐ C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960
- 14. ์์ 54 10๋ช
์ ์ด๋ ๊ฒฝ๊ธฐ ์ ์๋ค์ด ๊ฒฝ๊ธฐ, 3๋ช
์ด ์ฐ์น ์ฐ์น์๋ค์ ๋ํด์๋ ์์๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ์ง ์์ ๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก, 10๋ช
์ค 3๋ช
์ ์ ํํ๋ ๊ฒ์ C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120
- 15. ์ค๋ณต ์ ๊ฑฐ ๊ณ์ฐ ๋ฌธ์ ๋ ์ข
์ข
๋ค๋ฅธ ๋ฐฉ๋ฒ์ผ๋ก ํด๊ฒฐ๋ ์ ์์ ํ์ง๋ง, ํด๊ฒฐ์ฑ
์ ์ ๋ํ๋ ๊ณผ์ ์์ ํ๋ ์ด์ ์ค๋ณตํ์ฌ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ํ๋ฆฌ๊ธฐ๋
- 16. ์์ 57 FLORIDA,MISSISSIPPI ๋ช ๊ฐ์ง์ ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ์์ด์ด ๋ง๋ค์ด์ง๋? FLORIDA 7! MISSISSIPPI 11! ์ด ์๋ ์ค๋ณต๋ ๋ฌธ์์ด์ด ์กด์ฌํ๊ธฐ ๋๋ฌธ MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI ์ฌ๋ฐฐ์น ํ๋ ๊ฒ์ ๋ณํ๊ฐ ์์ 4๊ฐ์ S, 4๊ฐ์ I, 2๊ฐ์ P ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ์์ด์ ์ ๏จ 11!/4!4!2!
- 17. n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ด ์กด์ฌํ๊ณ , ๊ทธ ๊ฐ์ฒด๋ค ์ค์์ n1๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ด ์๋ก ๋์ผํ๊ณ โฆ nK๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ด ์๋ก ๋์ผํ ๊ฒฝ์ฐ ์ด๋ฐ n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ๋ํ ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ์์ด์ ์
- 18. ๋ฐ๋ณต์ ํ์ฉํ๋ ์์ด๊ณผ ์กฐํฉ P(n,r), C(n,r) N๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค ์ค์์ r๊ฐ๋ฅผ ๋ฐฐ์ดํ๊ฑฐ๋ ์ ํ ์ฆ, r โค n ๊ทธ๋ฌ๋ n๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ด ์ํ๋ ๋งํผ ๋ง์ด ์ฌ์ฌ์ฉ ๋ ์ ์๋ค๋ฉด? ์ํ๋ฒณ 26๊ฐ๋ฅผ ์ด์ฉํ์ฌ ๋จ์ด๋ฅผ ๊ตฌ์ฑ N๊ฐ ์ค์์ r๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ์์ด/์กฐํฉ์ ๊ตฌ์ฑ๊ฐ๋ฅํ์ง๋ง, ๋ฐ๋ณต์ ํ์ฉ ๊ต๋ฌํ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉโฆ (์์ 58)
- 19. ์์ 58 ๋ค์ด์๋ชฌ๋, ๋ฃจ๋น, ์๋ฉ๋๋๋ก๋ถํฐ 5๊ฐ์ ๋ณด์์ ์ ํํ์ฌ ์ฌ์ฉํ ๋โฆ ๋ช ๊ฐ์ง ๋ฐฉ๋ฒ? ๋ณด์์ ๋ฐฐ์ด์ ์์์๋ ๊ด์ฌ X ์์ดX ์กฐํฉO ๋ฐ๋ณต์ ํ์ฉํ๋ฉด์, 3๊ฐ ์ค์์ 5๊ฐ์ ์กฐํฉ์ ์๋ฅผ ๊ณ์ฐ 1๋ค์ผ, 3๋ฃจ๋น, 1์๋ฉ *|***|* 5๋ค์ผ, 0๋ฃจ๋น, 0์๋ฉ *****|| ์ฆ, 7๊ฐ์ slot์ค์์ 5๊ฐ์ ํ๋ชฉ์ ์ ํ C(7,5) = 7!/(5!2!)
- 20. ๋ฐ๋ณต์ํ์ฉํ๋ฉด์N๊ฐ์ ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฐ์ฒด๋ค ์ค์์ R๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ๋ํ ์กฐํฉ์ ํํ N๊ฐ์ ๊ฐ์ฒด๋ค์ ๋ฐ๋ณต๋ ์๋ฅผ ๋ํ๋ด๊ธฐ ์ํด n-1๊ฐ์ ์์ง์ ํ์ ์์ง์ ๋ค์ ํฌํจํ ์ ์ฒด๊ฐ ์ฐจ์งํ๋ ์์น์ ์๋r+(n-1) ์ด๋ค ์ค์์ r๊ฐ๋ฅผ ์ ํํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์๋
- 22. ์์ 59 ํ๋์ ๋์ ์ ๋์ก์ ๋ โ์๋ฉดโ ์ป๊ธฐ 2๊ฒฐ๊ณผ์ค ํ๋ 1/2 ํ๋์ ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๊ตด๋ ธ์ ๋ โ3โ์ ์ป๊ธฐ 6๊ฒฐ๊ณผ์ค ํ๋ 1/6 ํ์ค ์นด๋ ํ ๋ฒ์์ โ 1 โฆQ๋์ค์ ํ๋ ๋ฝ๊ธฐ 1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26
- 23. ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ ์ด๋ค ํ๋์ ๋ชจ๋ ๊ฐ๋ฅํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ์งํฉ ์ฌ๊ฑด ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์ ์์์ ๋ถ๋ถ์งํฉ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ผํ ํ๋ฅ ๋ก ๋ํ๋๋ ์์์ ์ ํ ์งํฉ์ด S๋ผ๋ฉด, ์ฌ๊ฑด E์ ํ๋ฅ P(E)๋
- 24. ์์ 60 2๊ฐ์ ๋์ ๋์ ๋์ง ๊ฐ ๋์ ์ ๊ณต์ ๏จ ์๋ฉด,๋ท๋ฉด์ ํ๋ฅ ์ ๊ฐ๋ค ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์ S={HH,HT,TH,TT} ์ฌ๊ฑด E๋ฅผ ์งํฉ {HH}๋ผ ํ์. E์ ํ๋ฅ , ์ฆ ๋ ๋์ ๋ชจ๋ ์๋ฉด์ด ๋ํ๋ ํ๋ฅ ์?
- 25. ์์ 61 ๊ฒ์ฌ, ๊ฐ๋ฐ, ๋ง์ผํ
๋ถ์ ์ง์๋ค์ด ํ ์ง์์ ์ด๋ฆ์ด ์ ํ๋๋ ๋ฝ๊ธฐ์ ์ฐธ๊ฐ ๊ฒ์ฌ5 ( 2M, 3W) ๊ฐ๋ฐ23 (16M, 7W) ๋ง์ผ14 ( 6M, 8W) |S|=42 |W|=3+7+8=18 P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7 |๋ง|=14 P(๋ง)=|๋ง|/|S|=14/42=/3 P(W โฉ M)=8/42=4/21 P(WโชM)=P(3+7+14)=24/42=4/7
- 26. ํ๋ฅ ๋ถํฌ ๋ง์ผ ์์์ ํ๋์ด ์ด๋ํ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ์ ํ ๋๋ฑํ ํ๋ฅ ๋ก ๋ํ๋์ง ์๋๋ค๋ฉด,์ด ์ํฉ์ ์ฒ๋ฆฌํ๊ธฐ ์ํ ํ ๊ฐ์ง ๋ฐฉ๋ฒ์ํด๋น ๊ฒฐ๊ณผ์ ์ผ๋ถ๊ฐ ๋ฐ๋ณต๋๋ ๋๋ต์ ์ธ ํ์๋ฅผ์๊ฐํ๋ ๊ฒ์ด๋คโฆ. -_-;
- 27. ์์ 63 ํ๋์ ์ฃผ์ฌ์ 6๊ฐ์ง ๊ฐ๋ฅํ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ์กด์ฌ ๏จ |S|=6 T๋ 3์ด ๋ํ๋๋ ์ฌ๊ฑด ์ด ์ฌ๊ฑด์ ์ค์ง ํ ๋ฒ๋ง์ด ์กด์ฌ |T|=1 P(T)=|T|/|S|=1/6 ์ฃผ์ฌ์๊ฐ ์น์ฐ์ณ์ 4๊ฐ 3๋ฐฐ ๋ ์์ฃผ๋ผ๊ณ ๊ฐ์ F๋ 4๊ฐ ๋ํ๋๋ ์ฌ๊ฑด ๊ฒฐ๊ณผ ์งํฉ={1,2,3,4,4,4,5,6}๏จ |S|=8 P(F)=|F|/|S|=1/8
- 28. ๋ชจ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋๋ฑํ ํ๋ฅ ์ด ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ํด๋น ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์ ๋ํด ํ๋์ ํ๋ฅ ๋ถํฌ๋ฅผ ํ ๋นํ๋ ๊ฒ ๋ ์์ฃผ ๋ฐ์ํ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ๋ณต์ ํ์ ์์ฑํ์ฌํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์ ์คํ๋ ค ๋ ํฌ๊ฒ ๋ง๋ค๊ธฐ ๋ณด๋ค ๊ฐ๋จํ ํ๋์ ์ฌ๊ฑด์ฒ๋ผ ์๋์ ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์์๊ฐ ๋ณ๊ฐ์ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ๊ณ , ์์์ ํ๋ฅ ์ ํ ๋น ๋ง์ผ ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ์์ K๊ฐ์ ๋ค๋ฅธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ด ์กด์ฌ ๊ฐ ๊ฒฐ๊ณผ Xi์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ท์น์ด ์ ์ฉ๋จ
- 29. ์ฌ๊ฑด E โ S๋ฅผ ๊ณ ๋ ค ์ฌ๊ฑด E์ ํ๋ฅ ์ E์์ ๊ฐ๋ณ์ ์ธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ๋ํ ๋ชจ๋ ํ๋ฅ ์ ๋ํ ์ ์๋ค E๋ ์๋ก ๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฒฐ๊ณผ ๋ชจ๋์ ๋ํ ํฉ์งํฉ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ชจ๋ ๋๋ฑํ๊ฒ ๋ํ๋ ๋,P(E)=|E|/|S|๋ผ๋ ์ ์๋E์์ ๊ฐ xi์ ๋ํด p(xi)=1/|S|์ผ ๋ ์ ์์ํน๋ณํ ๊ฒฝ์ฐ๊ฐ ๋๋ค
- 30. ์กฐ๊ฑด๋ถ ํ๋ฅ Conditional Probability ์ฌ๊ฑด E1๊ณผ E2๊ฐ ์ฃผ์ด์ก์ ๋, E1์ด ๋ฐ์ํ ์กฐ๊ฑดํ์์ E2์ ์กฐ๊ฑด๋ถ ํ๋ฅ P(E2|E1)์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค
- 31. ์์ 64 ์์ 63์ ์น์ฐ์น ์ฃผ์ฌ์์ ๋ํด ์ฌ์ฉ๋ํ๋ฅ ๋ถํฌ๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค E: 2๋๋ 4๊ฐ ๋ํ๋๋ ์ฌ๊ฑด P(E) ๋? P(E) = p(2) + p(4) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2
- 32. ์์ 65 ํ์๋ค ๊ทธ๋ฃน์ ์ฝํ ์ฐ๊ตฌ 17%: ์ฝํ A์ ๊ธ์ ์ 34%: ์ฝํ B์ ๊ธ์ ์ 8%: ์ฝํ A์ B์ ๊ธ์ ์ ํ ํ์๊ฐ ์ฝํA์ ๊ธ์ ์ ์ผ๋ก ์๋ตํ์ ๋์ฝํB์ ๊ธ์ ์ ์ผ๋ก ์๋ตํ ํ๋ฅ ์?
- 33. ๋
๋ฆฝ ์ฌ๊ฑด ๋ง์ผ P(E2|E1)= P(E2)์ด๋ฉด E2๋ E1์ด ๋ฐ์๋๋ ๋ง๋ ๋์ผํ๊ฒ ๋ฐ์ ์ด ๊ฒฝ์ฐ E1๊ณผ E2๋ ๋
๋ฆฝ ์ฌ๊ฑด์ด ๋๋ค๊ณ ํจ ๋ค์ ๋ ์์ด ์ฑ๋ฆฝ
- 34. ์์ 66 ๋์ ๋์ง๊ธฐ ์๋ฉด(E1) ๋ค์์ ๋ท๋ฉด(E2)์ด ๋ํ๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์์ ์ํด์ ์๋ก ๋
๋ฆฝ ์ฌ๊ฑด์ ๊ฐ ์ฌ๊ฑด์ด ๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฒฝ์ฐ, ๊ฐ ํ๋ฅ ์ ๊ณฑ ๊ฐ ์ฌ๊ฑด์ด ๋ณ๊ฐ์ธ ๊ฒฝ์ฐ, ๊ฐ ํ๋ฅ ์ ํฉ
- 35. ๊ธฐ๋๊ฐ ์ธ ๋ฒ์ ์ํ์ ๋ํ ์ฑ์ ์ ์งํฉ S={g1,g2,g3} ํ๊ท ์ํ ์ฑ์ A(g) = (g1 + g2 + g3) / 3 ๊ฐ์ํ์ ๋ํ ๊ฐ์ค๊ฐ์ด ๋์ผํ๋ค๊ณ ๊ฐ์ ๋ง์ง๋ง ์ํ์ ๋ ๋ฐฐ์ ๊ฐ์ค๊ฐ A(g) = (g1 + g2 + 2*g3) / 4
- 38. ์์ 67 ํ๋์ ๊ณต์ ํ ๋์ ์ด 3๋ฒ ๋์ ธ์ง ํ๋ณธ ๊ณต๊ฐ S ={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} ํ๋ฅ ๋ณ์ X S๋ด์ ๊ฐ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ํด๋น ๊ฒฐ๊ณผ ๋ด์ ์๋ฉด์ ์๋ก ํ ๋น ์ฆ, ๊ฒฐ๊ณผ๋ 0~3๊น์ง์ ์ ์๊ฐ ๊ณต์ ํ ๋์ , ๊ฐ ๊ตฌ์ฑ ์์๋๋์ผํ ํ๋ฅ
- 40. ์๋ฉด์ด ๋ท๋ฉด๋ณด๋ค 3๋ฒ ๋ ์์ฃผ ๋ฐ์ํ๋ ๊ฐ์ค๊ฐ์ด ์กด์ฌํ๋ค๊ณ ๊ฐ์ ํ๋ฅ ๋ถํฌ ์ฐ์์ ์ธ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋
๋ฆฝ ์ฌ๊ฑด S์์ ๊ฐ ๊ฒฐ๊ณผ์ ํ๋ฅ ์ ๊ฐ ํ๋ฅ ์ ๊ณฑ HTT์ ํ๋ฅ ์ (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64
- 43. ์ดํญ์ ์ ๋ฆฌ (a + b)n ๋ฅผ์ ๊ฐํ ๊ฒฐ๊ณผโฆ a2+2ab+b2์์๋ ๊ณ์ 1,2,1์ด ์กด์ฌ. ํ์ค์นผ ์ผ๊ฐํ์์ 2๋ฒ์งธ ์ด ์ดํญ์ ์ ๋ฆฌ ๋ชจ๋ ์์ด ์๋ ์ ์ n์ ๋ํด์, ๋ค์์ ์์ด ์ฑ๋ฆฝ (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + C(n, 2)an-2b2 + ... + C(n, k)an-kbk + ... + C(n, n)a0bn โC(n, k)an-kbk
- 44. ์์ 69 (x - 3)4 ์ ์ ๊ฐ์ (x โ 3)4 = C(4, 0)x4(-3)0+ C(4, 1)x3(-3)1+ C(4, 2)x2(-3)2+ C(4, 3)x1(-3)3+ C(4, 4)x0(-3)4 = x4+ 4x3(-3) + 6x2(9) + 4x1(-27) + 81 = x4 - 12x3+ 54x2+ 108x + 81
- 45. ์์ 70 ์ดํญ์ ์ ๋ฆฌ์์ a=b=1์ด๋ผ๊ณ ํ๋ฉด (1+1)n=C(n,0)+C(n,1)+โฆ+C(n,k)+C(n,n) 2 n=C(n,0)+C(n,1)+โฆ+C(n,k)+C(n,n)